Исследуем теперь точное решение системы (7.74), одной из основных систем уравнений нелинейной оптики. Сначала заметим без доказательства, что главное интегральное уравнение (7.53) может быть заменено на
\[
\begin{array}{l}
F\left(z, z^{\prime}\right)+K\left(z, z^{\prime}\right)+\int_{z}^{\infty} K\left(z, z^{\prime \prime}\right) C F\left(z^{\prime \prime}, z^{\prime}\right) d z^{\prime \prime}- \\
-\int_{-\infty}^{z} K\left(z, z^{\prime \prime}\right)(1-C) F\left(z^{\prime \prime}, z^{\prime}\right) d z^{\prime \prime}=0,
\end{array}
\]

где $C$ является произвольной матрицей, коммутирующей со всеми $l_{i}$. Далее отметим, что система (7.74) имеет тривиальные точные решения, когда только одно из значений $u_{i}$ отличается от нуля, например, $u_{0}=u_{1}=0 ; u_{2}=u\left(x-v_{2 x} t, z-v_{2 z} t\right)$. На основании этого точного решения системы (7.74) введем процедуру одевания. Здесь матричная функция $F$ удовлетворяет двум уравнениям,
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial F}{\partial x}+I \frac{\partial F}{\partial z}+\frac{\partial F}{\partial z^{\prime}} I+[I, P(z, x, t)] F-F\left[I, P\left(z^{\prime}, x, t\right)\right]=0 \\
\frac{\partial F}{\partial x}+J \frac{\partial F}{\partial z}+\frac{\partial F}{\partial z^{\prime}} J+[J, P(z, x, t)] F-F\left[J, P\left(z^{\prime}, x, t\right)\right]=0
\end{array}
\]

где матрица $P$ имеет вид
\[
P=-i \sqrt{a_{2}-a_{3}}\left(\begin{array}{ccc}
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & u \\
0 & u^{*} & 0
\end{array}\right)
\]

и $u(\xi, \eta)$-произвольная матричная функция.

Учтем следующее ограничение на вид матрицы $F$ :
\[
F=\left(\begin{array}{ccc}
0 & F_{12} & F_{13} \\
F_{21} & 0 & 0 \\
F_{31} & 0 & 0
\end{array}\right)
\]

и выберем матрицу $C$ в виде
\[
C=\left(\begin{array}{lll}
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right) .
\]

Если выбирать всевозможные функции $и$ и всевозможные решения системы (7.110), (7.111) вида (7.113), для которых интегралы в (7.109) сочетаются с матрицей $C$, взятой в виде (7.114), то мы получим общее решение системы (7.34). Здесь $u_{0}, u_{1} \rightarrow 0$, $u_{2} \rightarrow u$ при $z \rightarrow \pm \infty$.

Система (7.74) физически наиболее интересна, если $u_{i}$ зависит от трех пространственных координат. Однако, переходя к системе координат, в которой групповая скорость одной из волн (например, $u_{0}$ ) равна нулю, система может быть сведена к существенно двумерной, для которой достаточно совместить координатную плоскость с плоскостью векторов $v_{2}$ и $v_{3}$. В этом случае исчезает производная вдоль направления, перпендикулярного этой плоскости. Пусть это будет направление $y$. Предположим, что $b_{1}=b_{3}=0$, тогда
\[
\begin{array}{ll}
v_{1 x}=\frac{b}{a_{1}-a_{2}} ; \quad v_{1 z}=\frac{a_{1} b}{a_{1}-a_{2}} ; \\
v_{2 x}=\frac{b}{a_{2}-a_{3}} ; & v_{2 z}=\frac{a_{2} b}{a_{2}-a_{3}} .
\end{array}
\]

Числа $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ нормированы так, что $\varepsilon=1$. Редукция функции $F$
\[
F^{\dagger}\left(z, z^{\prime}\right)=F\left(z^{\prime}, z\right)
\]

соответствует выбору редукции (7.67). Формула (7.47) дает
\[
\begin{array}{l}
q_{0}=-i \sqrt{a_{1}-a_{3}} u_{0}=K_{13}(z, z, x, t), \\
q_{1}=i \sqrt{\tilde{a}_{1}-a_{2}} u_{1}=K_{12}(z, z, x, t), \\
q_{2}=i \sqrt{a_{2}-a_{3}} u_{2}=K_{23}(z, z, x, t)+u .
\end{array}
\]

