Общая конструкция
Рассмотрим быстро осциллирующую электромагнитную волну, распространяющуюся в некоторой среде. Очень простой идеализированной моделью, описывающей такое распространение, является взаимодействие классического электрического поля с совокупностью квантовых осцилляторов. Динамика каждого осциллятора описывается уравнением Шрёдингера, которое для двухуровневого атома принимает вид [2.37-2.39]
\[
i \hbar \partial_{t}\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
\beta
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} \hbar \omega & -\mathbf{q} \cdot \mathbf{E} \\
-\mathbf{q} \cdot \mathbf{E} & -\frac{1}{2} \hbar \omega
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
\alpha \\
\beta
\end{array}\right) ;
\]
$\hbar=h / 2 \pi$ (нормированная постоянная Планка). Здесь $\alpha$ и $\beta-$ амплитуды вероятностей соответственно верхнего и нижнего состояний. Эти два состояния отличаются на энергию $\hbar \omega$. Каждый осциллятор взаимодействует с электромагнитной волной E как диполь, и параметр q представляет собой дипольный матричный элемент.

Поле Е направлено вдоль оси $z$ и представляет собой почти плоскую волну, распространяющуюся вдоль оси $x$. Оно удовлетворяет уравнению Максвелла вида
\[
\left(\partial_{t t}-c^{2} \partial_{x x}\right) \mathbf{E}=-4 \pi \partial_{t t} \mathscr{P} .
\]

Здесь $\mathscr{P}$ обозначает макроскопическую поляризацию, индуцированную в среде действием поля $\mathbf{E}$ на двухуровневые осцилляторы.

Рассмотрим осциллятор, расположенный вблизи плоскости $x=X$, взаимодействующий с полем $\mathrm{E}(\dot{X}, t)$ в соответствии с (2.1). Это взаимодействие поляризует осциллятор, создавая микроскопическую поляризацию $\mathbf{P} \equiv \mathbf{q}\left(\alpha \beta^{*}+\alpha^{*} \beta\right)$. Макроскопическая поляризация $\mathscr{P}$ выражается через $\mathbf{P}$ так:
\[
\mathscr{P}(x, t)=n_{0}\langle\mathbf{P}(x, t)\rangle, \quad \mathbf{P}=\mathbf{q}\left(\alpha \beta^{*}+\alpha^{*} \beta\right) .
\]

Здесь $n_{0}$ – плотность резонирующей атомной системы, а $\langle\cdot\rangle$ операция усреднения, которую следует рассматривать как отображение, преобразующее микроскопические диполи возле точки $x$ в макроскопическую поляризацию в этой точке. Точное определение операции $\langle\cdot\rangle$ зависит от рассматриваемой физической ситуации. Ниже в этом разделе мы разберем три варианта усреднения $\langle\cdot\rangle$.

Уравнения (2.1) и (2.2) вместе с определением (2.3) образуют замкнутую систему относительно неизвестных $(\alpha, \beta, \mathbf{E})$. Первым делом нам надо вычислить модуляцию амплитуды и фазы для «почти плоской волны» E, возникающую из-за ее взаимодействия с двухуровневой средой.

Поскольку именно поляризация $\mathbf{P}=\mathbf{q}\left(\alpha \beta^{*}+\alpha^{*} \beta\right)$ влияет на $\mathbf{E}$-поле, удобно перейти к новым переменным, явно содержащим комбинацию $\left(\alpha \beta^{*}+\alpha^{*} \beta\right)$ :
\[
\begin{array}{c}
\mathrm{T} \equiv \alpha \alpha^{*}+\beta \beta^{*}, \quad \mathrm{~N} \equiv \alpha \alpha^{*}-\beta \beta^{*}, \\
\mathrm{P}_{+} \equiv \alpha \beta^{*}+\alpha^{*} \beta, \quad \mathrm{P}_{-} \equiv i\left(\alpha \beta^{*}-\alpha^{*} \beta\right) .
\end{array}
\]

В этих переменных исходная система принимает вид
\[
\begin{aligned}
\partial_{t} \mathrm{~T} & =0, \\
\partial_{t} \mathrm{~N} & =-\frac{2}{\hbar}(\mathbf{q} \cdot \mathbf{E}) \mathrm{P}_{-}, \\
\partial_{t} \mathrm{P}_{+} & =-\omega \mathrm{P}_{-}, \\
\partial_{t} \mathrm{P}_{-} & =\omega \mathrm{P}_{+}+\frac{2}{\hbar}(\mathbf{q} \cdot \mathbf{E}) \mathrm{P}_{-}, \\
\left(\partial_{t t} \mathrm{P}_{-}-c^{2} \partial_{x x}\right) \mathrm{E} & =4 \pi n_{0}\left\langle\omega^{2} \mathrm{P}_{+} \mathbf{q}+\omega(\mathbf{q} \cdot \mathbf{E}) \mathrm{Nq}\right\rangle,
\end{aligned}
\]

откуда вытекает
\[
\partial_{t t} P_{+}=-\omega^{2} P_{-}-\frac{2 \omega}{\hbar}(\mathbf{q} \cdot \mathbf{E}) N .
\]

Эта «точная» нелинейная система достаточно богата для того, чтобы моделировать многие физические ситуации; она называется нелинейной системой Максвелла-Блоха.

