Зададимся вопросом: какие операторы $\Omega$, действующие на $(r, q)^{T}$ в $(6.56)$, дадут $(\delta r,-\delta q)^{T}$ ? Ясно, что если $\Omega$ действует по отдельности на каждую $\zeta$-составляющую, то уравнение
\[
\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right)+\Omega\left(\begin{array}{l}
q \\
r
\end{array}\right)=0
\]

сведется к разделенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для данных рассеяния. Очевидно, что кандидатами на $\Omega$ являются полиномы от $L^{A}$. В действительности требуемому свойству удовлетворяют любые операторы $B$, коммутирующие с $L^{A}$, так как $L^{A} B \Psi^{A}=B L^{A} \Psi^{A}=\xi B \Psi^{A}$ и $B \Psi^{A}$ является линейной комбинацией решений уравнения $L^{A} \Psi^{A}=\zeta \Psi^{A}$. Для удобства изложения разобьем интегрируемые уравнения на классы. Первый класс будет связан с мероморфными функциями $\Omega(\zeta)$, не имеющими особенностей на спектре $L, L^{A}$. При этом уравнение
\[
\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right)+2 \Omega\left(L^{A}\right)\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=0
\]

эквивалентно уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\delta(\bar{b} / a)=2 \Omega(\zeta) \bar{b} / a, \quad \delta(b / \bar{a})=-2 \Omega(\zeta) b / \bar{a}, \\
\delta \zeta_{k}=0, \quad \delta \beta_{k}=2 \Omega\left(\zeta_{k}\right) \beta_{k}, \quad k=1, \ldots, N, \\
\delta \bar{\zeta}_{k}=0, \quad \delta \bar{\beta}_{k}=-2 \Omega\left(\zeta_{k}\right) \bar{\beta}_{k}, \quad k=1, \ldots, \bar{N} .
\end{array}
\]

Для получения последних уравнений достаточно приравнять коэффициенты при базисных функциях $E_{-}$в разложениях для $(\delta r,-\delta q)^{T}$ и $(r, q)^{T}$. Система (6.66) тривиально интегрируема.

замечание 1. Пример. Если $\Omega(\zeta)=\sum_{r=0}^{3} a_{r} \zeta^{r}, \delta=\frac{\partial}{\partial t}, \quad$ то уравнения (6.65) имеют вид
\[
\begin{array}{c}
\left(\begin{array}{r}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)+2 a_{0}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)+\frac{2 a_{1}}{2 i}\left(\begin{array}{r}
r_{x} \\
-q_{x}
\end{array}\right)+\frac{2 a_{2}}{(2 i)^{2}}\left(\begin{array}{c}
r_{x x}-2 q r^{2} \\
q_{x x}-2 q^{2} r
\end{array}\right)+ \\
+\frac{2 a_{3}}{(2 i)^{3}}\left(\begin{array}{c}
r_{x x x}-6 q r r_{x} \\
-q_{x x x}+6 q r q_{x}
\end{array}\right)=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения объединяют одномерное линейное волновое уравнение, нелинейное уравнение Шрёдингера, модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза. Из соображений устойчивости $\Omega(\zeta)$ должно быть чисто мнимым при вещественных $\zeta$; в противоположность этому $\bar{b} / a$ или $b / \bar{a}$ должны расти экспоненциально. Этот факт находит свое отражение в (6.67): если $a_{2}$ вещественно и положительно, то $r$ удовлетворяет прямому, а $q$ обратному уравнению теплопроводности.

Замечание 2. Дисперсионные соотношения. Функция $\Omega(\zeta)$ непосредственно связана с дисперсионными соотношениями соответствующих линейных задач для $r$ и $q$. В самом деле, $\Omega(\zeta)=$ $=i / 2 \omega_{r}(2 \zeta)=-i / 2 \omega_{q}(-2 \zeta)$.

Замечание 3. Законы сохранения. Для всех уравнений, описываемых (6.65), функции $a(\zeta)$ и $\bar{a}(\xi)$ не зависят от времени. Следовательно, коэффициенты $\left(C_{n}\right)_{n=1}^{\infty}$ разложения также являются законами сохранения.

Замечание 4. Высшие размерности и псевдопространственные производные. На конференции в Аризоне в 1976 г. Франческо Қалоджеро отметил, что $\delta$ может содержать производные по добавочным «пространственным» переменным. Например, если $\mathbf{y}=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$ и
\[
\delta=F\left(L^{A}\right) \frac{\partial}{\partial t}+\mathbf{G}\left(L^{A}\right) \cdot
abla_{\mathbf{y}},
\]

то эволюционное уравнение имеет вид
\[
F\left(L^{A}\right)\left(\begin{array}{r}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)+\mathbf{G}\left(L^{A}\right) \cdot
abla_{\mathbf{y}}\left(\begin{array}{r}
r \\
-q
\end{array}\right)+2 \Omega\left(L^{A}\right)\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=0 .
\]

