В этом разделе перечислены некоторые свойства операторов $D_{t}, D_{x}$, введенных в предыдущем разделе. Имеем
\[
D_{t}^{n} D_{x}^{m} a \cdot b=\left.\left(\frac{\partial}{\partial t}-\frac{\partial}{\partial t^{\prime}}\right)^{n}\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\right)^{m} a(t, x) b\left(t^{\prime}, x^{\prime}\right)\right|_{t=t^{\prime}, x=x^{\prime \prime}}
\]
Полезно ввести оператор $D_{z}$ и дифференцирование $\partial / \partial z$, полагая
\[
D_{z}=\delta D_{t}+\varepsilon D_{x}, \frac{\partial}{\partial z}=\delta \frac{\partial}{\partial t}+\varepsilon \frac{\partial}{\partial x},
\]
где $\delta$ и $\varepsilon$-постоянные. Из определения очевидны следующие свойства:
(I) $\quad D_{z}^{m} a \cdot 1=\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^{m} a$,
(II) $D_{z}^{m} a \cdot b=(-1)^{m} D_{z}^{m} b \cdot a$,
(II. 1) $D_{z}^{m} a \cdot a=0$ для нечетных $m$,
(III) $\quad D_{z}^{m} a \cdot b=D_{z}^{m-1}\left(a_{z} \cdot b-a \cdot b_{z}\right)$,
(III. 1) $D_{z}^{m} a \cdot a=2 D_{z}^{m-1} a_{z} \cdot a \cdot$ для четных $m$,
(III.2) $D_{x} D_{t} a \cdot a=2 D_{x} a_{t} \cdot a=2 D_{t} a_{x} \cdot a$,
(IV) $\quad D_{x}^{m} \exp \left(p_{1} x\right) \cdot \exp \left(p_{2} x\right)=\left(p_{1}-p_{2}\right)^{m} \exp \left[\left(p_{1}+p_{2}\right) x\right]$.
Пусть $F\left(D_{t}, D_{x}\right)$ есть полином от $D_{t}$ и $D_{x}$, тогда
(IV. 1)
\[
\begin{array}{l}
F\left(D_{t}, D_{x}\right) \exp \left(\Omega_{1} t+p_{1} x\right) \cdot \exp \left(\Omega_{2} t+p_{2} x\right)= \\
=F\left(\Omega_{1}-\Omega_{2}, p_{1}-p_{2}\right) / F\left(\Omega_{1}+\Omega_{2}, p_{1}+p_{2}\right) \times \\
\times F\left(D_{t}, D_{x}\right) \exp \left[\left(\Omega_{1}+\Omega_{2}\right) t+\left(p_{1}+p_{2}\right) x\right] \cdot 1,
\end{array}
\]
\[
\exp \left(\varepsilon D_{x}\right) a(x) \cdot b(x)=a(x+\varepsilon) b(x-\varepsilon) \text {, }
\]
\[
\begin{array}{l}
\exp \left(\varepsilon D_{z}\right) a b \cdot c d=\left[\exp \left(\varepsilon D_{z}\right) a \cdot c\right] \times \\
\times\left[\exp \left(\varepsilon D_{z}\right) b \cdot d\right]=\left[\exp \left(\varepsilon D_{z}\right) a \cdot d\right]\left[\exp \left(\varepsilon D_{z}\right) b \cdot c\right],
\end{array}
\]
(VI. 1) $D_{z} a b \cdot c=\left(\frac{\partial a}{\partial z}\right) b c+a\left(D_{z} b \cdot c\right)$,
(VI. 2) $D_{z}^{2} a b \cdot c=\left(\frac{\partial^{2} a}{\partial z^{2}}\right) b c+2\left(\frac{\partial a}{\partial z}\right) D_{z} b \cdot c+a\left(D_{z}^{2} b \cdot c\right)$,
(VI.3) $D_{z}^{3} a c \cdot b c=\left(D_{z}^{3} a \cdot b\right) c^{2}+3\left(D_{z} a \cdot b\right) D_{z}^{2} c \cdot c$,
(VI. 4) $D_{x}^{m} \exp (p x) a \cdot \exp (p x) b=\exp (2 p x) D_{x}^{m} a \cdot b$,
\[
\begin{array}{l}
\exp \left.\delta D_{t}\right)\left[\exp \left(\varepsilon D_{x}\right) a \cdot b\right] \cdot\left[\exp \left(\varepsilon D_{x}\right) c \cdot d\right]= \\
\quad=\exp \left(\varepsilon D_{x}\right)\left[\exp \left(\delta D_{t}\right) a \cdot c\right] \cdot\left[\exp \left(\delta D_{t}\right) b \cdot d\right]= \\
\quad=\left[\exp \left(\delta D_{t}+\varepsilon D_{x}\right) a \cdot d\right]\left[\exp \left(-\delta D_{t}+\varepsilon D_{x}\right) c \cdot b\right] .