Рассмотрим простейший случай $u=0$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
F_{12}=F\left(z-a_{1} x\right) \Phi\left(z^{\prime}-a_{2} x-b t\right) ; \\
F_{13}=F\left(z-a_{1} x\right) \Psi\left(z-a_{3} x\right): \\
\int_{-\infty}^{\infty}|F(s)|^{2} d s=J_{1} ; \quad \int_{-\infty}^{\infty}|\Phi(s)|^{2} d s=J_{2} ; \\
\int_{-\infty}^{\infty}|\Psi(s)|^{2} d s=J_{3} .
\end{array}
\]

Легко проверить, что (7.117) с произвольными комплексными $F, \Phi$ и $\Psi$ является решением системы (7.110), (7.111).
Из (7.60) найдем, что
\[
\begin{array}{c}
q_{0}=-\frac{F \Psi}{\Delta} ; \quad q_{1}=-\frac{F \Phi}{\Delta} ; \\
q_{2}=\frac{\Phi^{*} \Psi}{\Delta} \int_{-\infty}^{z-a_{1} x}|F(s)|^{2} d s ;
\end{array}
\]

где
\[
\Delta=1+\int_{-\infty}^{z-a_{1} x}|F(s)|^{2} d s\left[\int_{z-a_{2} x-t t}^{\infty}|\Phi(s)|^{2} d s+\int_{z-a_{2} x}^{\infty}|\Psi(s)|^{2} d s\right] .
\]

Асимптотически при $t \rightarrow-\infty$ решение (7.118) распадается на пакет накачки $u_{0}$ и волновой пакет $u_{1}^{-}$с интегральными интенсивностями
\[
\begin{array}{l}
I_{0}^{-}=\int\left|u_{0}(x, z)\right|^{2} d x d z=q \ln \left(1+J_{1} J_{0}\right), \\
I_{1}^{-}=\int\left|u_{1}^{-}(x, z)\right|^{2} d x d z=q \ln \left(1+\frac{J_{1} J_{2}}{1+J_{1} J_{2}}\right) .
\end{array}
\]

При $t \rightarrow+\infty$ имеются все три пакета с интенсивностями
\[
\begin{array}{c}
I_{0}^{+}=q \ln 1+\frac{J_{1} J_{3}}{1+J_{1} J_{2}} ; \quad I_{2}^{+}+I_{1}^{+}-I_{1}^{-} ; \\
I_{1}^{+}=q \ln \left(1+J_{1} J_{2}\right) ; \quad q=\frac{\left(a_{1}-a_{2}\right)\left(a_{2}-a_{3}\right)}{b^{2}\left(a_{1}-a_{3}\right)} .
\end{array}
\]

Если $J_{1}, J_{3} \gg 1$ и $J_{1} \gg J_{2}, J_{3}$, то мы имеем задачу взаимодействия интенсивного пакета накачки с маленьким волновым пакетом $u_{2}$. Значения интенсивностей указывают, что происходит почти полный распад накачки. Асимптотический вид пакетов $u_{1}$ и $u_{2}$ зависит от функции $\varphi$, которая не входит в асимптотнческое выражение накачки $u_{0}^{-}$. Этот факт отражает распад неустойчивости волны накачки.

В целом, разобранный метод также может быть применен к проблеме взрывной неустойчивости (7.75). Соответствующее решение имеет вид ( $
abla_{0}=0, \varepsilon=1$ ):
\[
\begin{array}{c}
q_{0}=-\frac{F \psi}{\Delta} ; \quad q_{1}=\frac{F^{*} \varphi}{\Delta} ; \quad q_{2}=\frac{\Phi^{*} \psi^{*}}{\Delta} \int_{-\infty}^{z-a_{1} x}|F(s)|^{2} d s \\
\Delta=1-\int_{-\infty}^{z-a_{1} x}|F(s)|^{2} d s\left[\int_{z-a_{2} x-b t}^{-\infty}|\varphi(s)|^{2} d s+\int_{z-a_{2} x}^{\infty}|\psi(s)|^{2} d s\right] .
\end{array}
\]

Эволюция решения (7.119) может привести к тому, что в некоторой точке в конечный момент времени знаменатель обратится в нуль. Это доказывает, что развитие взрывной неустойчивости для трехмерного волнового пакета ведет к точке «коллапса».