Рассмотрим преобразование Бэклунда, связывающее пары решений нелинейных эволюционных уравнений. Преобразование Бэклунда использовалось для построения $N$-солитонных решений $[5.18,5.19]$ и для получения законов сохранения более высокого порядка [5.20]. Его связь с методом обратной задачи рассеяния обсуждалась в [5.21] – [5.24].

Преобразование Бэклунда для билинейного дифференциального уравнения было введено в [5.5]. В предыдущем разделе мы рассматривали билинейное дифференциальное уравнение вида
\[
F\left(D_{t}, D_{x}\right) f \cdot f=0,
\]

для которого мы укажем теперь метод построения преобразования Бэклунда. Метод заключается в следующей процедуре. Рассмотрим сначала уравнение
\[
\left[F\left(D_{t}, D_{x}\right) f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right] f f-f^{\prime} f^{\prime}\left[F\left(D_{t}, D_{x}\right) f \cdot f\right]=0
\]

или подобное ему. Понятно, что если $f$ является решением (5.81), то $f^{\prime}$ – другое решение, и наоборот. Тогда, выполняя действия в (5.82), выведем уравнение, связывающее $f^{\prime}$ и $f$. Уравнения, полученные таким образом, являются преобразованием Бэклунда для билинейного уравнения $F\left(D_{t}, D_{x}\right) f \cdot f=0$.

Преобразование Бэклунда линейно по отношению к каждой зависимой переменной и может быть сведено либо к 1) новому нелинейному эволюционному уравнению, обладающему $N$-солитонными решениями, либо к 2) обратной задаче рассеяния для нелинейного эволюционного уравнения. Выведем преобразование Бэклунда в билинейном виде для уравнения КдФ.

Прежде всего представим математическую формулу, являющуюся ключевой для нахождения преобразования Бэклунда билинейного вида. Она записывается так:
\[
\begin{array}{l}
\exp \left(D_{1}\right)\left[\exp \left(D_{2}\right) a \cdot b\right] \cdot {\left[\exp \left(D_{3}\right) c \cdot d\right] \equiv } \\
\equiv \exp \frac{1}{2}\left(D_{2}-D_{3}\right)\left\{\exp \left[\frac{1}{2}\left(D_{2}+D_{3}\right)+D_{1}\right] a \cdot d\right\} \times \\
\times\left\{\exp \left[\frac{1}{2}\left(D_{2}+D_{3}\right)-D_{1}\right] c \cdot b\right\}
\end{array}
\]

где $D_{i}=\varepsilon_{i} D_{x}+\delta_{i} D_{t}$ с постоянными $\varepsilon_{i}$ и $\delta_{i}$ для $i=1,2$, 3. Отметим, что в (5.83) $b$ и $d$ меняются местами по отношению к $a$ и $c$. По этой причине назовем ее «формулой обмена». Формула обмена легко доказывается с использованием свойства (V).

Разлагая формулу обмена в степенной ряд по $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \ldots, \delta_{3}$, приравнивая члены с одинаковыми степенями и комбинируя полученные результаты, мы найдем ряд операторных тождеств. Укажем некоторые из них, имеющие отношение к нашей задаче:
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{x}^{2} a \cdot b\right) c d-a b\left(D_{x}^{2} c \cdot d\right)=D_{x}\left[\left(D_{x} a \cdot d\right) \cdot c b+a d \cdot\left(D_{x} c \cdot b\right)\right], \\
\left(D_{x} D_{t} f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right) f f-f^{\prime} f^{\prime}\left(D_{x}^{2} f \cdot f\right)=2 D_{x}\left(D_{t} f^{\prime} \cdot f\right) \cdot f f^{\prime}, \\
\left(D_{x}^{2} f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right) f f-f^{\prime} f^{\prime}\left(D_{x}^{3} f \cdot f\right)=2 D_{x}\left(D_{x} f^{\prime} \cdot f\right) \cdot f f^{\prime}, \\
\left(D_{x}^{4} f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right) f f-f^{\prime} f^{\prime}\left(D_{x}^{4} f \cdot f\right)=2 D_{x}\left(D_{x}^{3} f^{\prime} \cdot f\right) \cdot f f^{\prime}+ \\
+6 D_{x}\left(D_{x}^{2} f^{\prime} \cdot f\right) \cdot D_{x}\left(f \cdot f^{\prime}\right) .
\end{array}
\]

Эти соотношения будут использованы для нахождения преоб. разования Бэклунда для уравнения КдФ.

