Мы часто использовали следующие соотношения. Если $\left(v_{1}, v_{2}\right)$ и ( $\left.w_{1}, w_{2}\right)$ удовлетворяют (6.156), то
\[
\begin{aligned}
\left(v_{2} w_{2}\right)_{x x}+ & 4 \zeta^{2}\left(v_{2} w_{2}\right)+2 q\left(v_{2} w_{2}\right)=2\left(v_{1} w_{1}-i \zeta\left(v_{1} w_{2}+v_{2} w_{1}\right)\right), \\
{\left[v_{1} w_{1}-i \zeta\left(v_{1} w_{2}+v_{2} w_{1}\right)\right]_{x} } & =-q\left(v_{2} w_{2}\right) .
\end{aligned}
\]

В частности, если $v=w=\varphi$, то

и
\[
\varphi_{1}^{2}-2 i \zeta \varphi_{1} \varphi_{2}=-q \varphi_{2}^{2}+\int_{-\infty}^{x} q_{y} \varphi_{2}^{2} d y
\]
\[
-\frac{1}{4}\left(\varphi_{2}^{2}\right)_{x, x}-\zeta^{2} \varphi_{2}^{2}-q \varphi_{2}^{2}+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} q_{y} \varphi_{2}^{2}=L_{S} \varphi_{2}^{2}-\zeta^{2} \varphi_{2}^{2}=0 .
\]

Сформулируем теперь и докажем соотношения ортогональности.
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) \psi_{2 x}^{2}(\zeta) d x & =2 i \zeta л a^{2} \delta\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) \text { для вещественных } \zeta, \zeta^{\prime}, \\
& =0 \text { для остальных точек, }
\end{aligned}
\]
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \zeta} \psi_{2 x}^{2}\left(\zeta_{k}\right) \varphi_{2}^{2}\left(\zeta_{j}\right) d x=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{2 x}^{2}\left(\zeta_{k}\right) \frac{\partial}{\partial \zeta} \varphi_{2}^{2}\left(\zeta_{j}\right) d x=-\zeta_{k} a_{k}^{\prime 2} \delta_{k j}, \\
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \zeta} \psi_{2 x}^{2}\left(\zeta_{k}\right) \frac{\partial}{\partial \zeta} \varphi_{2}^{2}\left(\zeta_{j}\right) d x=-a_{k}^{\prime}\left(\zeta_{k} a_{k}^{\prime \prime}+a_{k}^{\prime}\right) \delta_{k j} .
\end{array}
\]

Для двойственного множества получим
$=0$ для остальных точек,
\[
\begin{array}{c}
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \zeta} \varphi_{2 x}^{2}\left(\zeta_{k}\right) \varphi_{2}^{2}\left(\zeta_{j}\right) d x=\int_{-\infty}^{+\infty} \psi_{2 x}^{2}\left(\zeta_{k}\right) \frac{\partial}{\partial \zeta} \psi_{2}^{2}\left(\zeta_{j}\right) d x=\zeta_{k} a_{k}^{\prime 2} \delta_{j k}, \\
\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\partial}{\partial \zeta} \varphi_{2 x}^{2}\left(\zeta_{k}\right) \frac{\partial}{\partial \zeta} \psi_{2}^{2}\left(\zeta_{j}\right) d x=a_{k}^{\prime}\left(\zeta_{k} a_{k}^{\prime \prime}+a_{k}^{\prime}\right) \delta_{j k} .
\end{array}
\]

Докажем соотношения (6С.4). Из уравнений (6.163), (6.165), которым удовлетворяют $\varphi_{2}^{2}$ и $\psi_{2 x}^{2}$, вытекает
\[
\begin{array}{l}
\left(\zeta^{\prime 2}-\zeta^{2}\right) \int_{-R}^{R} \varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) \psi_{2 x}^{2}(\zeta) d x= \\
=\int_{-R}^{R}\left\{\psi_{2 x}^{2}(\zeta) L_{S} \varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right)-\varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right)\left[L_{S}^{A} \psi_{2 x}^{2}(\zeta)-\frac{1}{2} q_{x} \psi_{2}^{2}(R)\right]\right\} d x= \\
=\int_{-R}^{R}\left\{\psi_{2 x}^{2}(\zeta)\left[-\frac{1}{4} \varphi_{2 x x}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right)-q \varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right)+\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} q_{y} \varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) d x\right]-\right. \\
\left.\quad-\varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right)\left[-\frac{1}{4} \psi_{2 x x x}^{2}(\zeta)-q \psi_{2 x}^{2}(\zeta)-\frac{1}{2} q_{x} \psi_{2}^{\prime}(\zeta)\right]\right\} d x
\end{array}
\]

