Большой удачей было для меня то, что мне приходилось ранее заниматься теорией гармонических решеток, и я уже нашел преобразование, которое сопоставляет систему с переменными массами системе с переменными константами взаимодействия [4.4]. Это преобразование линеаризует члены взаимодействия в уравнениях движения нелинейной решетки путем введения нелинейных импульсов.

Роль обобщенных координат в этом преобразовании играют относительные смещения
\[
r_{n}=Y_{n}-Y_{n-1},
\]

а обобщенные импульсы $s_{n}$ им канонически сопряжены. Канонические уравнения движения для $s_{n}$
\[
\dot{s}_{n}=-\frac{d \varphi\left(r_{n}\right)}{d r_{n}}
\]

предполагаются обратимыми, т. е. позволяют получить
\[
r_{n}=-\frac{1}{m} \chi\left(\dot{s}_{n}\right)
\]

как однозначную функцию от $\dot{s}_{n}=d s_{n} / d t$. Тогда (4.1) отвечает уравнение
\[
\frac{d}{d t} \chi\left(\dot{s}_{n}\right)=s_{n-1}-2 s_{n}+s_{n+1} .
\]

Поскольку обе формы записи системы, (4.1) и (4.5), эквивалентны, это преобразование было названо преобразованием дуальности. В результате этого преобразования для импульсов получаем
\[
m \dot{Y}_{n}=s_{n}-s_{n+1} .
\]

Таким образом, мы имеем
\[
Y_{n}=\left(S_{n}-S_{n+1}\right) / m,
\]

где
\[
S_{n}=\int^{t} s_{n}(t) d t
\]

Уравнения движения принимают следующий простой вид:
\[
\chi\left(\ddot{S}_{n}\right)=S_{n-1}-2 S_{n}+S_{n+1} .
\]