Прямая задача самоиндуцированной прозрачности – найти решение $[E(t, x), A(t, x ; \zeta), B(t, x ; \zeta)]$ системы
\[
\partial_{x} E=-\left\langle 2 A B^{*}\right\rangle ; \quad i \partial_{t}\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}
2 \zeta & i E \\
-i E^{*} & -2 \zeta
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right) \quad(2.80 \mathrm{a}, \mathrm{b})
\]

со следующими граничными условиями:
\[
\begin{array}{ccc}
\left.E(t, x)\right|_{x=0}=E_{0}(t) \rightarrow 0 & \text { при } & t \rightarrow \pm \infty ; \\
\left(\begin{array}{c}
A(t, x ; \zeta) \\
B(t, x ; \zeta)
\end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{c}
0 \\
e^{i \zeta t}
\end{array}\right) \text { при } & t \rightarrow-\infty .
\end{array}
\]

Здесь $\langle f(\cdot)\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} f(\zeta) g(\zeta) d \zeta$. Уравнения (2.80) являются комплексной записью системы (2.8). $E$ обозначает медленно меняющуюся комплексную огибающую электрического поля. Напомним, что это поле приведено в резонанс со средой, которая описывается как совокупность двухуровневых квантовых осцилляторов. $A$ и $B$ обозначают медленно меняющиеся амплитуды соответственно верхнего и нижнего квантовых уровней. Они определяют поляризацию $\lambda$ и число инверсий $N$ по формулам
\[
\begin{aligned}
\lambda(t, x ; \zeta) & =-2 A(t, x ; \zeta) B^{*}(t, x ; \zeta), \\
N(t, x ; \zeta) & =|A(t, x ; \zeta)|^{2}-|B(t, x ; \zeta)|^{2} .
\end{aligned}
\]

Параметр $\zeta$ есть мера различия между несущей частотой и собственной частотой осциллятора. При точном резонансе $\zeta=0$. Отметим, что такая аппроксииация двухуровневой динамики $(A, B)$ может быть получена из точного двухуровневого описания $(\alpha, \beta)$ системой (2.1) при помощи схемы аппроксимации, аналогичной той, что была использована в разд. 2.2.1 для вывода блоховских уравнений (2.5) – (2.8). Такое сведение детально обсуждается в [2.64].

Из начальных условий видно, что поле $E$ имеет заданное значение при $x=0$, в то время как в «отдаленном прошлом» все квантовые осцилляторы находятся на нижнем энергетическом уровне. Такая совокупность осцилляторов описывает среду, ослабляющую поле. (Қак уже обсуждалось в разд. 2.2.1, в усиливающей среде большая часть осцилляторов первоначально находится в верхнем состоянии, что позволяет полю извлекать энергию из среды и усиливаться.)

Временно фиксируем коордннату $x=x_{0}>0$ и рассмотрим огибающую электрического поля $E$ в точке $x_{0}$ как функцию времени $t$. Поле $E$ является локализованным импульсом; следовательно, для больших отрицательных времен поле пренебрежимо
мало в точке $x_{0}$, поскольку импульс еще не дошел до нее. Для таких отрицательных времен двухуровневые осцилляторы вблизи $x_{0}$ остаются в нижнем состоянии, а их поляризация нулевой. При увеличении времени поле $E$ достигает точки $x_{0}$ и в силу взаимодействия (2.80b) возбуждает верхние уровни квантовых осцилляторов вблизи $x_{0}$. Потом при больших положительных временах поле в точке $x_{0}$ вновь делается нулевым, поскольку локальный импульс $E$ уже миновал, и квантовые осцилляторы вблизи $x_{0}$ остаются в состоянии, являющемся смесью двух уровней ${ }^{1}$ )
\[
\left(\begin{array}{c}
A\left(t, x_{0} ; \zeta\right) \\
B\left(t, x_{0} ; \zeta\right)
\end{array}\right) \simeq\left(\begin{array}{c}
-\bar{b}\left(\zeta ; x_{0}\right) e^{-i \zeta t} \\
\bar{a}\left(\zeta ; x_{3}\right) e^{i \zeta t}
\end{array}\right) \text { при } t \rightarrow+\infty .
\]

Здесь коэффициенты ( $\bar{a}$ и $\bar{b}$ ) определяются видом импульса $E$; однако поскольку величина $|A|^{2}+|B|^{2}$ является константой по $t$ (сохранение вероятности), она должна быть равной своему начальному значению 1 , что налагает на коэффициенты $\bar{a}$ и $\bar{b}$ ограничение
\[
\left|\bar{a}\left(\xi ; x_{0}\right)\right|^{2}+\left|\bar{b}\left(\xi ; x_{0}\right)\right|^{2}=1 .
\]

Отматим, что после прохождения импульса через точку $x_{0}$ поляризация $\lambda=2 i \overline{b a^{*}} \exp (-2 i \zeta t)$ осциллирует по $t$; среда «звенит». Этот «звон» является возбужденным состоянием среды. Поскольку энергия всей системы (поле плюс среда) сохраняется, то приращение энергии среды должно происходить из-за потери энергии полем. В самом деле, закон сохранения
\[
\partial_{t}\langle N(t, x)\rangle+\frac{1}{2} \partial_{x}|E(t, x)|^{2}=0,
\]

немедленно вытекающий из (2.80), (2.82), дает такой баланс. Здесь $|E(t, x)|^{2}$ представляет собой плотность энергии поля, тогда как число инверсий $N$-это приращение энергии среды сверх энергии основного состояния.