Эволюция данных рассеяния описывается уравнениями
\[
\begin{array}{l}
F(\zeta)\left(\frac{\vec{b}}{a}\right)_{t}+\mathbf{G}(\zeta) \cdot
abla_{\mathbf{y}}\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)=2 \Omega(\zeta) \frac{\bar{b}}{a} ; \\
F(\zeta)\left(\frac{b}{a}\right)_{t}+\mathbf{G}(\zeta) \cdot
abla_{\mathbf{y}}\left(\frac{b}{a}\right)=-2 \Omega(\zeta) \frac{b}{\bar{a}} ; \\
F\left(\zeta_{k}\right) \zeta_{k t}+\mathbf{G}\left(\zeta_{k}\right) \cdot
abla_{\mathbf{y}} \zeta_{k}=0, \quad \frac{\partial}{\partial t}\left[F\left(\zeta_{k}\right) \beta_{k}\right]+
abla_{\mathbf{y}} \cdot\left[\mathbf{G}\left(\zeta_{k}\right) \beta_{k}\right]= \\
=-2 \Omega\left(\zeta_{k}\right) \beta_{k}, \quad k=1, \ldots, N ; \quad(6.69 \mathrm{c}) \\
F\left(\bar{\zeta}_{k}\right) \bar{\zeta}_{k t}+\mathbf{G}\left(\bar{\zeta}_{k}\right) \cdot
abla_{\mathbf{y}} \bar{\zeta}_{k}=0, \quad \frac{\partial}{\partial t}\left[F\left(\bar{\zeta}_{k}\right) \bar{\beta}_{k}\right]+
abla_{\mathbf{y}} \cdot\left[\mathbf{G}\left(\bar{\zeta}_{k}\right) \bar{\beta}_{k}\right]= \\
=-2 \Omega\left(\bar{\zeta}_{k}\right) \bar{\beta}_{k}, \quad k=1, \ldots, \bar{N} .
\end{array}
\]

Отметим, что уравнения (6.69) обладают весьма интересными свойствами. Они гиперболичны и могут приводить к многозначным решениям за конечное время. Например, если $F=1$ и $G=\zeta^{2}$, то начальный профиль $\zeta(y, 0)$ (скажем, треугольной формы) может приводить к многозначным решениям, которые могут быть интерпретированы как распад солитона. Можно пойти дальше и задаться вопросом: можно ли, включив вторую и третью вариации $\left(\begin{array}{r}r \\ -q\end{array}\right)$, найти уравнения на собственные значения вида
\[
\zeta_{t}+\zeta^{2} \zeta_{y}+\zeta_{y y y}=0,
\]

соответствующие двумерным солитонным решениям в $(x, y)$-пространстве? Эти идеи весьма привлекательны не только потому, что они приводят к физическим следствиям, но и потому, что разложение (6.68) в (6.69) и, возможно, в (6.70) является весьма естественным обобщением идеи разделения переменных в линейных задачах.

Замечание 5. Можно включить эффекты линейных градиентов плотности, заметив, что
\[
\begin{aligned}
\left(\frac{b}{a}\right)_{\zeta}=-\frac{1}{a^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} 2 i x\left(\begin{array}{r}
q \\
-r
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}
\varphi_{2}^{2} \\
-\varphi_{1}^{2}
\end{array}\right) d x, \\
\left(\frac{\bar{b}}{\bar{a}}\right)_{\xi}=-\frac{1}{\bar{a}^{2}} \int_{-\infty}^{+\infty} 2 i x\left(\begin{array}{r}
q \\
-r
\end{array}\right) \cdot\left(\begin{array}{r}
\bar{\varphi}_{2}^{2} \\
-\bar{\varphi}_{1}^{2}
\end{array}\right) d x .
\end{aligned}
\]

Это позволяет написать разложение для
\[
2 i x\left(\begin{array}{r}
q \\
-r
\end{array}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{C}\left(\frac{b}{a}\right)_{\zeta} \Psi d \zeta-\frac{1}{\pi} \int_{\bar{C}}\left(\frac{\vec{b}}{\vec{a}}\right)_{\zeta} \bar{\Psi} d \zeta .
\]

Например, уравнение
\[
\left(\begin{array}{l}
q_{t} \\
r_{t}
\end{array}\right)+4 i L^{2}\left(\begin{array}{r}
q \\
-r
\end{array}\right)+2 i \alpha x\left(\begin{array}{r}
q \\
-r
\end{array}\right)=0,
\]

которое при $r=-q^{*}$ является нелинейным уравнением Шрёдингера для распространения огибающей волнового пакета при наличии градиентов плотности, приводит к следующему уравнению для эволюции $b / a$ :
\[
(b / a)_{t}+\alpha(b / a)_{\mathrm{s}}=4 i \xi^{2} b / a .
\]

Влияние градиента плотности проявляется в том, что пакет в основном связан с областью $x+\alpha t^{2}=$ const. Если пакет движется в область с увеличивающейся плотностью, $\alpha>0$, то в конечном итоге это приводит к его отталкиванию.