Сначала мы рассмотрим случай, когда поле Е и среда находятся почти в резонансе. Другими словами, несущая частота $\boldsymbol{\omega}_{c}$ поля Е выбирается близкой к частоте осциллятора $\omega$. Далее, мы предположим, что эта частота весьма велика, так что в уравнениях Максвелла достаточно удержать только резонансный член $\omega^{2} P_{+}$, и можно пренебречь другим членом $\omega(\mathbf{q} \cdot \mathbf{E}) N / \hbar$.

Теперь мы должны выбрать оператор $\langle\cdot\rangle$ перехода от микрок макровеличинам Физически каждый квантовый осциллятор не может быть tочно приведен в резонансное положение, поскольку центр масс каждого осциллятора находится в движении. Это движение приводит к доплеровскому сдвигу частоты в лабораторной системе отсчета; из-за этого распределение частот совокупности осцилляторов можно считать непрерывным. Мы предположим, что это распределение частот имеет пик на несущей частоте $\omega_{c}$, и мы будем его моделировать функцией плотности вероятности $g(\Delta \omega), \omega=\omega_{c}+\Delta \omega$. Через эту плотность $g$ «микро-в-макро» оператор $\langle\cdot\rangle$ выражается так:
\[
\langle f\rangle \equiv \int_{-\infty}^{\infty} f(\Delta \omega) g(\Delta \omega) d(\Delta \omega) .
\]

С учетом такого определения 〈$\cdot$> и выбора несущей частоты $\omega_{c}$, близкой к резонансной, мы будем искать приближенное решение уравнений Максвелла – Блоха (2.5). Отметим, во-первых, что в отсутствие индуцированной поляризации среда, по сути дела, является вакуумом, в котором несущая частота $\omega_{c}$ и волновое число $k_{c}$ связаны соотношением $\omega_{c}=c k_{c}$. В этой модели дисперсия появляется из-за взаимодействия, порождающего индуцированную поляризацию. Предположим, что поляризация мала (это выполняется в большинстве приложений). Такое предположение позволяет искать решения уравнений Максвелла – Блоха в виде
\[
\begin{aligned}
\mathrm{E}= & \frac{\hbar}{q} E(x, t) \cos \left[k_{c} x-\omega_{c} t+\varphi(x, t)\right], \\
\mathrm{N}= & N(t ; x, \Delta \omega), \\
\mathrm{P}_{+}= & Q(t ; x, \Delta \omega) \cos \left[k_{c} x-\omega_{c} t+\varphi(x, t)\right]+ \\
& +P(t ; x, \Delta \omega) \sin \left[k_{c} x-\omega_{c} t+\varphi(x, t)\right],
\end{aligned}
\]

где $\omega_{c}=c k_{c}$, и амплитуды $(E, N, P, Q)$ и фаза $\varphi$ медленно меняются на масштабах $\omega_{c} t$ и $k_{c} x$. Уравнения, описывающие медленные модуляции, можно вывести, подставляя (2.7) в систему Максвелла — Блоха и пренебрегая всеми вторыми производными огибающих, равно как и высшими гармониками. В результате из уравнений Максвелла-Блоха в указанном приближении (для медленно меняющихся огибающей и фазы) получится следующая нелинейная система:
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial E}{\partial t}+c \frac{\partial E}{\partial x}=c \alpha^{\prime}\langle P(\Delta \omega, x, t)\rangle, \\
E\left(\frac{\partial \varphi}{\partial t}+c \frac{\partial \varphi}{\partial x}\right)=c \alpha^{\prime}\langle Q(\Delta \omega, x, t)\rangle, \\
\frac{\partial P}{\partial t}=E N+\left(\Delta \omega+\frac{\partial}{\partial t} \varphi\right) Q, \\
\frac{\partial N}{\partial t}=-E P, \\
\frac{\partial Q}{\partial t}=-\left(\Delta \omega+\frac{\partial}{\partial t} \varphi\right) P .
\end{array}
\]

Здесь $\alpha^{\prime}=2 \pi n_{0} \omega_{c} q^{2} / \hbar c$, где $n_{0}$ – плотность системы резонирующих атомов. В следующем разделе мы обсудим физическую информацию, содержащуюся в этих уравнениях.

