Простейшим новым НЭУ в классе, описанном выше, является уравнение, отвечающее случаю $N=2, \beta_{0}=\gamma=0, \alpha_{n}, \beta_{n}$ константы, $n=1,2,3$. Удобно положить $b_{n}=2 \beta_{n}, \alpha_{n}=2 i \alpha_{n}$ и
\[
U(x, t)+\sigma_{n} V_{n}(x, t)=\int_{x}^{+\infty} d x^{\prime} Q\left(x^{\prime}, t\right)
\]

(где $\sigma_{n}$-матрицы Паули). «Уравнение бумерона» удобно записать через трехмерные векторы $\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{V}(x, t)$ и скаляр $U(x, t)$. Оно имеет вид
\[
\begin{array}{c}
U_{t}(x, t)=\mathbf{b} \cdot \mathbf{V}_{x}(x, t), \\
\mathbf{V}_{x t}(x, t)=U_{x x}(x, t) \mathbf{b}+\mathbf{a} \times \mathbf{V}_{x}(x, t)-2 \mathbf{V}_{x}(x, t) \times[\mathbf{V}(x, t) \times \mathbf{b}] .
\end{array}
\]
(9.59b)

Величины $U(x, t)$ и $\mathbf{V}(x, t)$ удовлетворяют асимптотическим условиям
\[
U(+\infty, t)=U_{x}( \pm \infty, t)=0, \quad \mathbf{V}(+\infty, t)=\mathbf{V}_{x}( \pm \infty, t)=0
\]

До сих пор не найдено физического явления, которое бы описывалось этим уравнением. Ввиду замечательных свойств его решений, которые будут обсуждены ниже, поиск физической модели для него представляет особый интерес. В этой связи следует отметить, что уравнение (9.59) может быть выведено из вариационного принципа для лагранжиана с плотностью
\[
\begin{aligned}
L=\frac{1}{2} U_{t} U_{x}+\frac{1}{2} \mathbf{V}_{t} \cdot & \mathbf{V}_{x}-U_{x} \mathbf{b} \cdot \mathbf{V}_{x}+ \\
& +\frac{1}{2}\left(\mathbf{a} \times \mathbf{V}_{x}\right) \cdot \mathbf{V}+2\left(\mathbf{V}_{x} \cdot \mathbf{V}\right) \cdot(\mathbf{b} \cdot \mathbf{V}) .
\end{aligned}
\]

Решение задачи Коши для нелинейного эволюционного уравнения (9.59) в классе функций с граничными условиями (9.60) может быть получено с помощью обратного спектрального преобразования, описанного в предшествующем разделе. Опишем более детально поведение солитонного решения
\[
U(x, t)=-p\{1-\operatorname{th}[p(x-\xi(t)]\}, \quad \mathbf{V}(x, t)=\hat{\mathbf{n}}(t) U(x, t) .
\]
единичный вектор; мы всегда придерживаемся обозначения $\mathbf{v} \equiv v \hat{\mathbf{v}})$ эволюционируют во времени согласно уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\hat{\mathbf{n}}_{t}(t)=\mathbf{a} \times \hat{\mathbf{n}}(t)+2 \hat{p}(t) \times[\hat{\mathbf{n}}(t) \times \mathbf{b}], \\
\xi_{t}(t)=-\mathbf{b} \cdot \hat{\mathbf{n}}(t) .
\end{array}
\]