Теперь рассмотрим ураввнение КдФ в билинейном виде
\[
D_{x}\left(D_{t}+c_{0} D_{x}+D_{x}^{3}\right) f \cdot f=0,
\]

где постоянная $c_{0}$ введена для последующего рассмотрения.
Пусть $f$ и $f^{\prime}$ два разных решения (5.88). Если, преобразовав следующее уравнение
\[
\left[D_{x}\left(D_{t}+c_{0} D_{x}+D_{x}^{3}\right) f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right] f f-f^{\prime} f^{\prime}\left[D_{x}\left(D_{t}+c_{0} D_{x}+D_{x}^{3}\right) f \cdot f\right]=0
\]

мы получим соотношение, связывающее $f$ и $f^{\prime}$, то это и будет преобразованием Бэклунда.
Используя тождества (5.85) – (5.87) и соотношение
\[
D_{x}\left(D_{x} f^{\prime} \cdot f\right) \cdot\left(D_{x} f \cdot f^{\prime}\right)=0,
\]

приведем (5.89) к виду
\[
\begin{array}{l}
2 D_{x}\left\{\left[D_{t}+\left(c_{0}+3 \lambda\right) D_{x}+D_{x}^{3}\right] f^{\prime} \cdot f\right\} \cdot\left(f f^{\prime}\right)+ \\
\quad+6 D_{x}\left[\left(D_{x}^{2}-\mu D_{x}-\lambda\right) f^{\prime} \cdot f\right] \cdot\left(D_{x} f \cdot f^{\prime}\right)=0,
\end{array}
\]

где $\lambda$ и $\mu$-произвольные постоянные. Следовательно, если $f$ является решением (5.88), то $f^{\prime}$ будет другим решением того же уравнения при условии, что $f^{\prime}$ удовлетворяет следующим уравнениям:
\[
\begin{array}{l}
{\left[D_{t}+\left(c_{0}+3 \lambda\right) D_{x}+D_{x}^{3}\right] f^{\prime} \cdot f=0} \\
\left(D_{x}^{2}-\mu D_{x}-\lambda\right) f^{\prime} \cdot f=0 .
\end{array}
\]

Уравнения (5.92) и (5.93) являются преобразованием Бэклунда для (5.88).

Теперь у нас имеется преобразование Бэклунда билинейного вида. В предыдущем разделе мы обсуждали метод нахождения $N$-солитонных решений уравнений, записанных в таком виде. Таким образом, вполне разумно ожидать, что это преобразование Бэклунда является билинейной формой некоторого нелинейного эволюционного уравнения, имеющего $N$-солитонное решение.

Действительно, подбором подходящих преобразөваний зависимых переменных из (5.92) и (5.93) мы можем вывести два типа нелинейных эволюционных уравнений, обладающих $N$-солитонными решениями. Более того, подбором подходящих зависимых переменных (5.92) и\” (5.93) преобразуются к хорошо известной форме обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ.