В последнем абзаце мы описали типичную ситуацию; однако можно представить себе такие специальные импульсы, которые, проходя через точку $x_{0}$, возвращают среду в точности в основное состояние. Для таких специальных импульсов $b\left(\zeta ; x_{0}\right)=0$ для всех (вещественных) значений «параметра расстройки» $\zeta$. Из соотношения (2.84) следует, что $\left|a\left(\xi ; x_{0}\right)\right|=1$ для таких импульсов и что единственное долговременное изменение среды (в точке $x_{0}$ ) – это фазовый сдвиг в нижнем состоянии. Среда не становится «звенящей», и энергия не переходит от поля к среде. Если это происходит для всех положений $x_{0}$, то среда окажется прозрачной для такого специального класса импульсов,
1) Такие обозначения, не вполне естественные здесь, выбраны для соответствия с $[2.22],[2.24],[2.25],[2.43],[2.65]$.

и резонанс приведет к прозрачности среды. Такая замечательная ситуация действительно встречается и приводит к sech-импульсам, обсуждавшимся в разд. 2.2.1; более того, как мы увидим, эти специальные импульсы могут быть найдены без привлечения посторонних методов. В конечном счете сама нелинейная система разлагает поле на две составляющие, одна из которых отдает энергию среде и оставляет «звенеть» осцилляторы, тогда как другая составляющая сама по себе приобретает специальную солитонную форму, приводящую к распространению без искажений. Такая ситуация на самом деле является типичной; легче всего это увидеть, решая нелинейную систему (2.80) при помощи метода обратной задачи.

Метод обратной задачи идет гораздо дальше наблюдений двух последних абзацев в использовании динамики двухуровневых осцилляторов. Идея состоит в том, чтобы рассматривать среду в точке $x=x_{0}$ в момент времени $t$ (отсчет времени ведется от прохождения импульса через точку $x_{0}$ ) как измерительный прибор, определяющий поле $E$ в точке $x_{0}$ для всех времен $t$. Ясно, что импульс $E$ определяет коэффициенты рассеяния $\vec{a}$ и $\bar{b}$, но может ли измерение реакции среды на импульс (т. е. измерение $\bar{a}\left(\xi ; x_{0}\right)$ и $\bar{b}\left(\xi ; x_{0}\right)$, коэффициентов рассеяния в точке $x_{0}$ при всех значениях єпараметра расстройки» $\zeta$ ) определить импульс $E$ ? Оказывается, что некоторая информация в точке $x$, известная как данные рассеяния $\Sigma(x)$, определяет $E(t, x)$ для всех $t$. Более того, $\Sigma(x)$ можно вычислить явно по $\Sigma\left(x_{0}\right)$, данным рассеяния в точке $x_{0}$. Итак, измерение $\Sigma\left(x_{0}\right)$, определяет $E(t, x)$ для всех $x$ и $t$. Перейдем теперь к подробностям.

Прежде всего мы перепишем уравнения двухуровневой динамики как задачу на собственные значения,
\[
\left[i\left(\begin{array}{rr}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{array}\right) \partial_{t}-\frac{i}{2}\left(\begin{array}{cc}
0 & E\left(t, x_{0}\right) \\
E^{*}\left(t, x_{0}\right) & 0
\end{array}\right)\right]\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right)=\zeta\left(\begin{array}{l}
A \\
B
\end{array}\right),
\]

где $x_{0}$ фиксированно, и $E$ считается известной функцией от $t$ (как, например, при $x_{0}=0$ ). Хотя эта задача на собственные значения и не является самосопряженной, известны ее спектральные свойства. Ее спектр состоит из непрерывного спектра на всей вещественной оси $\zeta$, а также из конечного числа связанных состояний в верхней полуплоскости, $\operatorname{Im}\{\zeta\} \geqslant 0$. «Потенциал» $E$ определяет следующие спектральные данные $\Sigma$ :
$\Sigma=\{R(\zeta)$ (для всех вещественных Ђ);
\[
\left.\left.\zeta_{j} \text { и } \bar{c}_{l} \quad \text { [для всех } j \in(1,2, \ldots, N)\right]\right\} .
\]

