Если поставлены периодические граничные условия или условия закрепленного конца, то гамильтониан нашей системы может быть записан в виде
\[
H(Q, P)=\frac{1}{2} \sum_{n} P_{n}^{2}+\sum \frac{\exp \left(Q_{n-1}\right)}{\exp \left(Q_{n}\right)}+\text { const. }
\]

Как легко убедиться, преобразование $(Q, P) \rightarrow\left(Q^{\prime}, P^{\prime}\right)$, где
\[
\begin{array}{l}
P_{n}=\frac{\exp \left(Q_{n}\right)}{\exp \left(Q_{n}^{\prime}\right)}+\frac{\exp \left(Q_{n-1}^{\prime}\right)}{\exp \left(Q_{n}\right)}-\alpha, \\
P_{n}^{\prime}=\frac{\exp \left(Q_{n}\right)}{\exp \left(Q_{n}^{\prime}\right)}+\frac{\exp \left(Q_{n}^{\prime}\right)}{\exp \left(Q_{n+1}\right)}-\alpha
\end{array}
\]
$(\alpha=$ const), сохраняет гамильтониан с точностью до константы:
\[
H^{\prime}\left(Q^{\prime}, P^{\prime}\right)=H(Q, P)+\mathrm{const}
\]

дополнительная константа определяется граничными условиями.
Это преобразование является каноническим и выводится из производящей функции [4.17]
$W\left(Q, Q^{\prime}\right)=\sum_{n}\left\{\exp \left[-\left(Q_{n}^{\prime}-Q_{n}\right)\right]-\exp \left[-\left(Q_{n+1}-Q_{n}^{\prime}\right)\right]-\alpha\left(Q_{n}^{\prime}-Q\right)\right\}$

с помощью обычных формул канонического преобразования, т.е.
\[
P_{n}=\frac{\partial W}{\partial Q_{n}}, \quad P_{n}^{\prime}=-\frac{\partial W}{\partial Q_{n}^{\prime}} .
\]

Предположим, что $(Q, P)$ – известное решение, тогда $\left(Q^{\prime}, P^{\prime}\right)$ тоже будет решением той же системы. Такие преобразования известны для других нелинейных уравнений и называются преобразованиями Бэклунда.

Поскольку $P_{n}=\dot{Q}_{n}$ и $P_{n}^{\prime}=\dot{Q}_{n}^{\prime}$, то преобразования Бэклунда для нашей решетки могут быть записаны [4.17], [4.18] следующим образом:
\[
\begin{array}{l}
\dot{Q}_{n}=\exp \left[-\left(Q_{n}^{\prime}-Q_{n}\right)\right]+\exp \left[-\left(Q_{n}-Q_{n-1}^{\prime}\right)\right]-\alpha, \\
\dot{Q}_{n}^{\prime}=\exp \left[-\left(Q_{n}^{\prime}-Q_{n}\right)\right]-\exp \left[-\left(Q_{n+1}-Q_{n}^{\prime}\right)\right]-\alpha .
\end{array}
\]

В качестве простого примера мы начнем с тривиального решения
\[
Q_{n}=\dot{Q}_{n}=0
\]

и получим решение уравнения (4.76), задаваемое формулой
\[
\exp Q_{n}^{\prime}=\frac{\mathrm{ch}(\kappa n-\beta t)}{\operatorname{ch}[\kappa(n+1)-\beta t]},
\]

где
\[
\alpha=2 \operatorname{ch} x, \quad \beta=-\operatorname{sh} x .
\]

Равенство (4.78) можно записать как
\[
\operatorname{cxp}\left[-\left(Q_{n}^{\prime}-Q_{n-1}^{\prime}\right)\right]=1+\operatorname{sh}^{2} x \cdot \operatorname{sech}^{2}(x n-\beta t) .
\]

Таким образом, видно, что преобразование от $(Q, P)$ к $\left(Q^{\prime}, P^{\prime}\right)$ добавляет еще один солитон. Можно показать, что это преобразование эквивалентно преобразованию Бэклунда, предложенному Ченом и Лю [4.19].

Можно показать [4.20], что описанное выше преобразование переходит в непрерывном пределе в преобразование Бэклунда для уравнения КдФ [4.21]
\[
\begin{array}{l}
w_{\xi}-w_{\xi}^{\prime}=-2 \eta^{2}-\left(w-w^{\prime}\right)^{2} / 2, \\
w_{\tau}-w_{\tau}^{\prime}=\left[-2 w_{\xi \xi}-2 w_{\xi}\left(w-w^{\prime}\right)=4 \eta^{2}\left(w-w^{\prime}\right)\right]_{\xi},
\end{array}
\]

если записать
\[
\begin{aligned}
w & =2 Q_{n+1 / 2}=Q_{n}+Q_{n+1}, \\
w^{\prime} & =2 Q_{n}^{\prime} .
\end{aligned}
\]