Эти уравнения могут быть проинтегрированы точно:
\[
\begin{aligned}
\xi(t)= & \xi_{0}+(2 p)^{-1} \ln \left[n_{+} E_{+}(t)+n_{-} E_{-}(t)+\bar{s} S(t)+\bar{c} C(t)\right], \\
\hat{\mathbf{n}}(t)= & {\left[\mathbf{n}_{+} E_{+}(t)+\mathbf{n}_{-} E_{-}(t)+\mathbf{s} S(t)+\mathbf{c} C(t)\right] \times } \\
& \times\left[n_{+} E_{+}(t)+n_{-} E_{-}(t)+\bar{s} S(t)+\bar{c} C(t)\right]^{-1}, \\
E_{ \pm}(t)= & \exp \left[ \pm a v_{-}\left(t-t_{0}\right)\right], \quad S(t)=\sin \left[a v_{+}\left(t-t_{0}\right)\right], \\
C(t)= & \cos \left[a v_{+}\left(t-t_{0}\right)\right], \\
v_{ \pm}= & \left\{\left[\lambda^{2}(\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}})^{2}+\frac{1}{4}\left(1-\lambda^{2}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \pm \frac{1}{2}\left(1-\lambda^{2}\right)\right\}^{1 / 2},
\end{aligned}
\]

Рис. 9.1. $a$ — $e$. Поведение бумерона. $U_{x}(x, t)$ показана как функция $x$ через равные промежутки времени. Все пять случаев относятся к (9.59) при $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0$. Рис. $a$ и в были получены из (9.62), (9.79), (9.81), а для получения рис. $c-e$ было использовано, кроме этого, (9.56). Все рисунки были получены на ЭВМ д-ром Дж. Эйлбеком (математический факультет университета Хериот-Уоот, Эдинбург).
\[
\begin{aligned}
\lambda= & 2 p b / a, \\
\mathbf{n}_{ \pm}= & \frac{1}{2}\left\{\left(v_{+}^{2}-1\right) \hat{\mathbf{n}}_{0}+\left[\left(\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{3}\right) \mp \eta v_{+}\right] \hat{\mathbf{a}}+\right. \\
& +\lambda\left[\lambda\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right) \mp v_{-}\right] \hat{\mathbf{b}} \pm v_{-}\left(\hat{\mathbf{a}} \times \mathbf{n}_{0}\right) \mp \eta \lambda v_{+}\left(\hat{\mathbf{b}} \times \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)- \\
& -\lambda(\hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{b}})\} /\left(v_{+}^{2}+v_{-}^{2}\right), \quad \eta=\operatorname{sign}(\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}}), \\
\mathbf{s}= & \eta\left[v_{-} \hat{\mathbf{a}}-\eta \lambda v_{+} \hat{\mathbf{b}}+\eta v_{+}\left(\hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)+\lambda v_{-}\left(\hat{\mathbf{b}} \times \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)\right] /\left(v_{+}^{2}+v_{-}^{2}\right), \\
\mathbf{c}= & \mathbf{n}_{0}-\mathbf{n}_{+}-\mathbf{n}_{-}, \\
\bar{s}= & \eta\left[v_{-}\left(\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)-\eta \lambda v_{+}\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)\right] /\left(v_{+}^{2}+v_{-}^{2}\right), \\
\bar{c}= & 1-n_{+}-n_{-} .
\end{aligned}
\]

Следует отметить следующие важные свойства полученных выражений. I) $\hat{\mathbf{n}}(t)$ является единичным вектором при всех $t$; II) единичные векторы $\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}=\left(\mp \eta v_{+} \hat{\mathbf{a}} \pm \lambda v_{-} \hat{\mathbf{b}}-\hat{\lambda} \hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{b}}\right) /\left(1+v_{-}^{2}\right)$ не зависят от начальной полярнзации $\mathbf{n}_{0}$; III) поляризация остается постоянной, $\hat{\mathbf{n}}(t)=\hat{\mathbf{n}}_{0}$, тогда и только тогда, когда $\hat{\mathbf{n}}_{0}=\hat{\mathbf{n}}_{+}$или $\hat{\mathbf{n}}_{j}=\hat{\mathbf{n}}_{-}$.

Скорость солитона и его поляризация, вообще говоря, меняются во времени. Обсудим кратко это замечательное свойство. Ниже обсуждаются отдельно два случая, отвечающие условиям $\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\mathbf{0}$ или $\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}}=0$.

