Решение с двумя солитонами получится, если предположить, что
$$S_n=\frac{m}{\dot{j}}\log {\psi }_n,$$

где $[4.10]$
$${\mathrm{\Psi }}_n=A\mathrm{ch}(\alpha n-\beta t)+B\mathrm{ch}(\mu n-\gamma t).$$

Здесь $A,B,\beta$ и $\gamma$ суть функции от $\alpha$ и $\mu$, которые определяются уравнениями движения. Другой способ — это использовать формулу [4.11]
$$\begin{array}{r}{\mathrm{\Psi }}_n=1+A_1\exp \left[2({\alpha }_{1}n-{\beta }_{1}t)\right]+A_2\exp \left[2({\alpha }_{2}n-{\beta }_{2}t)\right]+\\ +A_3\exp [2({\alpha }_1+{\alpha }_2)n-2({\beta }_1+{\beta }_2)t],\end{array}$$

где $A_1,A_2,A_3,{\beta }_1$ и ${\beta }_2$ определяются как функции от ${\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$ путем подстановки (4.26) и (4.28) в уравнения движения (4.13). Итак, мы получаем следующие два случая.
Случай I)
$$\begin{array}{l}{\beta }_1=\sqrt{\frac{ab}{m}}\text{ sh }{\alpha }_1,{\beta }_2=\sqrt{\frac{ab}{m}}\mathrm{sh}{\alpha }_2,\\ A_3={\left(\frac{\mathrm{sh}\frac{1}{2}({\alpha }_1-{\alpha }_2!}{\mathrm{sh}\frac{1}{2}({\alpha }_1+{\alpha }_2!}\right)}^2{A}_1{A}_2.\end{array}$$

В этом случае два солитона распространяются в одном направлении, один догоняет другой и проходит сквозь него.
Случай II)
$$\begin{array}{l}{\beta }_1=\sqrt{\frac{ab}{m}}\mathrm{sh}{\alpha }_1,{\beta }_2=-\sqrt{\frac{ab}{m}}\text{ sh }{\alpha }_2,\\ A_3={\left(\frac{\mathrm{ch}({\alpha }_1-{\alpha }_2}{\mathrm{ch}({\alpha }_1+{\alpha }_2}\right)}^2{A}_1{A}_2.\end{array}$$

В этом случае солитоны распространяются в противоположных направлениях, происходит встречное столкновение, и один проходит через другой.

И в том и в другом случае асимптотический вид обоих солитонов дается формулой
$$\exp (-b{r}_n)-1=\frac{m}{ab}{\beta }_i^2{\mathrm{sech}}^2({\alpha }_{i}n-{\beta }_{i}t+{\delta }_i^{\mp })$$

для $i=1,2$, причем
$${\delta }_1^{-}=\log A_1,{\delta }_2^{-}=\log \frac{A_3}{A_1}$$

при $t\to -\mathrm{\infty }$, и
$${\delta }_1^{+}=\log \frac{A_3}{A_2},{\delta }_2^{+}=\log A_2$$

при $t\to +\mathrm{\infty }$. В общем мы имеем соотношение
$${\delta }_1^{-}+{\delta }_2^{-}={\delta }_1^{+}+{\delta }_2^{+},$$

которое имеет следующий смысл.
Солитон — это импульс сжатия с избыточной массой ( $h$ — постоянная цепочки)
$$M=-\sum _n(Y_n-Y_{n-1})\frac{m}{h}=\frac{m}{h}(Y_{-\mathrm{\infty }}-Y_{\mathrm{\infty }}).$$

Однако (4.26) и (4.27) дают
$$\begin{array}{rlrl}m{Y}_n=S_n-S_{n+1}& \to 0& & (n\to -\mathrm{\infty })\\ & \to -2\frac{m}{b}\alpha & & (n\to +\mathrm{\infty }).\end{array}$$

Таким образом, мы имеем
$$M=\frac{2m}{bh}\alpha ,$$

что выполняется для $\alpha ={\alpha }_1$ и ${\alpha }_2$. Импульс солитона есть
$$P=\sum _{n}m{\dot{Y}}_n=m(s_{-\mathrm{\infty }}-s_{\mathrm{\infty }})=\frac{2m}{b}\beta =Mc,$$

где $c=h\beta /\alpha$ есть скорость.
Поскольку положение двух солитонов при $t\to \mp \mathrm{\infty }$ дается выражением
$$n_i^{\mp }=({\beta }_{i}t-{\delta }_i^{\mp })/{\alpha }_i,$$

то центр масс системы находится в
$$n^{\mp }=\frac{M_1{n}_1^{\mp }+M_2{n}_2^{\mp }}{M_1+M_2}=\frac{1}{{\alpha }_1+c_2}[({\beta }_1+{\beta }_2)t-{\delta }_1^{\mp }-{\delta }_2^{\mp }].$$

Таким образом, соотношение (4.34) показывает, что центр масс двух солитонов движется по прямой (и с постоянной скоростью) в $(x,t)$ плоскости.

Показано, что кноидальные волны можно рассматривать как последовательности солитонов [4.12].

Общие $N$-солитонные решения были получены Хиротой [4.13] и Флашкой [4.15]. Мы вернемся к ним в следующем разделе.