Для конечнозонного оператора Шрёдингера $L=-d^{2} / d x^{2}+u$ мы получили блоховскую функцию $\psi_{ \pm}$, мероморфную на гиперэллиптической римановой поверхности $\Gamma$ рода $g>0$, двулистно накрывающей $E$-плоскость $\pi: \Gamma \rightarrow C$. При $E \rightarrow \infty$ справедлива асимптотика $\psi \sim \exp \left[ \pm i \sqrt{E}\left(x-x_{0}\right)\right]$. Совокупность полюсов функции $\psi D=P_{1}+\ldots+P_{g}$ не зависит от $x$, а совокупность ее нулей $Q_{1}(x), \ldots, Q_{g}(x)$ не зависит от $x_{0}$. Условие нормировки таково: $\psi=1$ для $x=x_{0}$ (см. разд. 10.2).
С геометрической точки зрения мы имеем:
a) определенную риманову поверхность $\Gamma$, гиперэллиптическую и конечного рода $g$ («алгебраическую кривую»);
b) отмеченную точку ветвления $P_{\infty}$ («бесконечность»);
c) дивизор полюсов $D=P_{1}+\ldots+P_{g}$ степени $g$.
Пусть $w=k^{-1}$ — локальный параметр в окрестности точки $P_{\infty}(w=0)$. Функция $\psi(x, P)$, зависящая от параметра $x$, мероморфна при $P
eq P_{\infty}$; совокупность полюсов этой функции не зависит от $x$, и $\psi=\exp \left[k\left(x-x_{3}\right)\right]\left[1+O\left(k^{-1}\right)\right]$ при $k \rightarrow \infty$ (или $P \rightarrow P_{\infty}$ ). Такая функция однозначно определяется кривой $\Gamma$, точкой $P_{\infty}$ и дивизором полюсов $D$. Строится она так: дифференциал $\Omega=\psi^{-1}(d \psi / d w) d w$ алгебраичен на $\Gamma$; он имеет полюсы первого порядка в точках $P_{j}$ с вычетами -1 и нули первого порядка с вычетами +1 в точках $Q_{i}(x)$. Более того, $\Omega=-(x-$ — $\left.x_{0}\right) w^{2} d w+v$, где $v$ не имеет полюсов в окрестности точки $P_{\infty}$. Пусть $\left(a_{1}, \ldots, a_{g}, b_{1}, \ldots, b_{g}\right)$ — обычный базис циклов на $\Gamma$, где $a_{i} \circ a_{j}=b_{i} \circ b_{j}=0$, и $a_{i} \circ b_{j}=\delta_{i j}$. Пусть $\omega_{1}, \ldots, \omega_{g}-$ базис голоморфных дифференциалов на $\Gamma$, таких, что $\oint_{a_{j}} \omega_{k}=$ $=2 \pi i \delta_{j k}$, и $B_{k l}=\oint_{b_{k}} \omega_{j}$. Возьмем дифференциал второго рода $\omega$ с единственным двойным полюсом в $P_{\infty}$, где $\oint_{a_{j}} \omega=0$. Возьмем также дифференциалы третьего рода $\Omega_{j}$, имеющие только простые полюсы в парах точек $P_{j}$ и $Q_{j}$ с теми же вычетами, что и $\Omega$. Пусть
\[
\Omega=\sum_{j=1}^{g} \Omega_{j}-\left(x-x_{0}\right) \omega+\sum_{j=1}^{g} \delta_{j} \omega_{j} .
\]

Используем требование $\Omega=d \ln \psi$, где $\psi$ однозначная функция. Это значит, что $\oint_{a_{j}} \Omega=2 \pi i m_{f}, \oint_{b_{j}} \Omega=2 \pi$ in $_{l}, \quad$ где чйсла $m_{j}, n_{j}$ целые. Мы применим эти соотношения к формуле (10.24) и используем хорошо известное тождествл
\[
-\oint_{b_{k}} \Omega_{f}=\oint_{P_{f}}^{Q_{f}(x)} \omega_{k} .
\]

В результате получим
\[
\left(x-x_{0}\right) U_{j}=\left(x-x_{0}\right) \oint_{b_{j}} \omega=\sum_{k=1}^{g} \int_{P_{k}}^{Q_{k}(x)} \omega_{j}+\text { (вектор решетки), }
\]

где решетка в $C^{g}$ определяется матрицей Римана $\left(2 \pi i \delta_{k j}, B_{k j}\right)$. Фактор $C^{g}$ по этой решетке есть тор Якоби $\mathcal{J}(\Gamma)$.