Если начальная поляризация $\dot{\mathbf{n}}_{0}$ совпадала с одним из единичных векторов $\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}$, то солитон движется (направо или налево, см. ниже) с постоянной скоростью, равной по модулю
\[
v=\frac{1}{2} a v_{-} / p=b v_{-} / \lambda .
\]

Поляризация остается постоянной, т. е.
\[
\hat{\mathbf{n}}(t)=\hat{\mathbf{n}_{0}}, \quad \xi(t)=\xi_{0} \pm v\left(t-t_{0}\right), \quad \hat{\mathbf{n}}_{0}=\hat{\mathbf{n}}_{ \pm} .
\]

В противном случае обе величины $\hat{\mathrm{n}}(t)$ и $\xi_{t}(t)$ меняются во времени, и ни при каком конечном времени $\widehat{\mathbf{n}}(t)$ не совпадает с $\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}$, тогда как асимптотически
\[
\hat{\mathbf{n}}( \pm \infty)=\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}, \quad \xi_{t}( \pm \infty)= \pm v .
\]

Таким образом, независимо от начальных условий, принятых при $t_{0}$ (лишь бы $\hat{\mathbf{n}}_{0}
eq \hat{\mathbf{n}}_{ \pm}$), в далеком будущем и отдаленном прошлом солитон (или, скорее, бумерон) уходит на бесконечность направо и приходит справа из бесконечности с одинаковой асимптотической скоростью $v$
\[
\xi(t)-\left[\xi_{0}+v\left|t-t_{0}\right|\right]==O\left[\exp \left(-a v_{-}|t|\right], \quad t \rightarrow \pm \infty .\right.
\]

Для данных а и b (т. е. для данного НЭУ вида (9.59)) форма («амплитуда» и «ширина» бумерона, а также его асимптотическая скорость $v$ ) определяются положительной константой $p$. Начальное положение бумерона $\xi_{0}$ может быть выбрано произвольно, что согласуется с трансляционной инвариантностью НЭУ (9.59). Начальная скорость и все последующее поведение бумерона при конечных временах зависит от начальной поляризации, в то время как его асимптотическое поведение не зависит от $\hat{\mathbf{n}}_{0}$ (если только $\hat{\mathbf{n}}_{0}$ не совпадает с $\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}$). В заключение заметим, что только в случае $\hat{\mathbf{n}}_{0}=\hat{\mathbf{n}}_{-}$или $\hat{\mathbf{n}}_{0}=\hat{\mathbf{n}}_{+}$солитон может уходить на левую бесконечность (или приходить из нее).

Специальный случай $\widehat{\mathbf{a}} \times \widehat{\mathbf{b}}=0$. Бумерон по-прежнему описывается (9.62), (9.63), но повєдение $\xi(t)$ и $\hat{\mathbf{n}}(t)$ дается более простыми выражениями
\[
\begin{aligned}
\xi(t)= & \xi_{0}+(2 p)^{-1} \ln \left\{\operatorname{ch}\left[2 p b\left(t-t_{0}\right)\right]-\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right) \operatorname{sh}\left[2 p b\left(t-t_{0}\right)\right]\right\},(9.76) \\
\hat{\mathbf{n}}(t)= & \left\{\hat { \mathbf { b } } \left[\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right) \operatorname{ch}\left[2 p b\left(t-t_{0}\right)\right]-\operatorname{sh}\left[2 p b\left(t-t_{0}\right)\right]+\right.\right. \\
& \left.+\left(\hat{\mathbf{b}} \times \hat{\mathbf{n}}_{0}\right) \sin \left[a\left(t-t_{0}\right)\right]+\left[\hat{\mathbf{n}_{0}}-\hat{\mathbf{b}}\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)\right] \cos \left[a\left(t-t_{0}\right)\right]\right\} \times \\
& \times\left\{\operatorname{ch}\left[2 p b\left(t-t_{0}\right)\right]-\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right) \operatorname{sh}\left[2 p b\left(t-t_{0}\right)\right]\right\}^{-1} .
\end{aligned}
\]