Случай I. Самоиндуцированная прозрачность
Қак было отмечено во введении, одно из первых наблюдений солитонного поведения было сделано при изучении распространения когерентных оптических импульсов $[2.13,2.15]$. Такое резонансное взаимодействие между светом и веществом приводит к новым эффектам распространения, как теперь известно, характерным для солитонов. Может быть, наиболее наглядным из этих эффектов является самоиндуцированная прозрачность. В этом эффекте на переднем фронте импульса атомы переворачиваются, в то время как задний фронт возвращает их в исходное положение посредством стимулированного излучения. Такой процесс осуществим, если он протекает в течение промежутка времени, малого по сравнению с временем фазовой памяти системы резонирующих атомов (т. е. импульсы ультракороткие), а также если импульсы имеют интенсивность, достаточную для переворачивания атомов. Если условия процесса выполнены, то устанавливается профиль в виде уединенного импульса, распространяющегося без затухания со скоростью, на три порядка меньшей, чем фазовая скорость светз в среде (это ограничение сверху). Импульсы, интенсивность которых ниже пороговой, требуемой для этого процесса, попросту затухают обычным образом. В рамках теоретической модели, используемой для описания этого эффекта, показывается, что вышеупомянутое устойчивое распространение имеет место после того, как профиль электрического поля примет солитонную форму.

Уравнения (2.8) дают теоретическую основу для анализа самоиндуцированной прозрачности. Удовлетворительного соответствия с многочисленными экспериментальными результатами можно достичь, рассматривая эти уравнения без учета фазового сдвига $\varphi$. В этом случае решение типа уединенной волны легко находится [2.13]:
\[
E=\frac{2}{\tau_{p}} \operatorname{sech}\left[(t-x / v) / \tau_{p}\right]
\]

где константа $\tau_{p}$ связана с полушириной импульса, а скорость $v$ определяется равенством
\[
\frac{1}{v} \equiv \frac{1}{c}+\alpha^{\prime} \frac{2}{p} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{g(\Delta \omega)}{1+\left(\tau_{p} \Delta \omega\right)^{2}} d(\Delta \omega) .
\]

Қак отмечалось выше, еще в первых экспериментах было установлено, что эта скорость импульса $v$ может быть на два-три
порядка меньше, чем фазовая скорость. Численные значения, из которых следует этот экспериментальный результат [2.402.42], таковы: $\omega_{c} \sim 10^{15} \mathrm{c}^{-1}, n_{0} \sim 10^{12} \mathrm{~cm}^{-3}, q \sim 6 \cdot 10^{-18}, \tau_{p} \sim$ $\sim 7 \cdot 10^{-9}$ с. Тогда $\alpha^{\prime} c \sim 2 \cdot 10^{20} \mathrm{c}^{-2}$, и из (2.10) получаем, что
\[
\frac{c}{v} \sim 3000 \text {. }
\]

Следовательно, в этом эксперименте скорость импульса на самом деле на три порядка меньше, чем фазовая скорость $c$.

Непосредственное интегрирование немедленно дает, что «площадь» под профилем импульса вида (2.9) равна $2 \pi$, т. е.
\[
\theta(x)=\int_{-\infty}^{\infty} E(x, t) d t=2 \pi .
\]
– Вследствие этого такой импульс называют обычно $2 \pi$-импульсом. Уравнение (2.9) для 2л-импульса есть простейший пример оптического солитона. В результате численного счета оказывается, что импульс с начальной площадью между $\pi$ и $3 \pi$ в результате временно́й эволюции превращается в солитонный $2 \pi$-импульс. Импульсы, меньшие $\pi$, затухают до нулевой площади (что было бы естественно ожидать для распространения импульса в «ослабителе»). С другой стороны, оказывается, что импульсы, большие $3 \pi$ (но меньшие, чем $5 \pi$ ), распадаются в два $2 \pi$-импульса. Относительная высота этих двух импульсов зависит от формы начального иипульса. Импульсы с начальной площадью между $5 л$ и $7 \pi$ распадаются на три импульса и т. д. Такое распадение импульсов является характерной чертой солитонного поведения.

Для рассматриваемой проблемы некоторые аспекты распадения импульсов удачно систематизируются при помощи так называемой теоремы площадей. Уравнение, описывающее площадь $\theta(x)$, легко получается интегрированием (2.8) по времени. Получим
\[
\frac{d \theta}{\partial x}= \pm \frac{\alpha}{2} \sin \theta,
\]

где
\[
\alpha=2 \pi g(0) \alpha^{\prime},
\]

и верхний знак ставится, если в начальный момент атомы возбуждены (усилитель), а нижний – если они в начальный момент находятся на нижнем уровне (ослабитель). Константа $\alpha^{\prime}$ определена под формулой (2.8).

Уравнение (2.13) известно как теорема площадей [2.13, 2.14, 2.38]. Оно играет ключевую роль для понимания некоторых эффектов, встречающихся при распространении ультракоротких импульсов. Во-первых, физический смысл $\alpha$ можно понять из динеаризованного уравнения (2.13), где $\sin \theta$ заменяется на $\theta$. Вндно, что тогда поле усиливается или затухает на характерной длине $\alpha^{-1}$.