Рассмотрим сначала случай, в котором $f^{\prime}$ и $f$ комплексно сопряжены: $f^{\prime}=f+i \hat{g}, f=\hat{f}-i \hat{g}$, тогда (5.92) и (5.93) сведутся к
\[
\begin{array}{c}
\left(D_{t}+D_{x}^{3}\right) \hat{g} \cdot \hat{f}=0, \\
D_{x}^{2}(\hat{f} \cdot \hat{f}+\hat{g} \cdot \hat{g})+2 \alpha \beta^{-1 / 2} D_{x} \hat{g} \cdot \hat{f}=0,
\end{array}
\]

где мы положили $\mu=i \alpha \beta^{-1 / 2}$ и $\lambda=c_{0}=0$.
Уравнения (5.94) и (5.95) могут быть преобразованы об. ратно к модифицированному уравнению КдФ, описывающему слабо нелинейную решетку [5.25]
\[
u_{t}+6 \alpha u u_{x}+6 \beta u^{2} u_{x}+u_{x x x}=0 \quad(\beta>0),
\]

если использовать преобразование зависиммй переменной
\[
\begin{array}{l}
u=i \beta^{-1 / 2} \varphi_{x}, \\
\varphi=\ln (\hat{f}+i g) /(\hat{f}-i \hat{g}) .
\end{array}
\]
II. Модифицированное уравнение КдФ, обладающее решением типа ударной волны

Пусть $\lambda=0, c_{0}=-6, \mu=-2$ и $\tau=-t$, тогда (5.92) и (5.93) сводятся к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{\tau}+6 D_{x}-D_{x}^{3}\right) f^{\prime} \cdot f=0, \\
\left(D_{x}^{2}+2 D_{x}\right) f^{\prime} \cdot f=0,
\end{array}
\]

которые преобразуются обратно к модифицированному. уравнению КдФ с решением типа ударной волны [5.26]
\[
v_{\tau}+6 v^{2} v_{x}-v_{x x x}=0
\]

с помощью преобразования зависимой переменной
\[
\begin{array}{l}
v=1+\Phi_{x}, \\
\varphi=\ln \left(f^{\prime} / f\right) .
\end{array}
\]

Исследуя вывод этих уравнений, мы видим, что к билинейной форме они могут быть сведены выбором подходящих преобразований переменных. Следуя процедуре, описанной в предыдущем разделе, разложим $\hat{f}^{\prime}$ и $f$ в степенной ряд по параметру $\varepsilon$
\[
\begin{array}{c}
f^{\prime}=1+\varepsilon f_{1}^{\prime}+\varepsilon^{2} f_{2}^{\prime}+\ldots \\
f=1+\varepsilon f_{1}+\varepsilon^{2} f_{2}+\ldots
\end{array}
\]

и обычным методом возмущений определим коэффициенты разложения. $N$-солитонные решения этих уравнений даны в работах [5.25] и [5.26].

\begin{array}{l}
\Psi_{t}+3 \lambda \psi_{x}+\psi_{x x x}+3 u \psi_{x}=0 \\
\Psi_{x x}+u \psi=\lambda \psi,
\end{array}
\]

где $c_{0}$ и $\mu$ выбраны равными нулю. Уравнения (5.106) и (5.107) составляют содержание хорошо известного метода обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ, найденного Гарднером с соавторами [5.27].
IV. Нелинейное преобразование Миуры
Известное преобразование Миуры [5.28], которое связывает решение уравнения КдФ с решением модифицированного уравнения КдФ, было основным для разработки метода обратной задачи рассеяния для уравнения КдФ [5.27].
Для $\lambda=\mu=c_{0}=0$ (5.93) принимает вид
\[
D_{x}^{2} f^{\prime} \cdot \dot{f}=0 .
\]

Используя (XI.2), найдем
\[
\begin{aligned}
\left(D_{x}^{2} f^{\prime} \cdot f\right) /\left(f^{\prime} f\right)= & {\left[\ln \left(f^{\prime} f\right)\right]_{x x}+\left\{\left[\ln \left(f^{\prime} / f\right)\right]_{x}\right\}^{2}=} \\
& =2(\ln f)_{x x}+\left[\ln \left(f^{\prime} / f\right)\right]_{x x}+\left\{\left[\ln \left(f^{\prime} / f\right)\right]_{x}\right\}^{2} .
\end{aligned}
\]