Итак, параметры $\eta_{k}$ есть «углы», такие, что $\eta_{k}^{\prime}=\mathcal{U}_{k}$, где $\eta_{k}=$ $=\sum_{i} \int_{P_{j}}^{Q_{j}} \omega_{k}$. Поскольку множество точек ( $P_{j}$ ) фиксировано, мы имеем «отображение Абеля» $S^{g}(\Gamma) \rightarrow \mathcal{F}(\Gamma)$. Тор $\mathcal{F}(\Gamma)$ с координатами $\eta_{k}$ является факторпространством $C^{g}$ по решетке. $S^{g}(\Gamma)-$ это симметрическая степень кривой $\Gamma$, состоящая из неупорядоченных наборов точек $\left(P_{1}, \ldots, P_{g}\right)$. Функции на многообразии $S^{g}(\Gamma)$ порождаются симметрическими функциями от $P_{1}, \ldots, P_{g}$. В частности, в соответствии с формулой (10.23) для потенциала получаем выражение
\[
u(x)=-2 \sum_{j=1}^{g} \pi\left(Q_{j}(x)\right]+\sum E_{i}, \quad \pi: \Gamma \rightarrow C .
\]

Отсюда уже вытекает в принципе выражение для потенциала $u(x)$ через $\theta$-функции в соответствии с учебниками по римановым поверхностям и $\theta$-функциям; см., например, [10.6]. Наиболее удобное выражение получается через $\theta$-функцию Римана
\[
\begin{array}{c}
u(x)=-2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln \theta\left[\eta_{1}^{0}+\mathcal{U}_{1}\left(x-x_{0}\right)-K_{1}, \ldots\right]+c, \quad(1 \\
K_{j}=\frac{1}{2}\left(\sum_{k=1}^{g} B_{k j}-2 \pi i j\right), \quad \eta_{j}^{0}=\sum_{k} \int_{\infty}^{P_{k}\left(x_{0}\right)} \omega_{j}, \quad c=c(\Gamma),
\end{array}
\]

где риманова $\theta$-функция определяется рядом
\[
\begin{aligned}
\theta\left(\eta_{1}, \ldots, \eta_{g}\right) & = \\
& =\sum_{m_{1}, \ldots, m_{g}} \exp \left\{\frac{1}{2} \sum_{j, k} B_{j k} m_{j} m_{k}+\sum_{k} \eta_{k} m_{k}\right\} .
\end{aligned}
\]

Временна́я зависимость потенциала в силу уравнения КдФ (или высшего КдФ с номером $q \geqslant 1$ ) может быть получена из асимптотик при $P \rightarrow P_{\infty}$
\[
\psi \sim \exp \left[k x+k^{3} t\right]\left[1+O\left(\frac{1}{k}\right)\right]
\]

или
\[
\psi \sim \exp \left[k x+P_{2 q+1}(k) t\right]\left[1+O\left(\frac{1}{k}\right)\right]
\]

где $P_{2 q+1}$ — полином от $k$ степени $2 q+1$. Отсюда вытекает формула
\[
u(x, t)=-2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} \ln \theta\left(x \mathcal{U}+t \mathscr{W}^{(q)}+\mathcal{U}_{0}\right)+c,
\]

где $\mathscr{W}_{j}^{(q)}$ — периоды по циклам $b_{j}$ некоторых дифференциалов с полюсами в $P_{\infty}$, аналогично зависимости от $x$. Фактически системы (10.13), (10.14) для зависимости от $x$ и от $t$ записаны на многообразии $S^{g}(\Gamma)$, и угловые параметры $\eta_{k}$ вводятся на торе $\mathscr{g}(\Gamma)$ при помощи отображения Абеля. Таким образом, динамика всех высших уравнений КдФ дается прямолинейными обмотками на торе $\mathcal{g}(\Gamma)$. Сопоставляя с предшествующими рассмотрениями, мы видим, что для вполне интегрируемой системы (10.19) комплексная поверхность уровня всех коммутирующих интегралов является абелевым многообразием, бирационально изоморфным $\mathcal{F}(\Gamma)$. Если потенциал $и$ вещественный и ограниченный для всех $x$ и $t$, то точка $\left(Q_{1}, \ldots, Q_{g}\right) \in S^{g}(\Gamma)$ движется в силу систем $(10.13),(10.14)$ по вещественному тору $T^{g} \subset \mathcal{g}(\Gamma)$, являющемуся произведением циклов $a_{i}, T^{g}=a_{1} \times \ldots \times a_{g}$, $Q_{j}=\left(\gamma_{i}, \pm\right) \in a_{i}$. Циклы $a_{j}$ на Г выбираются как прообразылакун по отношению к проекции $\pi$ на $E$-плоскость. Некоторые конкретные вычисления и приложения можно найти в обзоре $[10.1]$.