\end{array}
\]
Следующие формулы полезны для преобразования нелинейных дифференциальных уравнений к билинейному виду.
(VIII) $\exp \left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial z}\right)\left[\frac{a}{b}\right]=\left[\exp \left(\varepsilon D_{z}\right) a \cdot b\right] /\left[\operatorname{ch}\left(\varepsilon D_{z}\right) b \cdot b\right]$,
(VIII. 1) $\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{D_{z} a \cdot b}{b^{2}}$,
(VIII. 2) $\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}}\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{D_{z}^{2} a \cdot b}{b^{2}}-\left(\frac{a}{b}\right) \frac{D_{z}^{2} a \cdot b}{b^{2}}$,
(VIII. 3) $\frac{\partial^{3}}{\partial z^{3}}\left(\frac{a}{b}\right)=\frac{D_{z}^{3} a \cdot b}{b^{2}}-3\left[\frac{D_{z} a \cdot b}{b^{2}} \frac{D_{z}^{2} b \cdot b}{b^{2}}\right]$,
(IX) $2 \operatorname{ch}\left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial z}\right) \ln f=\ln \left[\operatorname{ch}\left(\varepsilon D_{z}\right) f \cdot f\right]$,
(IX. 1) $\frac{\partial^{2}}{\partial z^{2}} \ln f=\frac{D_{z}^{2} f \cdot f}{2 f^{2}}$,
(IX. 2) $\frac{\partial^{4}}{\partial z^{4}} \ln f=\frac{D_{z}^{4} f \cdot f}{2 f^{2}}-6\left[\frac{D_{z}^{2} f \cdot f}{2 f^{2}}\right]^{2}$.
Формулы, приведенные ниже, полезны для преобразования билинейных дифференциальных уравнений обратно к первоначальным нелинейным дифференциальным уравнениям.
(X) $\exp \left(\varepsilon D_{x}\right) a \cdot b=\left\{\exp \left[2 \operatorname{ch}\left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln b\right]\right\}\left[\exp \left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\right]$.
Пусть $\psi=a / b, u=2(\ln b)_{x x}$, тогда
(X. 1) $\left(D_{x} a \cdot b\right) / b^{2}=\psi_{x}$,
(X.2) $\left(D_{x}^{2} a \cdot b\right) / b^{2}=\psi_{x x}+u \psi$,
(X.3) $\left(D_{x}^{3} a \cdot b\right) / b^{2}=\psi_{x x x}+3 u \psi_{x}$,
(X.4) $\left(D_{x}^{4} a \cdot b\right) / b^{2}=\psi_{x x x x}+6 u \psi_{x x}+\left(u_{x x}+3 u^{2}\right) \psi$.
(XI) $\quad \exp \left(\varepsilon D_{x}\right) a \cdot b=\exp \left[\operatorname{sh}\left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln \frac{a}{b}+\operatorname{ch}\left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln (a b)\right]$.
Пусть $\varphi=\ln (a / b)$ и $\rho=\ln (a b)$, тогда
(XI. 1) $\left(D_{x} a \cdot b\right) / a b=\varphi_{x}$,
(XI. 2) $\left(D_{x}^{2} a \cdot b\right) / a b=\rho_{x x}+\left(\varphi_{x}\right)^{2}$,
(XI.3) $\left(D_{x}^{3} a \cdot b\right) / a b=\varphi_{x x x}+3 \varphi_{x} \rho_{x x}+\left(\varphi_{x}\right)^{3}$,
(XI. 4) $\left(D_{x}^{4} a \cdot b\right) / a b=\rho_{x x x x}+4 \varphi_{x} \varphi_{x x x}+3\left(\rho_{x x}\right)^{2}+6\left(\varphi_{x}\right)^{2} \rho_{x x}+\left(\varphi_{x}\right)^{4}$.
Все эти свойства проверяются просто, поэтому мы проверим только (X). Мы имеем
\[
\begin{array}{l}
2 \operatorname{ch}\left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln b=\ln b(x+\varepsilon)+\ln b(x-\varepsilon), \\
\exp \left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{a}{b}\right)=a(x+\varepsilon) / b(x+\varepsilon),
\end{array}
\]
и из (V)
\[
\exp \left(\varepsilon D_{x}\right) a \cdot b=a(x+\varepsilon) b(x-\varepsilon) ;
\]
следовательно,
\[
\exp \left(\varepsilon D_{x}\right) a \cdot b=\exp \left[2 \operatorname{ch}\left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right) \ln b\right]\left[\exp \left(\varepsilon \frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{a}{b}\right)\right],
\]
что доказывает (X). Соотношения (X.1)-(X.4) получены разложением (X) в степенной ряд по $\varepsilon$ и приравниванием членов с одинаковыми степенями $\varepsilon$. Другие свойства $D$-оператора описаны в другой работе автора [5.5].
