В предыдущем разделе мы преобразовали уравнение КдФ в билинейное дифференциальное уравнение
\[
D_{x}\left(D_{t}+D_{x}^{3}\right) f \cdot f=0 .
\]

В этом разделе рассмотрим обобщенный вид уравнения (5.39)
\[
F\left(D_{t}, D_{x}\right) f \cdot f=0,
\]

где $F$ есть многочлен или экспоненциальная функция от $D_{t}, D_{x}$, удовлетворяющая условию
\[
\begin{aligned}
F\left(D_{t}, D_{x}\right) & =F\left(-D_{t},-D_{x}\right), \\
F(0,0) & =0 .
\end{aligned}
\]

Повторяя процедуру предыдущего раздела, найдем, что следующий вид функции $f$ дает $N$-солитонное решение:
\[
f=\sum_{\mu=0,1} \exp \left(\sum_{i>1}^{(N)} A_{i j} \mu_{i} \mu_{j}+\sum_{i=1}^{N} \mu_{i} \eta_{i}\right) .
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\eta_{i}=\Omega_{i} t+p_{i} x+\eta_{i}^{0}, \\
F\left(\Omega_{i}, p_{i}\right)=0,
\end{array}
\]
\[
\exp \left(A_{i j}\right)=-F\left(\Omega_{i}-\Omega_{j}, p_{i}-p_{j}\right) / F\left(\Omega_{i}+\Omega_{j}, p_{i}+p_{j}\right)
\]

при условии, что выполняется следующее тождество:
\[
\sum_{\sigma= \pm 1} F\left(\sum_{i=1} \sigma_{i} \Omega_{i}, \sum_{i=1} \sigma_{i} p_{i}\right) \times \prod_{i>l}^{(n)} F\left(\sigma_{i} \Omega_{i}-\sigma_{j} \Omega_{j}, \sigma_{i} p_{i}-\sigma_{j} p_{j}\right) \sigma_{i} \sigma_{j}=0
\]

для $n=1,2, \ldots, N$.
Заметим, что для $N=2$ тождество (5.47) выполняется без каких-либо дополнительных условий на $F$, что указывает на наличие по крайней мере 2-солитонного решения для каждого нелинейного эволюционного уравнения, которое может быть преобразовано к обобщенному билинейному дифференциальному уравнению (5.40).

Уравнение (5.40) может быть преобразовано обратно к обыкновенному виду нелинейного эволюционного уравнения, используя свойства (V), (IX), (X) и т. д. Ниже помещены нелинейные уравнения эволюции, преобразования их зависимых переменных и билинейные формы в тех случаях, когда известно, что $F$ удовлетворяет тождеству для произвольного $N$.
I. Уравнение Буссинеска [5.9]
\[
\begin{array}{l}
u_{t t}-u_{x x}-3\left(u^{2}\right)_{x x}-u_{x x x x}=0, \\
u=2(\ln f)_{x x} \\
\left(D_{t}^{2}-D_{x}^{2}-D_{x}^{4}\right) f \cdot f=0 .
\end{array}
\]

\[
\begin{array}{l}
u_{t x}+u_{y y}+6\left(u u_{x}\right)_{x}+u_{x x x x}=0, \\
u=2(\ln f)_{x x}, \\
\left(D_{t} D_{x}+D_{y}^{2}+D_{x}^{1}\right) f \cdot f=0 .
\end{array}
\]
III. Модельные уравнения для волн на мелкой воде [5.11], [5.12]
(a)
\[
\begin{array}{c}
u_{t}-u_{x x t}-3 u u_{t}+3 u_{x} \int_{x}^{\infty} u_{t} d x^{\prime}+u_{x}=0 \\
u=2(\ln f)_{x x}, \\
D_{x}\left(D_{t}-D_{t} D_{x}^{2}+D_{x}\right) f \cdot f=0 .
\end{array}
\]
(б)
\[
\begin{array}{l}
u_{t}-u_{x x t}-4 u u_{t}+2 u_{x} \int_{x}^{\infty} u_{t} d x^{\prime}+u_{x}=0, \\
u=2(\ln f)_{x x}, \\
{\left[D_{x}\left(D_{t}-D_{t} D_{x}^{2}+D_{x}\right)+\frac{1}{3} D_{t}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right)\right] f \cdot f=0,}
\end{array}
\]