Тогда (5.108) преобразуется к виду
\[
u=(2 v)^{2}-2 i v_{x}
\]

с помощью соотношений
\[
\begin{array}{l}
u=2(\ln f)_{x x}, \\
v=(1 / 2 i)\left[\ln \left(f^{\prime} / f\right)\right]_{x},
\end{array}
\]

где $v$ удовлетворяет модифицированному уравнению КдФ
\[
v_{t}+24 v^{2} v_{x}+v_{x x x}=0 .
\]

Уравнение (5.110) и есть преобразование Миуры.
V. Преобразование Бэклунда в обыкновенном виде
Билинейное преобразование Бэклунда может быть переписано в обыкновенном виде с использованием потенциала
\[
w=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{x} u d x=(\ln f)_{x}
\]

и его производных. Для преобразования выражений (5.92) и (5.93) с параметрами $\mu=c_{0}=0$ введем новые переменные
\[
\begin{array}{l}
\varphi=\ln \left(f^{\prime} / f\right), \\
\rho=\ln \left(f^{\prime} f\right) .
\end{array}
\]

Тогда, используя (XI. 1)-(XI.3), из (5.92) и (5.93) получим
\[
\begin{array}{c}
\rho_{x x}+\left(\varphi_{x}\right)^{2}=\lambda, \\
\varphi_{t}+3 \lambda \varphi_{x}+\varphi_{x x x}+3 \varphi_{x} \rho_{x x}+\left(\varphi_{x}\right)^{3}=0 .
\end{array}
\]

Замечая, что
\[
\begin{array}{l}
\varphi_{x}=w^{\prime}-w, \\
\rho_{x}=w^{\prime}+w,
\end{array}
\]

мы можем (5.117) и (5.118) свести соответственно к
\[
\begin{array}{c}
\left(w^{\prime}+w\right)_{x}+\left(w^{\prime}-w\right)^{2}=\lambda, \\
\left(w^{\prime}-w\right)_{t}+3 \lambda\left(w^{\prime}-w\right)_{x}+\left(w^{\prime}-w\right)_{x x x}+ \\
+3\left[\left(w^{\prime}-w\right)\left(w^{\prime}+w\right)_{x}\right]_{x}+\left[\left(w^{\prime}-w\right)^{3}\right]_{x}=0 .
\end{array}
\]

Уравнения (5.121) и (5.122) эквивалентны преобразованию Бэклунда, впервые обнаруженному Уолквистом и Эстабруком [5.19].

Нужно заметить, что (5.122) записано в консервативной форме. Из (5.122) и (5.121) можно получить бесконечный набор сохраняющихся величин [5.28], используя систематический подход, разработанный Сатсумой [5.20].

Указанная схема получения преобразования Бэклунда для уравнения КдФ применима к уравнениям I-VII из разд. 5.4. Ниже помещены билинейные дифференциальные уравнения и их преобразования Бэклунда, которые получаются с использованием уравнения
\[
\left[F\left(D_{t}, D_{x}\right) f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right] f f-f^{\prime} f^{\prime}\left[F\left(D_{t}, D_{x}\right) f \cdot f\right]=0
\]

и формулы обмена (5.83).
I. Уравнение Буссинеска [5.29], [5.30]
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{t}^{2}-D_{x}^{2}-D_{x}^{4}\right) f \cdot f=0, \\
\left\{\begin{array}{l}
\left(D_{t}+a D_{x}^{2}\right) f^{\prime} \cdot f=0, \\
\left(a D_{t} D_{x}+D_{x}+D_{x}^{3}\right) f^{\prime} \cdot f=0,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где $a^{2}=-3$.
II. Уравнение Кадомцева – Петвиашвили [5.31], [5.32]
\[
\begin{array}{l}
\left(D_{t} D_{x}+D_{y}^{2}+D_{x}^{4}\right) f \cdot f=0 . \\
\left\{\begin{array}{l}
\left(D_{y}+a D_{x}^{2}\right) f^{\prime} \cdot f=0, \\
\left(-a D_{y} D_{x}+D_{t}+D_{x}^{3}\right) f^{\prime} \cdot f=0,
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где $a^{2}=3$.