Здесь $R(\zeta) \equiv \bar{b}(\zeta) /[\bar{a}(\zeta)] *, N$ обозначает число связанных состояний. (Если $E$ имеет компактный носитель по $t$, то $\bar{c}_{j}=$ $\left.=d\left\{\vec{b}(\zeta) /[\vec{a}(\zeta)]^{*}\right\} / d \zeta \mid \zeta-\zeta_{j}\right)$

Важнейшая черта метода обратной задачи – понимание того, что отображение $E \rightarrow \Sigma$ обратимо; другими словами, данные $\Sigma$ однозначно определяют $E$ для любого момента времени. Такая обратимость позволяет ввести общеизвестную сейчас диаграмму метода обратной задачи рассеяния (рис. 2.2). На этой диаграмме непосредственное интегрирование изображается стрелкой под номером (4), в то время как интегрирование методом обратной задачи рассеяния изображается путями $(1) \rightarrow(2) \rightarrow$ $\rightarrow(3)$. Путь (1) отображает заданное поле $E(t, x=0)$ в данные рассеяния $\Sigma(x=0)$. Этот шаг аналогичен прямой задаче
Рис. 2.2. Схема метода обратной задачи рассеяния.

рассеяния квантовой механики (и столь же труден). Вдоль пути (2) зависимость $E$ от $x$, даваемая уравнением (2.80a), используется для нахождения зависимости от $x$ спектральных данных $\Sigma$. Одно из чудес метода обратной задачи – тривиальность зависимости $\Sigma$ от $x$, так что $\Sigma(x)$ может быть найдена явно. Этот шаг (2) со всеми подробностями обсуждается, в частности, в других статьях настоящей книги. Здесь мы лишь приведем окончательный результат, полученный в [2.43], для системы уравнений самоиндуцированной прозрачности:
\[
\begin{array}{c}
\Sigma(x)=\left\{R(\zeta, x)=R(\zeta, x=0) \exp \left[-\frac{i}{2} x \int_{\Gamma_{u}} \frac{g\left(\zeta^{\prime}\right) d \zeta^{\prime}}{\zeta-\zeta^{\prime}}\right] ;\right. \\
\zeta_{l}(x)=\zeta_{l}(x=0) ; \\
\left.\bar{c}_{j}(x)=\bar{c}_{l}(x=0) \exp \left(-\frac{i}{2} x \int_{\Gamma_{u}} \frac{g\left(\zeta^{\prime}\right) d \zeta^{\prime}}{\zeta_{I}-\zeta^{\prime}}\right)\right\} .
\end{array}
\]

Здесь $\Gamma_{u}$-контур в $\zeta$-плоскости, идущий вдоль действительной оси от $-\infty$ до $+\infty$ и обходящий снизу точку $\zeta^{\prime}=\zeta$. Отметим особо, что собственные значения $\left\{\zeta_{j}\right\}$ не зависят от $x$, а зависимость от $x$ величин $R$ и $\bar{c}_{j}$ весьма просто выражается через функцию распределения $g(\cdot)$.

На последнем шаге (3) нужно восстановить $E(\cdot, x)$ по $\Sigma(x)$, что вполне аналогично «обратной задаче рассеяния» квантовой механики. В приложении мы приведем вывод метода обратной задачи, являющейся, на наш взгляд, более коротким, ясным и понятным, чем обычно встречающиеся в литературе. Здесь мы приведем лишь окончательные формулы.
Во-первых, по данным рассеяния $\Sigma$ строится ядро $\hat{R}(t+y)$,
\[
\begin{aligned}
\hat{R}(t+y) \equiv \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} R(\zeta) \exp [-i \zeta( & +y)] d \zeta- \\
& -i \sum_{j=1}^{N} \bar{c}_{j} \exp \left[-i \zeta_{j}(t+y)\right]
\end{aligned}
\]

где мы указываем зависимость от $x$. По заданному ядру $\hat{\hat{K}}(t+y)$ ищется решение
\[
K=\left(\begin{array}{rr}
K_{22}^{*} & K_{12} \\
-K_{1,}^{*}, & K_{22}
\end{array}\right)
\]

интегрального уравнения Марченко
\[
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{l}
0 \\
0
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
\hat{R}(t+y) \\
0
\end{array}\right) & +K(t, y)\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right)+ \\
& +\int_{-\infty}^{t} K\left(t, y^{\prime}\right)\left(\begin{array}{c}
\hat{R}\left(y^{\prime}+y\right) \\
0
\end{array}\right) d y^{\prime}, \quad t>y .
\end{aligned}
\]

Наконец, величина $E(t, \cdot)$ вычисляется по формуле
\[
E(t, \cdot)=4 K_{12}(t, t) .
\]

Последние три формулы, вместе с зависимостью данных рассеяния от $x$, даваемой формулами (2.85), завершают описание шагов (2) и (3). В следующем разделе мы используем эти формулы для анализа эволюции поля $E$ от его начального профиля до превращения в бегущую волну.