Эти формулы могут быть получены из общих выражений, приведенных выше. Из них следует, что поведение бумерона аналогично описанному ранее (с $\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}=\mp \hat{\mathbf{b}}$ ); если $\hat{\mathbf{n}}_{0}=-\hat{\mathbf{b}}$ или $\hat{\mathbf{n}}_{0}=\hat{\mathbf{b}}$, то $\hat{\mathbf{n}}(t)=\hat{\mathbf{n}}_{0}$ и $\xi(t)=\xi_{0} \pm b\left(t-t_{0}\right) ;$ если $\hat{\mathbf{n}}_{0}
eq \pm \hat{\mathbf{b}}$, то $\widehat{\mathbf{n}}(t)
eq \widehat{\mathbf{b}}$ и $\hat{\mathbf{n}}(t)
eq-\widehat{\mathbf{b}}$ при всех (конечных) $t, \hat{\mathbf{n}}( \pm \infty)=\mp \widehat{\mathbf{b}}$, $\xi_{t}( \pm \infty)= \pm b$. При большіх $|t| \xi(t)=\xi_{0}+b\left|t-t_{0}\right|+$ $+O(\exp (-2 p b|t|))$. В данном случае имеет место следующее утверждение: координата бумерона $\xi(t)$ совпадает с положением (нерелятивистской) частицы единичной массы с начальным положением $\xi\left(t_{0}\right)=\xi_{0}$ и начальной скоростью $\xi_{t}\left(t_{0}\right)=-\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)$, движущейся во внешнем поле с потенциалом Ф( $\left.\xi-\xi_{0}\right)$,
\[
\Phi(x)=\frac{1}{2} b^{2}\left[1-\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)^{2}\right] \exp (-4 p x) .
\]

Если начальная скорость отрицательна (если начальная поляризация бумерона такова, что ( $\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}$ ) >0), то частица начинает двигаться налево с уменьшающейся скоростью до точки поворота $\xi=\xi_{0}+(4 p)^{-1} \ln \left(1-\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)^{2}\right)$; затем она возвращается назад, уходя в конце концов на бесконечность с асимптотически постоянной скоростью $b$. Если бумерон начинает двигаться направо $\left[\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)<0\right.$, то он продолжает движение $\mathbf{c}$ все увеличивающейся скоростью, которая стремится асимптотически к той же самой величине $b$. Заметим, что эта аналогия применима и к случаям $\hat{\mathbf{n}}_{0}=-\widehat{\mathbf{b}}$ или $\hat{\mathbf{n}}_{0}=\widehat{\mathbf{b}}$ (в отличие от общего случая при этом бумерон не возвращается, а движется с постоянной скоростью), при этом потенциал $\Phi(x)$ в (9.78) обращается в нуль. Потенциал $\Phi(x)$ зависит от параметров бумерона (его начальной поляризации и параметра $p$, определяющего его форму) и от вектора b, но не зависит от величины a, которая влияет лишь на временну́ю эволюцию поляризации бумерона для конечных времен.
$B$ другом специальном случае $\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}}=0$ бумерон по-прежнему описывается (9.62), (9.63), но поведение $\xi(t)$ и $\hat{\mathbf{n}}(t)$ дается более простыми выражениями
\[
\begin{array}{l}
\xi(t)= \xi_{0}+(2 p)^{-1} \ln \left\{1-\lambda \beta S_{1}(t)+\frac{1}{2} \lambda(\lambda+\gamma) S_{2}(t)\right\}, \quad(9.79) \\
\hat{\mathbf{n}}(t)=\left\{\hat{\mathbf{n}}_{0}-\left[\lambda \hat{\mathbf{b}}-\left(\hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)\right] S_{1}(t)-\frac{1}{2}\left[\hat{\mathbf{n}}_{0}-\alpha \hat{\mathbf{a}}-\lambda^{2} \beta \hat{\mathbf{b}}+\right.\right. \\
\left.\quad+\lambda(\hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{b}})] S_{2}(t)\right\} /\left\{1-\lambda \beta S_{1}(t)+\frac{1}{2} \lambda(\lambda+\gamma) S_{2}(t)\right\}, \\
S_{1}(t)=\left(\lambda^{2}-1\right)^{-1 / 2} \operatorname{sh}\left[a\left(\lambda^{2}-1\right)^{1 / 2}\left(t-t_{0}\right)\right], \\
S_{2}(t)= 4\left(\lambda^{2}-1\right)^{-1} \operatorname{sh}^{2}\left[\frac{a}{2}\left(\lambda^{2}-1\right)^{1 / 2}\left(t-t_{0}\right)\right] \quad \text { при } \quad \lambda>1, \\
S_{1}(t)= a\left(t-t_{0}\right), \quad S_{\dot{t}}(t)=\left[a\left(t-t_{0}\right)\right]^{2} \quad \text { при } \quad \lambda=1, \\
S_{1}(t)=\left(1-\lambda^{2}\right)^{-1 / 2} \sin \left[a\left(1-\lambda^{2}\right)^{1 / 2}\left(t-t_{0}\right)\right], \\
S_{2}(t)=4\left(1-\lambda^{2}\right)^{-1} \sin ^{2}\left[\frac{a}{2}\left(1-\lambda^{2}\right)^{1 / 2}\left(t-t_{0}\right)\right] \quad \text { при } \quad \lambda<1, \quad \text { (9.81) } \\
\alpha=\left(\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right), \quad \beta=\left(\hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right), \quad \gamma=\left(\hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{b}} \cdot \hat{\mathbf{n}}_{0}\right)= \pm\left(1-\alpha^{2}-\beta^{2}\right)^{1 / 2}, \quad(9.82)
\end{array}
\]