Далее, рассмотрим точное решение уравнения (2.13) с начальным условием $\theta=\theta_{0}$ при $x=x_{0}$,
\[
\operatorname{tg} \frac{\theta}{2}=\operatorname{tg} \frac{\theta_{0}}{2} \exp \left[ \pm \frac{\alpha}{2}\left(x-x_{0}\right)\right] .
\]

Его поведение схематически изображено на рис. 2.1. Поскольку в (2.13) есть две возможности выбора знака, то в действительности имеется два различных уравнения. Соответствующие два
Рис. 2.1. Теорема площадєй: график функции (2.15).

решения на рис. 2.1 получаются, если смотреть справа налево для знака плюс (усилитель) и слева направо для знака минус (ослабитель). Отсюда легко видеть, что бесконечно малая площадь увеличится до л в усилителе, в то время как любая площадь, меньшая $\pi$, затухнет до нуля в ослабителе. Второй результат допускает не только хорошо известное затухание импульсов при распространении в ослабителе, но также эволюцию которого полная площадь под огибающей равна нулю, но площадь под импульсом ( $\sim E^{2}$ ) ненулевая. (Это возможно, если положительная часть огибающей равна по площади отрицательной части. Физически области положительности и отрицательности огибающей отличаются просто сдвигом фазы несущей волны на $180^{\circ}$.) В ослабителе импульс с начальной площадью дуцированной прозрачности. С другой стороны, $2 \pi$-импульсы неустойчивы в усилителе и превращаются или в л-, или в Зл-импульсы. Подчеркнем, что рис. 2.1, иллюстрирующий теорему щлощадей, относится только к общей площади импульса и не дает детальной информации о его точных размерах. Например, теорема площадей не предсказывает возможный распад импульса на несколько импульсов с той же общей площадью,

Аналитические выражения для всевозможных $2 N \pi$-импульсов могут быть выведены различными методами. Эти выражения для $4 л$ – и л-импульсов впервые были получены при помощи техники, развитой Баргманом для построения безотражательных потенциалов в квантовой теории рассеяния. Поскольку баргмановские потенциалы представляют собой класс простейших решений интегральных уравнений обратной задачи рассеяния, эти результаты, конечно, можно получить также методом указанной задачи. Различные его приложения были развиты с тех пор для нужд рассматриваемой проблемы $[2.18,2.43]$. Мы обсудим метод обратной задачи в разд. 2.3.

Случай II. Уравнение sine-Gordon (резонанс без расширения)
Хотя система (2.8) хорошо описывает распространение когерентных оптических импульсов в среде с неоднородным уширением, существенная нелинейность процесса распространения может крайне просто быть продемонстрирована, если пренебречь доплеровским сдвигом и изменением фазы (т. е. если положить $g(\Delta \omega)=\delta(\Delta \omega)$ и $\varphi=0$ ). В этом пределе мы получим
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial E}{\partial \xi}=P, \\
\frac{\partial P}{\partial \tau}=E N, \\
\frac{\partial N}{\partial \tau}=-E P,
\end{array}
\]

где $\tau=t-x / c$, и $\xi=\alpha^{\prime} x$.
Эти уравнения имеют первый интеграл $P^{2}+N^{2}=1$; константа интегрирования выбирается исходя из начальных условий $N(-\xi,-\infty)= \pm 1$. Как и в уравнении (2.13), верхний знак относится к усилителю, нижний – к ослабителю. В терминах параметрического представления
\[
\begin{array}{l}
P= \pm \sin \sigma, \\
N= \pm \cos \sigma
\end{array}
\]

получаем, что
\[
\begin{array}{c}
E=\frac{\partial \sigma}{\partial \tau}, \\
\frac{\partial \sigma}{\partial \xi \partial \tau}= \pm \sin \sigma .
\end{array}
\]

Итак, в предельном случае отсутствия эффекта Допплера систему уравнений Максвелла-Блоха можно свести к единственному нелинейному дифференциальному уравнению в частных производных, известному как уравнение sine-Gordon. Это уравнение возникло давно в дифференциально-геометрических исследованиях; известны многие его частные решения. Перед тем как их обсуждать, разберем решение типа простой волны. Хотя это решение не несет информации об эффектах, возникающих из-за взаимодействия солитонов, при экспериментальном изучении распространения когерентных импульсов в первую очередь требует внимания именно оно. Решение, зависящее только от комбинации ( $a \tau-\xi / a)$, находится из соотношения
\[
\sigma^{\prime \prime}=\sin \sigma,
\]

где штрих обозначает дифференцирование по $a \tau–\xi / a$, и в уравнении (2.21) берется только нижний знак. (Уединенная волна устойчива только в ослабителе.) Хотя можно рассматривать разные решения уравнения (2.22), наиболее важным в задаче распространения импульсов является односолитонное решение
\[
\sigma=4 \operatorname{arctg} \exp (a \tau-\xi / a) .
\]

