Представим функцию Иоста в следующей форме:
$$F(x,k)=\exp (ikx)I+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,y)\exp (iky)dy.$$

Подстановка выражения (8.19) для $F$ в (8.4) дает
$$\begin{array}{c}\frac{d}{dx}K(x,x)=-\frac{1}{2}U(x),\\ [-\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^2}{\partial y^2}+U^{\prime }(x)]K(x,y)=0.\end{array}$$

Равенство (8.8a), согласно лемме 1 , может быть записано в виде

где
$$G(x,k)A^{-1}(k)=F(x,-k)+F(x,k)R(k),$$
$$R(k)=B(k)A^{-1}(k).$$

Из (8.9), (8.11) легко вытекает, что $R(k)=R^{\ast }(-k)$. Матрица $R(k)$ будет называться матричным коэффициентом отражения.

Выведем уравнения Гельфанда-Левитана — Марченко. Фурье-преобразование (8.22) и соотношения (8.16), (8.18),

(8.19) позволяют получить, что
$$K(x,y)+H(x+y)+{\int }_x^{\mathrm{\infty }}K(x,z)H(y+z)dz=0,x⩽y,$$

где
$$\begin{array}{c}H(x)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}dkR(k)\exp ikx-i\sum _{j=1}^s{R}_j\exp \left(i{k}_{i}x\right),\\ R_j=B\left(k_j\right)N_j.\end{array}$$

Уравнения (8.24) вместе с соотношениями (8.25) и будут называться уравнениями Гельфанда — Левитана — Марченко. Совокупность величин
$$\{R(k),k_i^2,R_j\},(j=1,2,\dots ,s)$$

называется данными рассеяния для задачи (8.1). Уравнения Гельфанда — Левитана — Марченко позволяют по данным рассеяния найти $K(x,y)$ и затем получить потенциал $U(x)$ из (8.20).

Таким образом доказано, что обратная задача рассеяния для системы (8.1) может быть решена, что позволяет применить МОЗР. При рассмотрении этой задачи были сделаны два предположения о потенциале $U(x)$. Условие b) нас здесь не очень интересует, и мы не будем акцентировать внимание на нем. Условие а) весьма существенно, поскольку во многих случаях потенциал $U(x)$ оказывается не эрмитовым. В настоящее время остается открытым вопрос о том, при каких наиболее общих условиях на потенциал обратная задача разрешима.
Рассматривались следующие три случая:
I) $U$ диагональна (и, возможно, комплексна),
II) $\sigma =JUJ,J$ постоянная матрица, $J^2=1$,
III) $U^{\ast }=JUJ,J$ постоянная матрица, $J^2=1$.
Первым существенным моментом анализа этих случаев является определение вронскиана. Хотя при этом нужны некоторые дополнительные предположения, рассуждения, аналогичные предшествующим, представляются верными. Случай I изучался для $2\times 2$-матрицы, связанной с уравнением (8.41). Хочется добавить, что следовало бы изучить случай периодических граничных условий.