где $\lambda$ определяется (9.68). Следовательно, если начальная поляризация $\hat{\mathbf{n}}_{0}$ совпадает с одним из единичных векторов $(\theta(x)=1$ при $x>0, \theta(0)=1 / 2, \theta(x)=0$ при $x<0$ )
\[
\begin{aligned}
\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}= & -\left\{ \pm \lambda\left(1-\lambda^{2}\right)^{1 / 2} \theta(1-\lambda) \hat{\mathbf{a}} \pm\left(\lambda^{2}-1\right)^{1 / 2} \theta(\lambda-1) \hat{\mathbf{b}}+\right. \\
& \left.+\left[\theta(\lambda-1)+\lambda^{2} \theta(1-\lambda)\right] \hat{\mathbf{a}} \times \hat{\mathbf{b}}\right\} / \lambda,
\end{aligned}
\]

то он не изменяется во времени, $\hat{\mathbf{n}}(t)=\hat{\mathbf{n}}_{0}$, и солитон вообще не движется (т. е. $\xi(t)=\xi_{0}$ ), если $\lambda \leqslant 1$, и движется с постоянной скоростью $\pm v$ (т. е. $\xi(t)=\xi_{0} \pm v\left(t-t_{0}\right)$ ), если $\lambda>1$, где
\[
v=\left(\lambda^{2}-1\right)^{1 / 2} b / \lambda \text {. }
\]

Если начальная поляризация $\hat{\mathbf{n}}_{0}$ не совпадает ни с $\hat{\mathbf{n}}_{+}$, ни с $\hat{\mathbf{n}}_{-}$, то $\hat{\mathbf{n}}(t)$ меняется со временем, отличаясь от $\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}$при всех конечных $t$. Если $\lambda>1$, то поляризация стремится асимптотически к $\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}$(т. е. $\hat{\mathbf{n}}(t \infty)=\hat{\mathbf{n}}_{ \pm}$), если же $\lambda<1$, то поляризация изменяется периодически іс периодом $\left.(2 \pi / a)\left(1-\lambda^{2}\right)^{-1 / 2}\right)$.

