Представим функцию Иоста в следующей форме:
\[
F(x, k)=\exp (i k x) I+\int_{x}^{\infty} K(x, y) \exp (i k y) d y .
\]
Подстановка выражения (8.19) для $F$ в (8.4) дает
\[
\begin{array}{c}
\frac{d}{d x} K(x, x)=-\frac{1}{2} U(x), \\
{\left[-\frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2}}{\partial y^{2}}+U^{\prime}(x)\right] K(x, y)=0 .}
\end{array}
\]
Равенство (8.8a), согласно лемме 1 , может быть записано в виде
где
\[
G(x, k) A^{-1}(k)=F(x,-k)+F(x, k) R(k),
\]
\[
R(k)=B(k) A^{-1}(k) .
\]
Из (8.9), (8.11) легко вытекает, что $R(k)=R^{*}(-k)$. Матрица $R(k)$ будет называться матричным коэффициентом отражения.
Выведем уравнения Гельфанда-Левитана – Марченко. Фурье-преобразование (8.22) и соотношения (8.16), (8.18),
(8.19) позволяют получить, что
\[
K(x, y)+H(x+y)+\int_{x}^{\infty} K(x, z) H(y+z) d z=0, \quad x \leqslant y,
\]
где
\[
\begin{array}{c}
H(x)=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} d k R(k) \exp i k x-i \sum_{j=1}^{s} R_{j} \exp \left(i k_{i} x\right), \\
R_{j}=B\left(k_{j}\right) N_{j} .
\end{array}
\]
Уравнения (8.24) вместе с соотношениями (8.25) и будут называться уравнениями Гельфанда – Левитана – Марченко. Совокупность величин
\[
\left\{R(k), k_{i}^{2}, R_{j}\right\}, \quad(j=1,2, \ldots, s)
\]
называется данными рассеяния для задачи (8.1). Уравнения Гельфанда – Левитана – Марченко позволяют по данным рассеяния найти $K(x, y)$ и затем получить потенциал $U(x)$ из (8.20).
Таким образом доказано, что обратная задача рассеяния для системы (8.1) может быть решена, что позволяет применить МОЗР. При рассмотрении этой задачи были сделаны два предположения о потенциале $U(x)$. Условие b) нас здесь не очень интересует, и мы не будем акцентировать внимание на нем. Условие а) весьма существенно, поскольку во многих случаях потенциал $U(x)$ оказывается не эрмитовым. В настоящее время остается открытым вопрос о том, при каких наиболее общих условиях на потенциал обратная задача разрешима.
Рассматривались следующие три случая:
I) $U$ диагональна (и, возможно, комплексна),
II) $\sigma=J U J, J$ постоянная матрица, $J^{2}=1$,
III) $U^{*}=J U J, J$ постоянная матрица, $J^{2}=1$.
Первым существенным моментом анализа этих случаев является определение вронскиана. Хотя при этом нужны некоторые дополнительные предположения, рассуждения, аналогичные предшествующим, представляются верными. Случай I изучался для $2 \times 2$-матрицы, связанной с уравнением (8.41). Хочется добавить, что следовало бы изучить случай периодических граничных условий.