В этом выражении второй и пятый члены сокращаются. Дальнейшие сокращения можно произвести, если проинтегрировать по частям третий член. Используя (6С.2), получим
\[
\begin{aligned}
\left(\zeta^{2}-\zeta^{2}\right) & \int_{-R}^{R} \varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) \psi_{2 x}^{2}(\zeta) d x= \\
= & \frac{1}{4}\left[\varphi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) \psi_{2 x x}^{2}(\zeta)-\varphi_{2 x}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) \psi_{2 x}^{2}(\zeta)\right]_{-R}^{R}+ \\
& +\frac{1}{2}\left\{\psi_{2}^{2}(\zeta)\left[\varphi_{1}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right)-2 \zeta_{\zeta}^{\prime} \varphi_{1}\left(\zeta^{\prime}\right) \varphi_{2}\left(\zeta^{\prime}\right)\right]\right\}_{x=R}= \\
= & -\zeta\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right) a^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) e^{2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) R}+\zeta\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right) a^{2}(\zeta) e^{-2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) R}- \\
& -\zeta\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) b^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) e^{2 i\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right) R}+\zeta\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) \bar{b}^{2}(\zeta) e^{2 i\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right) R}- \\
& -2\left(\zeta^{2}-\zeta^{\prime 2}\right) a\left(\zeta^{\prime}\right) b\left(\zeta^{\prime}\right) e^{2 i \zeta R} .
\end{aligned}
\]

Третий и четвертый члены могут быть отброшены, поскольку при $R \rightarrow \infty$ они соответствуют (после деления на $\zeta^{2}-\zeta^{\prime 2}$ ) дельтафункциям Дирака $\delta\left(\zeta+\zeta^{\prime}\right)$, а $\bar{b}(\zeta)=b(-\zeta)$. Используя лемму Римана – Лебега, можно отбросить и последний член (обращающийся в нуль при $\operatorname{Im}\{\zeta\}>0$ ). Таким образом,
\[
\begin{aligned}
\int_{-R}^{R} \Phi_{2}^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) \psi_{2 x}^{2}(\zeta) d x=\frac{\zeta}{\zeta-\zeta^{\prime}} & a^{2}\left(\zeta^{\prime}\right) e^{2 l(\zeta-\zeta)^{\prime} R}- \\
& -\frac{\zeta^{\prime}}{\zeta-\zeta^{\prime}} a^{2}(\zeta) e^{-2 i\left(\zeta-\zeta^{\prime}\right) R}+O(1),
\end{aligned}
\]

откуда уже легко выводится (6C.4). Аналогичным образом могут быть получены соотношения (6С.5).

Воспользуемся соотношениями ортогональности для построения симплектической структуры на пространстве данных рассеяния. Рассмотрим внешнее произведение (6.171) и интеграла от (6.172). Лемма Римана – Лебега и соотношения
\[
\begin{array}{ll}
b \vec{b}=a \bar{a}-1, \quad \bar{b}(\zeta)=b(-\zeta), \quad \bar{a}(\zeta)=a(-\zeta), \quad \gamma_{k}= \\
& =b_{k} / a_{k}^{\prime}, \quad \beta_{k}=\frac{-1}{b_{k} a_{k}^{\prime}}
\end{array}
\]

дают
\[
\begin{aligned}
\left(\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{2} \delta q \wedge \int_{-\infty}^{x} d y \delta q\right) d x=\int_{0}^{\infty} \frac{2 i \zeta}{\pi} \delta \ln (1 & \left.-\frac{b \bar{b}}{a \bar{a}}\right) \wedge \delta \ln b(\zeta) d \zeta+ \\
+ & \sum_{k=1}^{N} \delta\left(2 \zeta_{k}^{2}\right) \wedge \delta \ln b_{k}
\end{aligned}
\]

Если $q(x, t)$ вещественно, то $\bar{b}(\zeta)=b^{*}(\xi), \bar{a}(\zeta)=a^{*}(\zeta)$ для вещественных $\zeta$ и $\zeta_{k}=i \eta_{k}$. Следовательно, выражение (6С.7) есть
\[
\int_{0}^{\infty}-\frac{2 \zeta}{\pi} \delta \ln \left(1-|R|^{2}\right) \wedge \delta \operatorname{Arg} b(\zeta) d \zeta+\sum_{k=1}^{N} \delta\left(-2 \eta_{k}^{2}\right) \wedge \delta \ln b_{k},
\]

где $R(\zeta)=b / a$. Это дает канонически сопряженные переменные в пространстве данных рассеяния, и когда $H$ (гамильтониан системы) принадлежит к классам интегрируемых систем, то эти переменные являются переменными типа действиеугол.