Как и ранее, наиболее наглядное представление о поведении бумерона дает замечание о том, что координата бумерона совпадает с положением частицы единичной массы с начальной координатой $\xi\left(t_{0}\right)=\xi_{0}$ и начальной скоростью $\xi_{t}\left(t_{0}\right)=-\beta b$, которая движется во внешнем поле с потенциалом $\widetilde{\Phi}\left(\xi-\xi_{0}\right)$,
\[
\begin{array}{c}
\dot{\tilde{\Phi}}(x)=\frac{1}{2}(b / \lambda)^{2} \exp (-2 p x)\left\{\left[\left(\left[\left(\alpha^{2}+\gamma^{2}\right) \lambda+\gamma\right]^{2}+\alpha^{2}\right) /\left(\alpha^{2}+\gamma^{2}\right)\right] \times\right. \\
\times \exp (-2 p x)-2(1+\lambda \gamma)\} .
\end{array}
\]

Этот потенциал стремится к нулю при $x \rightarrow \infty$; он имеет единственный отрицательный минимум в точке $\bar{x} \equiv(2 p)^{-1} \ln \left\{\left(\left[\left(\alpha^{2}+\right.\right.\right.\right.$ $\left.\left.\left.\left.+\gamma^{2}\right) \lambda+\gamma\right]^{2}+\alpha^{2}\right) /\left[\left(\alpha^{2}+\gamma^{2}\right)(1+\lambda \gamma)\right]\right\}$, если $\lambda \gamma>-1$. При $x \rightarrow-\infty$ потенциал стремится к плюс бесконечности. Случай $\alpha=1+\lambda \gamma=0$, при котором потенциал обращается в нуль, отвечает совпадению $\hat{\mathbf{n}}_{0}=\hat{\mathbf{n}}_{+}$илі $\hat{\mathbf{n}}_{0}=\hat{\mathbf{n}}_{-}$. Общая энергия частицы имеет простой вид
\[
E=\widetilde{\Phi}(0)+\frac{1}{2} \beta^{2} b^{2}=\frac{1}{2} v^{2} \operatorname{sign}(\lambda-1),
\]

где $v$ определено (9.84). Следовательно, энергия положительна Іри $\lambda>1$ и бумерон приходит из правой бесконечности и уходит на нее, двигаясь асимптотически с постоянной скоростью $v$. При $\lambda<1$ энергия частицы отрицательна и она ведет себя как частица в потенциальной яме, колеблясь вокруг положения равновесия $\xi_{0}+\bar{x}$ (см. выше). Эти осцилляции, конечно, описываются выражением (9.79). Они имеют период ( $2 \pi / a)\left(1-\lambda^{2}\right)^{-1 / 2}$. Случай $\lambda=1$ соответствует движению частицы с нулевой энергией в поле с потенциалом (9.85), которая также всегда приходит из плюс бесконечности (или уходит на нее), но со стремящейся к нулю скоростью.

Заметим, что аналогия между движением бумерона и частицы во внешнем поле (9.85) справедлива и в случаях, когда начальная поляризация совпадает с $\hat{\mathbf{n}}_{+}$или $\hat{\mathbf{n}}_{-}$, так как в этом случае потенциал (9.85) равен нулю тождественно (более того, начальная скорость бумерона $-\beta b$ стремится к нулю, если $\lambda<1$ ).

Следует подчеркнуть, что для данного нелинейного эволюционного уравнения (9.59) с $\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}}=0$ существуют решения, включающие одновременно все возможные типы солитонов: солитоны типа бумеронов $(\xi(t) \rightarrow+\infty, t \rightarrow \pm \infty)$, неподвижные солитоны $\left(\xi(t)=\xi_{0}\right)$, осциллирующие солитоны и солитоны, движущиеся с постоянной скоростью, — в зависимости от параметра формы $p$ (в особенности от того, превышает он или нет величину $a /(2 b)$ ) и поляризации каждого солитона. Солитонам, неподвижным и движущимся с постоянной скоростью, отвечает множество начальных условий, имеющее меньшую, чем для остальных типов, размерность. Наличие осциллирующих солитонов требует, чтобы для исходного уравнения были выполнены условия $\hat{\mathbf{a}} \cdot \hat{\mathbf{b}}=0$, поскольку такое поведение характерно только для этого случая.