Новые приложения функций типа функции Ахиезера найдены в недавних работах [10.7], [10.8].

Следуя [10.7], рассмотрим произвольную алгебраическую кривую $\Gamma$ (не обязательно гиперэллиптическую) и точку $P_{\infty}$ на ней (не обязательно точку ветвления).

Выберем локальный параметр $w=k^{-1}$ около точки $P_{\infty}(w=0)$ и дивизор полюсов $D=P_{1}+\ldots+P_{g}$ степени $g$. Пользуясь указанной выше конструкцией, построим «функцию Ахиезера» $\psi(x, y, t, P)$ с полюсами в дивизоре $D$ и с асимптотикой
\[
\psi \sim \exp \left[k x+\alpha_{n}(k) y+\beta_{n}(k) t\right]
\]

около $P_{\infty} ; \alpha_{m}(k)$ и $\beta_{n}(k)$ — полиномы степеней $m$ и $n$ соответственно. Справедливы следующие утверждения:
a) можно найти операторы $L_{m}$ и $L_{n}$ по $x$ порядков $m$ и $n$ с постоянными старшими членами, такие, что
\[
\frac{\partial \psi}{\partial y}=L_{m} \psi, \quad \frac{\partial \psi}{\partial t}=L_{n} \psi
\]
b) выполнено соотношение совместности
\[
\left[\frac{\partial}{\partial y}-L_{m}, \frac{\partial}{\partial t}-L_{n}\right]=0,
\]

эквивалентное нелинейным уравнениям Захарова — Шабата для коэффициентов операторов $L_{m}, L_{n}$;

с) если $\alpha_{m}=k^{2}, \beta_{n}=k^{3}+\lambda k$, то
\[
L_{2}=-\frac{d^{2}}{d x^{2}}+u, \quad L_{3}=-4 \frac{d^{3}}{d x^{3}}+3\left(u \frac{d}{d x}+\frac{d}{d x} u\right)+\lambda \frac{d}{d x}+w .
\]

Соответствующее нелинейное уравнение (10.33) совпадает с двумерным уравнением КдФ или уравнением Қадомцева — Петвиашвили [10.9] для поперечных возмущений решений уравнения КдФ
\[
\begin{array}{c}
\frac{3}{4} \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial w}{\partial x}, \\
\frac{\partial w}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial t}+\lambda \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{1}{4}\left(u \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial^{3} u}{\partial x^{3}}\right) ;
\end{array}
\]
d) если $\alpha_{m}(k)$ — главная часть разложения по $k$ алгебраической на кривой $\Gamma$ функции $f(P)$ с единственным полюсом в $P_{\infty}$, то функция $\psi$ имеет вид
\[
\psi=\exp [f y] \psi_{0}(x, t, P),
\]

и коэффициенты операторов $L_{m}, L_{n}$ не зависят от $y$. Из этого вытекает, что каждой такой функции $\hat{f}$ с единственным полюсом в $P_{\infty}($ пусть $t=0)$ можно естественно сопоставить оператор $L_{f}$ по $x$ [строится целая коммутативная алгебра операторов, изоморфная всему кольцу $A\left(\Gamma, P_{\infty}\right)$ таких функций с полюсами в $P_{\infty}$ ]. Это приводит к интересной классификации коммутативных колец дифференциальных операторов. Коэффициенты этих операторов и функция $\psi$ выражаются через $\theta$-функцию Римана.

В недавних работах, которые мы не будем здесь обсуждать, алгебро-геометрические идеи и функции типа функции Ахиезера применялись к обратной задаче для двумерного уравнения Шрёдингера с периодическими коэффициентами (см. [10.8]). Эти методы могут применяться также и в высших размерностях $n>2$.

В заключение отметим, что большая часть настоящей статьи основывается на цикле работ автора, Дубровина, Матвеева и Итса, выполненных и в основнои опубликованных в 1974 г. (см. [10.3], [10.10]), а также на работе Лакса [10.11a]. При написании разд. 10.3 я также использовал результаты более поздних работ Лакса [10.11b], Гельфанда и Дикого [10.12] и Новикова и Богоявленского [10.13], [10.14]. В конце разд. 10.4 я использовал недавнюю работу Кричевера [10.7]. Часть результатов теории одномерного уравнения Шрёдингера с периодическим конечнозонным потенциалом, использующих абелевы многообразия, была также получена в 1975 г. Маккином и Ван Мёрбеке [10.15]. Более подробное изложение этой теории, содержащее историю вопроса и библиографию, можно найти в обзоре [10.1].