Поскольку $E=\sigma_{\tau}$, то
\[
E(\xi, \tau)=2 a \operatorname{sech}(a \tau-\xi a) .
\]

Аргумент функции sech можно записать в виде $a(t-x / v)$, где
\[
\frac{1}{v}=\frac{1}{c}-\frac{a^{\prime}}{a^{2}}
\]

что согласуется с соотношением (2.10) в предельном случае отсутствия неоднородного расширения. Отметим здесь, что площадь под этим импульсом имеет вид
\[
\int_{-\infty}^{\infty} d \tau E(\xi, \tau)=2 \pi,
\]

так что в этой модели решение (2.24) снова есть $2 \pi$-импульс. (Эквивалентно, $\theta$ меняется на угол $2 \pi$, когда импульс проходит данную точку в пространстве.)

Профиль типа гиперболического секанса характерен для распространения солитонов. Однако метод, которым он был здесь получен, не позволяет проанализировать более специфические особенности распространения солитонов. Характерные черты такого распространения проявляются при взаимодействии таких импульсов при прохождении их друг через друга.

Для рассмотрения взаимодействия импульсов требуются более сложные методы получения решений уравнения sine-Gordon (2.21). Много внимания было уделено в последние годы построению таких решений. Здесь мы рассмотрим только старейший метод, основанный на преобразованиях Бэклунда. Уравнение (2.21) возникло в классической дифференциальной геометрии [2.44]; этот метод получения его частных решений был найден в конце прошлого столетия.

Преобразование Бэклунда может быть интерпретировано как отображение, переводящее одно решение данного уравнения (здесь-уравнения sine-Gordon) в другое его же решение. Преобразование задается уравнениями
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial \tau}\left(\frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{2}\right)=-a \sin \left(\frac{\sigma_{1}+\sigma_{0}}{2}\right), \\
\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\frac{\sigma_{1}+\sigma_{0}}{2}\right)=\frac{1}{a} \sin \left(\frac{\sigma_{1}-\sigma_{0}}{2}\right) .
\end{array}
\]

Эти́ уравнения можно вывести, как показано в [2.46], используя технику Клерэна [2.45].

Легко показать, что и $\sigma_{0}$, и $\sigma_{1}$ удовлетворяют уравнению sine-Gordon. Следовательно, по данному решению можно получить новое решение $\sigma_{1}$. Преобразование можно повторить и получить решение $\sigma_{2}$ из $\sigma_{1}$ и т. д. Метод Бэклунда особенно полезен именно из-за того, что он дает явные выражения для бесконечной последовательности многосолитонных решений.

Первый шаг в этом процессе образования решений известен как теорема перестановочности, записываемая в виде
\[
\operatorname{tg} \frac{\sigma_{3}-\sigma_{0}}{4}=\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{1}-a_{2}} \operatorname{tg} \frac{\sigma_{1}-\sigma_{2}}{4} .
\]

Здесь $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ – частные решения, порожденные из $\sigma_{0}$ при помощи соотношений (2.27), (2.28), где $a_{1}$ и $a_{2}$-соответствующие константы преобразований. Новое решение есть $\sigma_{3}$. Например, если в качестве $\sigma_{0}$ взять нулевое решение, $\sigma_{1}$ и $\sigma_{2}$ – односолитонные решения вида (2.23), то (2.29) дает
\[
\sigma_{3}=4 \operatorname{arctg}\left[\left(\frac{a_{1}+a_{2}}{a_{1}-a_{2}}\right) \frac{\text { sh } \frac{v_{1}-v_{2}}{2}}{\operatorname{ch} \frac{v_{1}+v_{2}}{2}}\right],
\]

где
\[
v_{i}=a_{i} \tau-\xi / a_{i}, \quad i=1,2 .
\]

Соответствующее электрическое поле может быть записано в виде
\[
E=A \frac{a_{1} \operatorname{sech} X-a_{2} \operatorname{sech} Y}{1-B(\operatorname{th} X \operatorname{th} Y-\operatorname{sech} X \operatorname{sech} Y)},
\]

где
\[
\begin{array}{l}
A=\frac{a_{1}^{2}-a_{2}^{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}, \\
B=\frac{2 a_{1} a_{2}}{a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}, \\
X=a_{1}\left(t-x / v_{1}\right), \\
Y=a_{2}\left(t-x / v_{2}\right) .
\end{array}
\]

Техника преобразования Бэклунда использовалась для описания взимодействия трех импульсов [2.18], а также шести импульсов [2.47].

