Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Исследуем теперь точное решение системы (7.74), одной из основных систем уравнений нелинейной оптики. Сначала заметим без доказательства, что главное интегральное уравнение (7.53) может быть заменено на где $C$ является произвольной матрицей, коммутирующей со всеми $l_{i}$. Далее отметим, что система (7.74) имеет тривиальные точные решения, когда только одно из значений $u_{i}$ отличается от нуля, например, $u_{0}=u_{1}=0 ; u_{2}=u\left(x-v_{2 x} t, z-v_{2 z} t\right)$. На основании этого точного решения системы (7.74) введем процедуру одевания. Здесь матричная функция $F$ удовлетворяет двум уравнениям, где матрица $P$ имеет вид и $u(\xi, \eta)$-произвольная матричная функция. Учтем следующее ограничение на вид матрицы $F$ : и выберем матрицу $C$ в виде Если выбирать всевозможные функции $и$ и всевозможные решения системы (7.110), (7.111) вида (7.113), для которых интегралы в (7.109) сочетаются с матрицей $C$, взятой в виде (7.114), то мы получим общее решение системы (7.34). Здесь $u_{0}, u_{1} \rightarrow 0$, $u_{2} \rightarrow u$ при $z \rightarrow \pm \infty$. Система (7.74) физически наиболее интересна, если $u_{i}$ зависит от трех пространственных координат. Однако, переходя к системе координат, в которой групповая скорость одной из волн (например, $u_{0}$ ) равна нулю, система может быть сведена к существенно двумерной, для которой достаточно совместить координатную плоскость с плоскостью векторов $v_{2}$ и $v_{3}$. В этом случае исчезает производная вдоль направления, перпендикулярного этой плоскости. Пусть это будет направление $y$. Предположим, что $b_{1}=b_{3}=0$, тогда Числа $a_{1}, a_{2}$ и $a_{3}$ нормированы так, что $\varepsilon=1$. Редукция функции $F$ соответствует выбору редукции (7.67). Формула (7.47) дает Рассмотрим простейший случай $u=0$. Тогда Легко проверить, что (7.117) с произвольными комплексными $F, \Phi$ и $\Psi$ является решением системы (7.110), (7.111). где Асимптотически при $t \rightarrow-\infty$ решение (7.118) распадается на пакет накачки $u_{0}$ и волновой пакет $u_{1}^{-}$с интегральными интенсивностями При $t \rightarrow+\infty$ имеются все три пакета с интенсивностями Если $J_{1}, J_{3} \gg 1$ и $J_{1} \gg J_{2}, J_{3}$, то мы имеем задачу взаимодействия интенсивного пакета накачки с маленьким волновым пакетом $u_{2}$. Значения интенсивностей указывают, что происходит почти полный распад накачки. Асимптотический вид пакетов $u_{1}$ и $u_{2}$ зависит от функции $\varphi$, которая не входит в асимптотнческое выражение накачки $u_{0}^{-}$. Этот факт отражает распад неустойчивости волны накачки. В целом, разобранный метод также может быть применен к проблеме взрывной неустойчивости (7.75). Соответствующее решение имеет вид ( $ Эволюция решения (7.119) может привести к тому, что в некоторой точке в конечный момент времени знаменатель обратится в нуль. Это доказывает, что развитие взрывной неустойчивости для трехмерного волнового пакета ведет к точке «коллапса».
|
1 |
Оглавление
|