(a) \[ \begin{array}{l}
D_{x}\left(D_{t}-D_{t} D_{x}^{2}+D_{x}\right) f \cdot f=0 . \\
\left\{\begin{array}{l}
\left(D_{x}^{3}-D_{x}\right) f^{\prime} \cdot f=\lambda f^{\prime} f . \\
\left(3 D_{x} D_{t}-1\right) f^{\prime}: f=\mu D_{x} f^{\prime} \cdot f .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
(б) $\left[D_{x}\left(D_{t}-D_{t} D_{x}^{2}+D_{x}\right)+\frac{1}{3} D_{t}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right)\right] f \cdot f=0$,

причем
\[
\begin{array}{l}
D_{x}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right) f \cdot f=0 . \\
\left\{\begin{array}{l}
\left(D_{\tau}+3 \lambda D_{x}+D_{x}^{3}\right) f^{\prime} \cdot f=0 \\
D_{x}^{2} f^{\prime} \cdot f=\lambda f^{\prime} f+\mu D_{x} f^{\prime} \cdot f \\
{\left[(1-3 \lambda) D_{t}-D_{x}^{2} D_{t}+D_{x}\right] f^{\prime} \cdot f=0 .}
\end{array}\right.
\end{array}
\]
IV. Уравнения КдФ более высокого порядка [5.33]
(a)
\[
\begin{array}{l}
D_{x}\left(D_{t}+D_{x}^{5}\right) f \cdot f=0 \\
\left\{\begin{array}{l}
D_{x}^{3} f^{\prime} \cdot f=\lambda f^{\prime} f \\
{\left[D_{t}-\frac{15}{2} \lambda D_{x}^{2}-\frac{3}{2} D_{x}^{5}\right] f^{\prime} \cdot f=0 .}
\end{array}\right.
\end{array}
\]
(6)
\[
\left[D_{x}\left(D_{t}+D_{x}^{5}\right)-\frac{5}{6} D_{x}^{3}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right)\right] f \cdot f=0,
\]

причем
\[
\begin{array}{l}
D_{x}\left(D_{\tau}+D_{x}^{3}\right) f \cdot f=0 . \\
\left\{\begin{array}{l}
\left(D_{\tau}+3 \lambda D_{x}+D_{x}^{3}\right) f^{\prime} \cdot f=0, \\
D_{x}^{2} f^{\prime} \cdot f=\lambda f^{\prime} f, \\
\left(D_{t}+15 \lambda^{2} D_{x}+D_{x}^{5}\right) f^{\prime} \cdot f=0 .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
V. Уравнение Тоды [5.34], [5.35]
(6)
\[
\left[D_{t}^{2}-4 \operatorname{sh}^{2}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f \cdot f=0 .
\]
(a)
\[
\begin{array}{l}
\left\{\begin{array}{l}
{\left[D_{t} \exp \left(-\frac{1}{2} D_{n}\right)-2 \lambda \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f^{\prime} \cdot f=0,} \\
{\left[D_{t}+\lambda^{-1}\left(\exp \left(-D_{n}\right)-1\right)\right] f^{\prime} \cdot f=0 .}
\end{array}\right. \\
\left\{\begin{array}{l}
D_{t} f^{\prime} \cdot f+2 \alpha \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right) g^{\prime} \cdot g=0, \\
D_{t} g^{\prime} \cdot g+2 \alpha^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right) f^{\prime} \cdot f=0, \\
{\left[\beta_{1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)+\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] g^{\prime} \cdot g=f^{\prime} f,} \\
{\left[\beta_{2} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)+\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f^{\prime} \cdot f=g^{\prime} g,}
\end{array}\right.
\end{array}
\]

