Рассмотрим систему уравнений
\[
\begin{array}{c}
\psi(n+1)+T(n) \psi(n-1)=\lambda \psi(n), \\
\dot{\psi}(n)=\psi(n+2)+W(n) \psi(n) .
\end{array}
\]

Здесь точка обозначает производную по времени. Наложим следующие граничные условия: $W(n) \rightarrow c I$, где $c$ константа, при $|n| \rightarrow \infty$. Условие $\lambda_{t}=0$ приводит к равенству
\[
\dot{T}(n)=T(n+1) T(n)-T(n) T(n-1)
\]

и соотношению
\[
W(n)=T(n+1)+T(n)+(c-2) I .
\]

Уравнение (8.50) содержит семейство систем Вольтерры. Простейший выбор
\[
T(n)=N_{n}
\]

приводит к следующим уравнениям:
\[
\dot{N}_{n}=N_{n}\left(N_{n+1}-N_{n-1}\right) .
\]

Эти уравнения были предложены несколькими авторами. Захаровым и его соавторами [8.13] уравнения (8.53) были введены для описания спектра ленгмюрсвских волн в физике плазмы.

Если в качестве $T(n)$ выбраны $2 \times 2$-матрицы с компонентами
\[
\begin{array}{l}
T_{11}(n)=1+i\left(M_{n}-M_{n-1}\right)+M_{n} M_{n-1}=T_{22}^{*}(n), \\
T_{12}(n)=T_{21}(n)=0, \quad M_{n}=\bar{M}_{n},
\end{array}
\]

то уравнение (8.50) дает
\[
\dot{M}_{n}=\left(1+M_{n}^{2}\right)\left(M_{n+1}-M_{n-1}\right) .
\]

В более общей ситуации, если положить $T_{11}(n)$ (8.54) равным
\[
\begin{aligned}
T_{11}(n)=1+\frac{1}{2}\left(\alpha-i \sqrt{4 \beta-\alpha^{2}}\right) Q_{n-1}+\frac{1}{2}(\alpha & \left.+i \sqrt{4 \beta-\alpha^{2}}\right) Q_{n}+ \\
& +\beta Q_{n} Q_{n-1},
\end{aligned}
\]

то из (8.50) получим
\[
\dot{Q}_{n}=\left(1+\alpha Q_{n}+\beta Q_{n}\right)\left(Q_{n+1}-Q_{n-1}\right),
\]

при условии $\beta=0$ или $4 \beta-\alpha^{2}>0$. Последнее условне гарантирует положительную определенность $1+\alpha Q_{n}+\beta Q_{n}^{2}$. Очевидно, что уравнение (8.57) содержит в качестве частных случаев уравнения (8.53) и (8.55).