Система, далекая от резонансной (нелинейное уравнение Шрёдингера)

После рассмотрения электрического поля вблизи резонанса с двухуровневыми осцилляторами, мы перейдем к случаю, где поле и осцилляторы далеки от резонанса. Типичной физической ситуацией является среда, состоящая из совокупности длинных тонких сигарообразных молекул. Первоначально эти молекулы ориентированы случайно из-за «теплового возбуждения». Если каждая молекула способна поляризоваться, то интенсивное высокочастотное электрическое поле будет 1) индуцировать поляризацию каждой молекулы и 2) ориентировать образующиеся микроскопические диполи. Хотя тепловое возбуждение препятствует такому процессу ориентации, в целом результатом описанного процесса будет все же индуцированная микроскопическая поляризация среды. Такие «эффекты Керра» [2.40-2.42, 2.48] для огибающей поля приводят к самофокусировке, автомодуляции и т. д.

Совокупность двухуровневых осцилляторов можно взять в качестве грубой модели такой среды, если каждому осциллятору помимо его координаты $x$ приписывается единичный вектор $\hat{\mathbf{p}}$ (описывающий ориентацию этой «сигарообразной молекулы»). Далее, мы предположим, что для осциллятора, ориентированного в $\hat{\mathbf{p}}$-направлении, индуцированный микроскопический дипольный момент в точности ориентирован в том же направлении. При сделанных предположения система Максвелла – Блоха (2.5) по-прежнему описывает динамику $\mathrm{N}(t ; x, \hat{\mathbf{p}})$, $\mathbf{p}_{ \pm}(t ; x, \hat{\mathbf{p}})$ и $\mathrm{E}(x, t)$.

В нескольких ближайших абзацах мы получим аппроксимацию системы Максвелла – Блоха, пригодную для большинства физических ситуаций. – В этой схеме аппроксимации первым шагом является вычисление нерезонансного отклика двухуровневой «молекулы» на быстроосциллирующее электрическое поле. В результате этого отклика индуцируются микроскопические диполи, и следующим шагом является определение подходящего оператора $\langle\cdot\rangle$; переводящего эти индуцированные диполи в макроскопическую поляризацию. Наконец, мы вычисляем модуляцию амплитуды электрического поля, возникающую из-за индуцированной поляризации. В этих вычислениях мы не будем стараться проследить за всеми константами; вместо этого на каждом шаге мы будем включать их в некоторую конетанту $G$.

Прежде всего предположим, что при усреднении любая компонента микроскопических диполей, перпендикулярная приложенному полю, дает нуль. Другими словами, мы предположим, что индуцированная макроскопическая поляризация направлена одинаково с приложенным полем, так что Е, первоначально направленное в $z$-направлении, сохраняет свое направление и в дальнейшем. Далее, для простоты мы положим $N=-1$ и приведем систему Максвелла – Блоха к более простому виду
\[
\begin{aligned}
\partial_{t t} \mathrm{P}_{+} & =-\omega^{2} \mathrm{P}_{+}+\frac{2 \omega q}{\hbar}(\cos \theta) \mathrm{E}, \\
\left(\partial_{t t}-c^{2} \partial_{x x}\right) \mathrm{E} & =G\left\langle q \omega^{2}(\cos \theta) \mathrm{P}_{+}-\omega q^{2}\left(\cos ^{2} \theta\right) \mathrm{E}\right\rangle,
\end{aligned}
\]

где $\mathbf{E}=\hat{\mathbf{z}}, q=|\mathbf{q}|$, и $\cos \theta=\hat{\mathbf{q}} \cdot \hat{\mathbf{z}}$. Система (2.34) эквивалентна совокупности классических гармонических осцилляторов, взаимодействующих с электрическим полем, т. е. модели, являющейся основой теории дисперсии Лоренца. (Более тщательный учет величины $\mathrm{N}$ лишь изменил бы значение коэффициента при нелинейности. Вспомним, что в случае самоиндуцированной прозрачности наличие резонанса требовало от нас весьма тщательного учета динамики среды. Здесь, поскольку система далека от резонанса, точная модель среды гораздо менее важна. Для качественных оценок достаточно линейных осцилляторов.)
Рассмотрим поле Е вида
\[
\mathrm{E}=E_{c} \cos \left(k_{c} x-\bar{\omega}_{c} t\right)+E_{s} \sin \left(k_{c} x-\bar{\omega}_{c} t\right),
\]

где амплитуды ( $E_{c}$ и $E_{s}$ ) являются медленно меняющимися функциями (в масштабах несущей частоты $k_{c} x$ и $\bar{\omega}_{c} t$ ). Здесь $\bar{\omega}_{c}=\bar{\omega}\left(k_{c}\right)$ – закон дисперсии полной линеаризованной системы, который будет вычислен ниже. Чтобы подсчитать индуцированную поляризацию $\mathrm{P}_{+}$, нужно подставить медленно меняющиеся амплитуды $E_{c}$ и $E_{s}$ в (2.34), считая их постоянными; поскольку поле $\mathrm{E}$ не находится в резонансе со средой, будем иметь
\[
\mathrm{P}_{+} \simeq \frac{2 \omega q \cos \theta}{\hbar\left(\omega^{2}-\bar{\omega}_{c}^{2}\right)} \mathrm{E} .
\]