причем
\[
D_{x}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right) f \cdot f=0,
\]

где $\tau$ – вспомогательная переменная.
IV. Уравнения КдФ более высокого порядка [5.13], [5.14]
(a)
\[
\begin{array}{l}
u_{t}+45 u^{2} u_{x}+15\left(u_{x} u_{x x}+u_{x x x} u\right)+u_{x x x x x}=0, \\
\quad u=2(\ln f)_{x x}, \\
D_{x}\left(D_{t}+D_{x}^{5}\right) f \cdot f=0 .
\end{array}
\]
(б)
\[
\begin{array}{l}
u_{t}+30 u^{2} u_{x}+10\left(2 u_{x} u_{x x}+u_{x x x} u\right)+u_{x x x x x}=0, \\
u=2(\ln f)_{x x}, \\
{\left[D_{x}\left(D_{t}+D_{x}^{5}\right)-\frac{5}{3} D_{\tau}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right)\right] f \cdot f=0,}
\end{array}
\]

причем
\[
D_{x}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right) f \cdot f=0,
\]

где $\tau$-вспомогательная переменная.
V. Цепочка Тоды [5.15]
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \ln \left[1+V_{n}(t)\right]=V_{n+1}(t)+V_{n-1}(t)-2 V_{n}(t), \\
V_{n}(t)=\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \ln f_{n}(t), \\
V_{n}(t)=f_{n+1}(t) f_{n-1}(t) / f_{n}^{2}(t)-1, \\
{\left[D_{t}^{2}-4 \operatorname{sh}^{2}\left(D_{n} / 2\right)\right] f \cdot f=0 .}
\end{array}
\]

[5.16]
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{t} \frac{W_{n}(t)}{1+W_{n}(t)}=W_{n-1 / 2}(t)-W_{n+1 / 2}(t), \\
W_{n}(t)=f_{n+1 / 2}(t) f_{n-1 / 2}(t) / f_{n}\left(t+\frac{\delta}{2}\right) f_{n}\left(t-\frac{\delta}{2}\right)-1,
\end{array}
\]

где $\Delta_{t}$ – разностный оператор вида
\[
\begin{array}{l}
\Delta_{t} F(t)=\delta^{-1}\left[F\left(t+\frac{\delta}{2}\right)-F\left(t-\frac{\delta}{2}\right)\right] \\
\operatorname{sh} \frac{1}{4}\left(D_{n}+\delta D_{t}\right)\left[2 \delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\delta D_{t} / 2\right)+2 \operatorname{sh}\left(D_{n} / 2\right)\right] f \cdot f=0 .
\end{array}
\]
VII. Цепочка Тоды в дискретном времени [5.17].
\[
\Delta_{t}^{2} \ln \left[1+V_{n}(t)\right]=\widehat{V}_{n+1}(t)+\widehat{V}_{n-1}(t)-2 \widehat{V}_{n}(t),
\]

где
\[
\begin{array}{l}
\hat{V}_{n}(t)=\delta^{-2} \ln \left[1+\delta^{2} V_{n}(t)\right], \\
V_{n}(t)=f_{n+1}(t) f_{n-1}(t) / f_{n}^{2}(t)-1, \\
{\left[4 \delta^{-2} \operatorname{sh}^{2}\left(\delta D_{t} / 2\right)-4 \operatorname{sh}^{2}\left(D_{n} / 2\right)\right] f \cdot f=0,}
\end{array}
\]

где $\Delta_{t}^{2}$ определяется как
\[
\Delta_{t}^{2} F(t)=\delta^{-2}[F(t+\delta)+F(t-\delta)-2 F(t)] .
\]

По-видимому, это только некоторые примеры нелинейных эволюционных уравнений, которые обладают $N$-солитонными решениями. Для дальнейшего изучения остается следующий вопрос. «Какому условию должна удовлетворять функция $F$, чтобы существовало $N$-солитонное решение?» или «При каких условиях $F$ удовлетворяет тождеству (5.47)?»