где
\[
\alpha^{-1}\left(\beta_{1}^{2}-1\right)=\alpha\left(\beta_{2}^{2}-1\right) .
\]
VI. Разностный аналог уравнения КдФ [5.16]
\[
\begin{array}{l}
\operatorname{sh} \frac{1}{4}\left(D_{n}+\delta D_{t}\right)\left[2 \delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right)+2 \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f \cdot f=0 . \\
\left\{\begin{array}{l}
{\left[2 \delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right)+2 \lambda \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f^{\prime} \cdot f=0,} \\
\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right) f^{\prime} \cdot f=\lambda \operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right) f^{\prime} \cdot f .
\end{array}\right.
\end{array}
\]
VII. Цепочка Тоды с дискретным временем [5.36]
\[
\begin{array}{c}
\left\{\left[2 \delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right)\right]^{2}-\left[2 \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right]^{2}\right\} f \cdot f=0 \\
\delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right) f^{\prime} \cdot f+\alpha \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right) g^{\prime} \cdot g=0 \\
\delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right) g^{\prime} \cdot g+\alpha^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right) f^{\prime} \cdot f=0 \\
{\left[\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)+\beta_{1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] g^{\prime} \cdot g=} \\
=\left[\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right)+\gamma_{1} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right)\right] f^{\prime} \cdot f, \\
{\left[\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)+\beta_{2} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f^{\prime} \cdot f=} \\
=\left[\operatorname{ch}\left(\frac{1}{2} \delta D_{n}\right)+\gamma_{2} \operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} \delta D_{t}\right)\right] g^{\prime} \cdot g
\end{array}
\]

где $\delta, \alpha$ и $\beta_{i}, \gamma_{i}$ для $i=1,2$-произвольные постоянные, удовлетворяющие соотношению
\[
\alpha^{-1}\left[\left(\beta_{1}+\gamma_{1} \alpha \delta\right)^{2}-\left(1-\delta^{2}\right)\right]=\alpha\left[\left(\beta_{2}+\gamma_{2} \alpha^{-1} \delta\right)^{2}-\left(1-\delta^{2}\right)\right] .
\]

Отметим, что преобразования Бэклунда для разностного аналога уравнения КдФ получаются с использованием следүющего соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\left\{\operatorname{sh} \frac{1}{4}\left(D_{n}+\delta D_{t}\right)\left[\delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{\delta}{2} D_{t}\right)+\operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right\} \times \\
\times\left[\operatorname{ch} \frac{1}{4}\left(D_{n}-\delta D_{t}\right) f \cdot f\right]-\left[\operatorname{ch} \frac{1}{4}\left(D_{n}-\delta D_{t}\right) f^{\prime} \cdot f^{\prime}\right] \times \\
\times\left\{\operatorname{sh} \frac{1}{4}\left(D_{n}+\delta D_{t}\right)\left[\delta^{-1} \operatorname{sh}\left(\frac{\delta}{2} D_{i}\right)+\operatorname{sh}\left(\frac{1}{2} D_{n}\right)\right] f \cdot f\right\}=0 .
\end{array}
\]

Примеры I-VII, приведенные выше, указывают, что для каждого билинейного уравнения вида $F\left(D_{t}, D_{x}\right) f \cdot f=0$, которое обладает $N$-солитонным решением, можно найти билинейное преобразование Бэклунда. В этой связи интересно найти примеры других функций $F$, удовлетворяющих тождеству (5.47), и посмотреть на их преобразовання Бэклунда.

В этой работе мы обсуждали нелинейные эволюционные уравнения, которые преобразуются в билинейные уравнения вида
\[
F\left(D_{t}, D_{x}\right) f \cdot f=0
\]

и их преобразования Бэклунда. Другие классы нелинейных уравнений эволюции, обладающих $N$-солитонными решениями, частично рассмотрены в [5.6] и [5.34].