Подставляя это приближение в (2.34b), получаем уравнение для $\mathrm{E}$
\[
\left(\partial_{t t}-c^{2} \partial_{x x}\right) \mathrm{E}=G\left\langle\left(\cos ^{2} \theta\right) \mathrm{E}\right\rangle .
\]

Далее, мы уточним выбор микро-в-макро оператора 〈$\cdot$>〉, являющегося в этой модели причиной возникновения нелинейности. Вспомним, что совокупность диполей, ‘индуцированных электрическим полем, должна быть ориентирована так же, как и поле. Тепловое возбуждение препятствует этому процессу ориентации. Мы предположим, что установилось тепловое равновесие, и используем технику Густафсона и др. [2.49] для того, чтобы вычислить среднюю поляризацию. Энергия и одного из таких индуцированных диполей в Е-поле имеет вид
\[
u=-\mathbf{P}_{+} \cdot \mathbf{E}=G \cos ^{2} \theta E^{2} .
\]

Если рассмотреть случай, где процесс ориентации происходит медленно (по сравнению с масштабом $\vec{\omega}_{c} t$ ), то можно усреднить по периоду быстрых осцилляций
\[
\bar{u}=\frac{1}{T} \int_{t}^{t+T} d t^{\prime} u\left(x, t^{\prime}\right)=\frac{1}{2} G \cos ^{2} \theta\left(E_{c}^{2}+E_{s}^{2}\right) .
\]

Используя $\bar{u}$, определим оператор $\langle\cdot\rangle$ при помощи функции распределения Больцмана
\[
\langle f(\cdot)\rangle=\frac{\int_{-1}^{1} f(\theta) \exp [-\bar{u}(\theta)] d(\cos \theta)}{\int_{-1}^{1} \exp [-\bar{u}(\theta)] d(\cos \theta)} .
\]

Так определенный оператор 〈$\cdot$> приводит к макроскопическому полевому уравнению
\[
\left(\partial_{t t}-c^{2} \partial_{x x}\right) \mathrm{E}=G\left\langle\cos ^{2}(\cdot)\right\rangle \mathrm{E},
\]

где
\[
\left\langle\cos ^{2}(\cdot)\right\rangle=\frac{\int_{-1}^{1} \cos ^{2} \theta \exp \left[-\frac{G}{2} \cos ^{2} \theta\left(E_{c}^{2}+E_{s}^{2}\right)\right] d(\cos \theta)}{\int_{-1}^{1} \exp \left[-\frac{G}{2} \cos ^{2} \theta\left(E_{c}^{2}+E_{s}^{2}\right)\right] d(\cos \theta)} .
\]

При не слишком больших амплитудах поля можно разложить эти экспоненты и записать $\left\langle\cos ^{2}(\cdot)\right\rangle$ в виде
\[
\left\langle\cos ^{2}(\cdot)\right\rangle \simeq \frac{1}{3}+G\left(E_{c}^{2}+E_{s}^{2}\right) .
\]

Осталось найти дисперсионное соотношение и получить уравнение для модуляции огибающих $E_{c}$ и $E_{s}$. В комплексной записи полевое уравнение (2.39) принимает вид
\[
\left[\left(\partial_{t t}-c^{2} \partial_{x x}\right)+G_{1}-G_{2}\left(F F^{*}\right)\right] \mathrm{F}=0,
\]

где $\mathrm{F}=F \exp \left[i\left(k_{c} x-\bar{\omega}_{c} t\right)\right]$, и $F=\left(E_{s}+i E_{c}\right)$. Из (2.40) немедленно получаем, что дисперсионное соотношение с учетом нелинейной поправки имеет вид
\[
\bar{\omega}^{2}(k)=c^{2} k^{2}+G_{1}(k)-\left[G_{2}(k)\right] F F^{*} .
\]

Последним шагом в схеме аппроксимации является сведение уравнения (2.40) к уравнению, описывающему модуляцию по $F$. Для такого сведения мы предположим, что нелинейность слабая. Если бы ее не было вовсе $\left(G_{2}=0\right)$, то линейное поле $\mathrm{F}=F \exp \left[i\left(k_{c} x-\bar{\omega}_{c} t\right)\right]$ можно было бы разложить в интеграл Фурье,
\[
\mathrm{F}(x, t)=F(x, t) e^{i\left[k_{c} x-\bar{\omega}_{\bar{c}} t\right]}=\int d k e^{i[k x-\bar{\omega}(k) t]} \tilde{\mathrm{F}}(k),
\]

или, по-другому, делая замену переменных интегрирования $k \mapsto x=k-k_{c}$,
\[
F(x, t)=\int d x \exp \left(i\left\{x x-\left[\bar{\omega}\left(k_{c}+x\right)-\bar{\omega}_{c}\right] t\right\}\right) \tilde{\mathrm{F}}\left(k_{c}+x\right) .
\]

