В предыдущем разделе были получены уравнения движения для непрерывной модели взаимодействующих массивных фермионов в одномерном пространотве, а в разд. 12.2 обсуждалась формулировка задачи на решетке в терминах квантового оператора спина, с теми же самыми уравнениями движения в пределе малой постоянной решетки. В настоящем разделе мы подытожим решения задачи на решетке, выполним требуемую процедуру предельного перехода к малой постоянной решетки и построим спектр собственных значений для непрерывного предела.

Спектр собственных значений гамильтониана (12.1) характеризуется одночастичными состояниями и связанными состояниями. В спиновой интерпретации одночастичное состояние — это спиновая волна, в бозонной — это солитон, и, наконец, в остающемся представлении — это фермион. Связанные состояния всегда строятся из этих фундаментальных объектов (или их античастиц). Спектр определяется массой частицы, энергией связи и числом связанных состояний. В собственно непрерывном пределе, когда постоянная решетки принимается равной нулю, спектр лоренц-инвариантен и получается в результате суперпозиции невзаимодействующих частиц со спектром
$${\mathrm{\Delta }}^2(k)={\mathrm{\Delta }}_n^2+k^2,$$

где ${\mathrm{\Delta }}_n$ соответствует подходящей массе, вообще говоря, отличной от голой массы $m_0$ предыдущего раздела, а $n$ — индекс, соответствующий рассматриваемой частице, свободной или связанной.

Спектр принимает такой вид благодаря существованию бесконечного набора законов сохранения для задачи спиновой цепочки [12.12]. Эти законы сохранения запрещают порождение частиц или уничтожение связанных состояний. И наоборот, из формы спектра собственных значений (12.3), соответствующего набору абсолютно стабильных частиц, необходимо вытекает существование подобных законов сохранения.

Определение масс требует интерпретации перехода к непрерывному пределу и правильной перенормировки параметров решетки, $J_{\alpha }$, в (12.1). После того как в это уравнение введена единица длины, что приводит к (12.10), несложно убедиться і том, что в пределе $s\to 0$ с необходимостью $J_1\to 0$, а это уже почти изотропная спиновая задача $J_{\perp }\ll V$. В таком пределе спектр собственных значений спиновой цепочки сильно упрощается. 3пачение фундаментальной массы в задаче имеет вид
$$\mathrm{\Delta }=8\pi v\frac{\sin \mu }{\mu }{\left(\frac{J_{\perp }}{V}\right)}^{\pi /2\mu },$$

где $\mu =\arccos (-J_2/V)$, другие же параметры определены в разд. 12.2. Построение непрерывного предела налагает требование, согласно (12.7), чтобы $V\to V/s$. Множители $s$ сокращаются в процессе предельного перехода; в результате поведение массы описываегся соотношением
$$\mathrm{\Delta }\sim s^{-1}{J}_{\perp }^{\pi /2\mu }$$

и для того, чтобы получить конечное значение щели в пределе $s\to 0$, следует выбрать $J_{\perp }=J_{\perp }^{\ast }{s}^{2\mu /\pi }$, где $J_{\perp }^{\ast }$ — константа, не зависящая от $s$ при $s\to 0$. Таким образом, на массу налагается требование конечности. Очевидно, что подобная процедура позволяет определить зависимость величины щели от «голых» обменных параметров, $\mathrm{\Delta }\sim J_{\perp }^{\pi /2\mu }$, но не коэффициент пропорциональности.

Без сомнения, приведенное соотношение определяет показатель экспоненты, но не окончательное выражение для массы. Такое выражение должно зависеть от модели, а также от многих других параметров, которые могут даже не входить в полевые уравнения в непрерывном пределе, но останутся скрытым образом в обозначениях. Это выражение не может быть универсальным.

Однако отношение массы частицы в связанном состоянии к $\mathrm{\Delta }$ имеет интересное свойство: в него не входит одночастичная масса. В пределе малых $J_{\perp }$ формула для массы имеет вид
$${\mathrm{\Delta }}_n=2\mathrm{\Delta }\sin \left(\frac{n\pi }{2}\frac{\theta }{1-\theta }\right),$$

где $\theta =1-\mu /л$. Параметр $\theta$ содержит зависимость от продольной компоненты обмена, $J_z$, через параметр $\mu$. Для таких значений этого параметра, при которых ${\theta }^{-1}-1$ больше единицы, любое целое $n$ является решением, и отношение масс зависит только от одного параметра. Спектр зида (12.41) был впервые получен для СГ-уравнения Тахтаджяном и Фаддеевым [12.13], а также Дашеном и др. [12.14], с использованием полуклассического подхода, и приводится в гл. 1, уравнение (1.105). Вывод спектра на основании решеточной модели устанавливает не только точность этого выражения для спектра, но и наводит на мысль об его универсальности. Универсальность в таком контексте подразумевает, что отношение масс связанной и свободной частиц является универсальной функцией параметра $\theta$, задаваемой формулой (12.41). Сам параметр $\theta$ может быть не универсальной функцией констант связи, так как оп определяется из показателя экспоненциальной зависимости корреляционной функции ${\psi }_1^{+}{\psi }_2$, как в (12.37).

Универсальное соотношение между показателями является хорошо известным свойством критических явлений вблизи фазового перехода второго рода. Соответствующее соотношение связывает в этом случае показатель массовой щели с показателем корреляционной функции при нулевой массе. Показатель величины щели обозначается через $v$, и вышеприведенное соотношение устанавливает $\mathrm{\Delta }\sim m_0^u$, где $u=\pi /\mu =(1-\theta {)}^{-1}$. Определение $\theta$ из выражения для корреляционной функции (12.37) соответствует показателю параметра порядка в теории критических явлений. В дополнение к скейлингу, связывающему показатели, имеется универсальная функция, дающая выражение для массы связанного состояния.

Существование связи между показателями вблизи критической точки восьмивершинной модели и показателями, описывающими корреляционную функцию в фермионной задаче, является одним из приятных случаев, когда перекрестное оплодотворение было полезным. Можно найти много дальнейших применений этого принципа, позволяющего прояснить ситуацию в таких задачах, как $S$-матрица в решеточной теории, термодинамика квантового СГ-уравнения и важнейшие еще нерешенные проблемы в теории корреляционных функций. Другие модели с высшими внутренними симметриями основываются на квантовом СГ-уравнении [12.15]. Полное решение нашей квантовой задачи позволит значительно продвинуться и в изучении этих моделей.

При решении восьмивершинной модели центральной идеей было обобщение анзаца Бете [12.3]. С использованием обсужденных нами соотношений экзивалентности, эта идея может, очевидно, быть применена для построения волновых функций в задаче взаимодействующих ферми-полей. Эта возможность недавно обсуждалась [12.16], и она связана с «методом квантовой обратной задачи» [12.17]. Можно также предвосхитить и приветствовать обобщения метода и для моделей взаимодействующих ферми-полей с высшими внутренними симметриями.