Уравнения бумерона (9.59) содержат и другие специальные классы интегрируемых НЭУ. Интересным примером служат уравнения, отвечающие следующей редукции: если вектора а и b ортогональны и вектор $\mathbf{V}$ первоначально ортогонален $\mathbf{a}$, то он остается ортогональным а:
\[
\text { из } \mathbf{a} \cdot \mathbf{b}=0 \text { и } \mathbf{a} \cdot \mathbf{V}\left(x, t_{0}\right)=0 \text { следует } \mathbf{a} \cdot \mathbf{V}(x, t)=0 .
\]

Тогда в этом случае можно положить
\[
\begin{array}{c}
\hat{\mathbf{b}} \cdot \mathbf{V}(x, t / b)=-Y(x, t), \\
(\hat{\mathbf{b}} \times \hat{\mathbf{a}}) \cdot \mathbf{V}(x, t / b)=Z(x, t)-[a /(2 b)], \\
U_{x}(x, t / b)=-Y_{t}(x, i)-Z^{2}(x, t)+[a /(2 b)]^{2} .
\end{array}
\]

Для величин $Y$ и $Z$ получим систему уравнений в частных производных
\[
\begin{array}{l}
Y_{t t}(x, t)-Y_{x x}(x, t)=-\left[Z^{2}(x, t)\right]_{t}, \\
Z_{x t}(x, t)=2 Y_{x}(x, t) Z(x, t) .
\end{array}
\]

Эти уравнения интегрируемы обратным спектральным преобразованием, так как они связаны с особым случаем уравнения бумеронов (9.87) при специальных начальных данных
\[
Z\left(x, t_{0}\right)=Z_{0}(x), \quad Y\left(x, t_{0}\right)=Y_{0}(x), \quad Y_{t}\left(x, t_{0}\right)=W(x),
\]

которые должны удовлетворять условиям
\[
Z_{0 x}( \pm \infty)=Y_{0}(+\infty)=Y_{0 x}( \pm \infty)=W(+\infty)=W_{x}( \pm \infty)=0 .
\]

Решения этих уравнений обладают всем богатством поведения, описанным выше.

Заметим, что нелинейные эволюционные уравнения (9.89), кроме временно́й и трансляционной инвариантности, не изменяются также масштабным преобразованием
\[
t \rightarrow \eta t, \quad x \rightarrow \eta x, \quad Y \rightarrow Y / \eta, \quad Z \rightarrow Z / \eta
\]

и дискретным преобразованием
\[
Z(x, t) \rightarrow-Z(x, t) .
\]

В заключение заметим, что дифференцируя (9.89a) по $x$ и используя ( $9.89 \mathrm{~b})$, получим интригующее нелинейное уравнение в частных производных для единственного поля $Z(x, t)$ :
\[
\left(\partial^{2} / \partial t^{2}-\partial^{2} / \partial x^{2}\right)\left(Z_{x t} / Z\right)+2\left(Z^{2}\right)_{x t}=0 .
\]

Задача Коши для этого уравнения, следовательно, также разрешима с помощью обратного спектрального преобразования. Начальные условия для этого уравнения
\[
Z\left(x, t_{0}\right)=Z_{0}(x), \quad Z_{t}\left(x, t_{0}\right)=Z_{1}(x), \quad Z_{t t}\left(x, t_{0}\right)=Z_{2}(x),
\]

удовлетворяющие условиям (которые не необходимы)
\[
Z_{0}(x)
eq 0, \quad Z_{0 x}( \pm \infty)=Z_{: x}( \pm \infty)=Z_{2 x}( \pm \infty)=0,
\]

обеспечивают разрешимость задачи Коши.