Поскольку амплитуда $F(x, t)$ является медленно меняющейся функцией от $x$ и $t$, то $\tilde{\mathrm{F}}\left(k_{c}+x\right)$ имеет резкий максимум вблизи значения $x=0$,
\[
F(x, t) \simeq \int d x \exp \left\{i\left[x x-\left(\bar{\omega}_{c}^{\prime} x+\frac{\bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}}{2} x^{2}+\ldots\right) t\right\} \tilde{F}\left(k_{c}+x\right) .\right.
\]

Из этой формулы ясно, что огибающая $F$ должна удовлетворять уравнению
\[
\left[i\left(\partial_{t}+\bar{\omega}_{c}^{\prime} \partial_{x}\right)+\frac{\bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}}{2} \partial_{x x}+\ldots\right] F=0 .
\]

Уравнение (2.42) в действительности является общим результатом [2.4]. В отсутствие резонанса модуляция амплитуды любой линейной диспергирующей волны, состоящей из быстро осциллирующих колебаний с медленно меняющейся огибающей, удовлетворяет линейному уравнению Шрёдингера. Поскольку наша система слабо нелинейна, нелинейные поправки к дисперсионному соотношению (2.41) дают
\[
i\left(\partial_{t}+\bar{\omega}_{c}^{\prime} \partial_{x}\right) F+\frac{\bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}}{2} \partial_{x x} F+G\left(F F^{*}\right) F=0 .
\]

Следует подчеркнуть, что область применимости нелинейного уравнения Шрёдингера гораздо шире рассмотренной сейчас модели. Оно применимо к любой слабо нелинейной волне, удовлетворяющей условиям, суммированным в предыдущем абзаце. В силу своей общности оно возникает в различных физических ситуациях, таких, как распространение оптических импульсов [2.50], волн на воде [2.51] и волн в плазме [2.52]. Оно актуально и в технических приложениях, так как моделирует эффекты самофокусировки лазерных импульсов [2.50].

Чтобы получить некоторое представление о солитонах нелинейного уравнения Шрёдингера, рассмотрим его решение типа простой волны вида
\[
F(x, t)=f(x-v t) \exp [i(K x-\Omega t)] .
\]

Подставляя это выражение в нелинейное уравнение Шрёдингера $(2.43)$, получаем
\[
f^{\prime \prime}=-\frac{\partial}{\partial f}\left[\frac{G}{2 \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}} f^{4}+\frac{\left(\Omega-K \bar{\omega}_{c}^{\prime}-K^{2} \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime} / 2\right)}{\bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}} f^{2}\right]
\]

при условии, что скорость импульса $v$ удовлетворяет соотношению
\[
v=\bar{\omega}_{i}^{\prime}+K \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime} .
\]

Если $\left(G / \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}\right)>0$, решение уравнения (2.44) имеет вид
\[
F=F_{s} \operatorname{sech}\left(\frac{t-x / v)}{\tau}\right) \exp [i(K x-\Omega t)],
\]

где $v$ дается выражением (2.4ј), $\Omega=K \bar{\omega}_{c}^{\prime}+K^{2} \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime} / 2-G F_{s}^{2} / 2$, и $F_{s}^{2}=-\bar{\omega}_{\rho}^{\prime \prime} / G v^{2} \tau^{2}$. В этом случае огибающая поля имеет форму секанса гиперболического с амплитудой $F_{s}$ и полушириной $\tau$. Такой импульс представляет собой сгусток поля, распространяющийся с постоянной скоростью $v$, причем его несущая частота и длина волны сдвинуты на $\Omega$ и $K$ соответственно.

С другой стороны, если $\left(G / \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}\right)<0$, амплитуда $F$ принимает вид
\[
F=F_{s} \text { th }\left(\frac{t-x / v}{\tau}\right) \exp [i(K x-\Omega t)],
\]

где $v$ дается выражением (2.45), $\Omega=K \bar{\omega}_{c}^{\prime}+K^{2} \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime} / 2-G F_{s}^{2} / 2$, и $F_{s}^{2}=-\bar{\omega}_{c}^{\prime \prime} / G v^{2} \tau^{2}$. В этом случае поле выталкивается из рассматриваемой области, и образуется темное пятно полуширины $\tau$, распространяющееся с постоянной скоростью $v$ [2.53].

В обоих случаях $\left(G / \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}>0\right.$ и $\left.G / \bar{\omega}_{c}^{\prime \prime}<0\right)$ это уравнение имеет также и многосолитонные решения. Оба случая решаются методом обратной задачи рассеяния $[2.23,2.54]$.

Нелинейное уравнение Шреддингера очень важно, и трудно ограничиться лишь несколькими замечаниями о нем. Мы хотим только указать, что это уравнение может возникнуть в системах с парным взаимодействием, приводящим как к дисперсии, так и к нелинейности. В следующем разделе мы рассмотрим один пример из многих типов нелинейных систем – электрическое поле, взаимодействующее с ионной жидкостью.