Периодическое волновое решение (4.13) есть [4.5]
\[
s_{n}=\mp \frac{2 m K v}{b} Z\left\{2\left(\frac{n}{\lambda} \mp v t\right) K\right\},
\]

где $Z(u)$ есть $Z$-функция Якоби, определяемая выражением
\[
Z(u)=\int_{0}^{u} \mathrm{dn}^{2} u d u-\frac{E}{K} u,
\]

а частота $v$ и длина волны $\lambda$ связаны дисперсионным соотношением
\[
2 K v=\sqrt{\frac{a b}{m}}\left(\frac{1}{\mathrm{sn}^{2}(2 K / \lambda)}-1+\frac{E}{K}\right)^{-1 / 2},
\]

В выщеописанных формулах sn и dn обозначают эллиптические функции Якоби, $K$ и $E$ – полные эллиптические интегралы первого и второго рода. Они имеют одинаковый модуль $k$, который определяет амплитуду волны. Из (4.12) волновой профиль можно найти в виде
\[
\exp \left(-b r_{n}\right)-1=\frac{(2 K v)^{2}}{a b / m}\left[\operatorname{dn}^{2}\left\{2\left(\frac{n}{\lambda} \mp \lambda t\right) K\right\}-\frac{E}{K}\right] .
\]

Поскольку функция dn может быть выражена через cn, периодические волны можно назвать кноидальными волнами для цепочки, следуя терминологии Кортевега и де Фриза [4.6], которые получили подобные решения для волн на мелкой воде.

При постоянном модуле $k$ (4.16) дает полосу частот от $v=0$ для $1 / \lambda=0$ до максимальной частоты $v_{m}=\sqrt{a b / m E K} / 2$ для волнового числа $1 / \lambda_{m}=1 / 2$.

Кноидальные волны (4.11) можно рассматривать как волны в периодическөй цепочке. Если эта цепочка состойт из $N$ частиц, мы получаем независимые волны с волновыми числами
\[
\frac{1}{\lambda}=0, \frac{1}{N}, \frac{2}{N}, \ldots, \frac{(N-1)}{N} .
\]

Волны с волновыми числами $1 / \lambda=N / N,(N+1) / N, \ldots$ и с $1 / \lambda=0,1 / N, \ldots$ эквивалентны в силу $2 K$-периодичности функций $\mathrm{sn}^{2}$ и $\mathrm{dn}^{2}$ в $(4.16)$, (4.17).