Решение с двумя солитонами получится, если предположить, что
\[
S_{n}=\frac{m}{\dot{j}} \log \psi_{n},
\]

где $[4.10]$
\[
\Psi_{n}=A \operatorname{ch}(\alpha n-\beta t)+B \operatorname{ch}(\mu n-\gamma t) .
\]

Здесь $A, B, \beta$ и $\gamma$ суть функции от $\alpha$ и $\mu$, которые определяются уравнениями движения. Другой способ – это использовать формулу [4.11]
\[
\begin{array}{r}
\Psi_{n}=1+A_{1} \exp \left[2\left(\alpha_{1} n-\beta_{1} t\right)\right]+A_{2} \exp \left[2\left(\alpha_{2} n-\beta_{2} t\right)\right]+ \\
+A_{3} \exp \left[2\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right) n-2\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right) t\right],
\end{array}
\]

где $A_{1}, A_{2}, A_{3}, \beta_{1}$ и $\beta_{2}$ определяются как функции от $\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$ путем подстановки (4.26) и (4.28) в уравнения движения (4.13). Итак, мы получаем следующие два случая.
Случай I)
\[
\begin{array}{l}
\beta_{1}=\sqrt{\frac{a b}{m}} \text { sh } \alpha_{1}, \quad \beta_{2}=\sqrt{\frac{a b}{m}} \operatorname{sh} \alpha_{2}, \\
A_{3}=\left(\frac{\operatorname{sh} \frac{1}{2}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2} !\right.}{\operatorname{sh} \frac{1}{2}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2} !\right.}\right)^{2} A_{1} A_{2} .
\end{array}
\]

В этом случае два солитона распространяются в одном направлении, один догоняет другой и проходит сквозь него.
Случай II)
\[
\begin{array}{l}
\beta_{1}=\sqrt{\frac{a b}{m}} \operatorname{sh} \alpha_{1}, \quad \beta_{2}=-\sqrt{\frac{a b}{m}} \text { sh } \alpha_{2}, \\
A_{3}=\left(\frac{\operatorname{ch}\left(\alpha_{1}-\alpha_{2}\right.}{\operatorname{ch}\left(\alpha_{1}+\alpha_{2}\right.}\right)^{2} A_{1} A_{2} .
\end{array}
\]

В этом случае солитоны распространяются в противоположных направлениях, происходит встречное столкновение, и один проходит через другой.

И в том и в другом случае асимптотический вид обоих солитонов дается формулой
\[
\exp \left(-b r_{n}\right)-1=\frac{m}{a b} \beta_{i}^{2} \operatorname{sech}^{2}\left(\alpha_{i} n-\beta_{i} t+\delta_{i}^{\mp}\right)
\]

для $i=1,2$, причем
\[
\delta_{1}^{-}=\log A_{1}, \quad \delta_{2}^{-}=\log \frac{A_{3}}{A_{1}}
\]

при $t \rightarrow-\infty$, и
\[
\delta_{1}^{+}=\log \frac{A_{3}}{A_{2}}, \quad \delta_{2}^{+}=\log A_{2}
\]

при $t \rightarrow+\infty$. В общем мы имеем соотношение
\[
\delta_{1}^{-}+\delta_{2}^{-}=\delta_{1}^{+}+\delta_{2}^{+},
\]

которое имеет следующий смысл.
Солитон – это импульс сжатия с избыточной массой ( $h$ – постоянная цепочки)
\[
M=-\sum_{n}\left(Y_{n}-Y_{n-1}\right) \frac{m}{h}=\frac{m}{h}\left(Y_{-\infty}-Y_{\infty}\right) .
\]

Однако (4.26) и (4.27) дают
\[
\begin{aligned}
m Y_{n}=S_{n}-S_{n+1} & \rightarrow 0 & & (n \rightarrow-\infty) \\
& \rightarrow-2 \frac{m}{b} \alpha & & (n \rightarrow+\infty) .
\end{aligned}
\]

Таким образом, мы имеем
\[
M=\frac{2 m}{b h} \alpha,
\]

что выполняется для $\alpha=\alpha_{1}$ и $\alpha_{2}$. Импульс солитона есть
\[
P=\sum_{n} m \dot{Y}_{n}=m\left(s_{-\infty}-s_{\infty}\right)=\frac{2 m}{b} \beta=M c,
\]

где $c=h \beta / \alpha$ есть скорость.
Поскольку положение двух солитонов при $t \rightarrow \mp \infty$ дается выражением
\[
n_{i}^{\mp}=\left(\beta_{i} t-\delta_{i}^{\mp}\right) / \alpha_{i},
\]

то центр масс системы находится в
\[
n^{\mp}=\frac{M_{1} n_{1}^{\mp}+M_{2} n_{2}^{\mp}}{M_{1}+M_{2}}=\frac{1}{\alpha_{1}+c_{2}}\left[\left(\beta_{1}+\beta_{2}\right) t-\delta_{1}^{\mp}-\delta_{2}^{\mp}\right] .
\]

Таким образом, соотношение (4.34) показывает, что центр масс двух солитонов движется по прямой (и с постоянной скоростью) в $(x, t)$ плоскости.

Показано, что кноидальные волны можно рассматривать как последовательности солитонов [4.12].

Общие $N$-солитонные решения были получены Хиротой [4.13] и Флашкой [4.15]. Мы вернемся к ним в следующем разделе.