Теорема 10 в [3.30] о том, что нелинейное уравнение Клейна – Гордона $u_{x t}=F(u)$ имеет бесконечное семейство полиномиальных законов сохранения, если и только если $F^{\prime \prime}(u)+$ $+\alpha^{2} F(u)=0$ для некоторого $\alpha
eq 0$, возможно, доказана с пробелами. Михайлов [3.55] недавно обнаружил в связи с исследованием обобщенной цепочки Тоды уравнение
\[
u_{t t}-u_{x x}+2 \exp (4 u)-2 \exp (-2 u)=0,
\]

интегрируемое методом обратной задачи рассеяния для $3 \times 3$ линейного оператора. Система (3.55) оказывается вполне интегрируемой с бесконечным числом нетривиальных первых интегралов.

Независимо Форди и Гиббонс [3.56] применили метод обратной задачи для $N \times N$ линейного оператора к интегрированию нелинейной системы уравнений Клейна – Гордона $u_{i, x t}=$ $=F_{i}(u)$ для $N-1$ взаимодействующего поля $u=\left(u_{1}, \ldots, u_{N-1}\right)$ и нашли преобразование Бэклунда для этой системы. Для $N=3$ они обнаружили, что система
\[
\theta_{x t}=e^{2 \theta}-e^{-\theta} \operatorname{ch} 3 \varphi, \quad \varphi_{x t}=e^{-\theta} \sin ^{3} \varphi
\]

является вполне интегрируемой гамильтоновой системой, допускает АПБ и имеет бесконечное семейство нетривиальных полиномиальных законов сохранения. Отметим, что решения (3.56) с $\varphi=0$ находятся из уравнения
\[
\theta_{x t}=\exp (2 \theta)-\exp (-\theta)
\]

не отличающегося от (3.55) и, разумеется, дающего пример уравнения типа (3.1). Уравнение (3.57) не допускает АПБ (повидимому), поскольку АПБ переводит (3.57) (с $\varphi=0$ ) в (3.56) (с $\varphi
eq 0$ ). Однако оно имеет бесконечное число нетривиальных полиномиальных законов сохранения даже в случае $\varphi \equiv 0$. Так что похоже, что теорема работ [3.28], [3.29] о том, что уравнение $u_{x t}=F(u)$ для одного поля $и$ допускает АПБ, если и только если $F^{\prime \prime}(u)+\alpha^{2} F(u)=0$, не опровергнута. Но теорема 10 из [3.30] о полиномиальных законах сохранения опровергнута. В настоящее время не ясно, исключает ли близкая связь уравнений (3.57) и (3.56) уравнение (3.57) из рассуждений теоремы 9 работы [3.30] и тем самым из теоремы 10. Отметим, однако, что теорема 9 основывалась на разборе двух случаев: I) $F(u)=A \exp (\alpha u)+B \exp (-\alpha u) \quad$ и II) $\quad F(u)=A \exp (\alpha u)+$ $+B \exp \left(-\frac{1}{2} \alpha u\right)$ (случай (3.57)). Так что, по-видимому, доказательство в [3.30] того, что имеется верхняя граница $(<24$ ) на ранг и, следовательно, число полиномиальных законов сохранения конечно, для случая II неверно. Мы, естественно, подвергли тщательному анализу весьма утомительное доказательство существования упомянутой границы; однако ко времени написания этого текста ошибка в доказательстве теоремы 9 обнаружена не была.