Рассмотрим задачу на собственные значения для матричного $m \times m$ оператора Шрёдингера на всей прямой $(-\infty<x<\infty)$
\[
L \psi(x, k)=\lambda \psi(x, k), \quad \lambda=k^{2},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
L=-\left(\partial^{2} / \partial x^{2}\right) I+U(x), \\
I=\left(\delta_{t j}\right), \quad U(x)=\left(u_{i j}(x)\right) ; \quad i, j=1, \ldots, m, \\
\tilde{\psi}(x, k)=\left[\psi_{1}(x, k), \psi_{2}(x, k), \ldots, \psi_{m}(x, k)\right] .
\end{array}
\]

Қаждый набор из $m$ решений системы (8.1) может быть представлен матрицей $\Psi(x, k)$ размером $m \times m$, удовлетворяющей уравнению
\[
-\Psi^{\prime \prime}(x, k)+U(x) \Psi(x, k)=k^{2} \Psi(x, k) .
\]

Пусть потенциал $U(x)$ удовлетворяет следующим условиям:
a) потенциал $U(x)$ эрмитов, т. е. $U^{*}(x)=U(x)$;
b) потенциал $U(x)$ непрернвен и достаточно быстро убывает при $|x| \rightarrow \infty$.

В конце этого раздела будут приведены необходимые пояснения к этим предположениям. Далее формулировки теорем и лемм приводятся без доказательств, которые могут быть найдены в оригинальной работе [8.7].