В 1971 г. Хирота [1.33], впервые применив свой прямой метод, нашел $N$-солитонное решение уравнения КдФ. В 1972 г. Вадати и Тода [1.124] использовали описанный Гарднером и др. [1.1] обратный метод для получения $N$-солитонных решений КдФ в явном виде. Затем Вадати [1.125] решил модифицированное уравнение КдФ (1.78) с помощью схемы задачи рассеяния $2 \times 2$. В это время Дж. Лэм размышлял над возможностью связи между КдФ и СГ-уравнениями – идеей, которую он сообщил нам в Манчестере. В 1972 г. он применил законы сохранения СГ-уравнения для описания распада импульса [1.126]. В 1973 г. [1.127, 1.128] он доложил о решении уравнений СИП методом обратной задачи рассеяния (см. гл. 2).

В Манчестере мы также изучали ультракороткие оптические импульсы и ранее [1.129] отметили столкновительные свойства решений уравнений Максвелла – Блоха (MБ), имеющих форму гиперболического секанса (типа уединенной волны). Здесь мы пользуемся обозначениями СИП и МБ, введенными для соответствующих уравнений в работе [1.130]. Лэм и Маклафлин в гл. 2 называют уравнения СИП уравнениями Максвелла Блоха. Теперь известно [1.131], что уравнения МБ в том виде, в котором они были определены в [1.130], не являются интегрируемой системой и не имеют точных солитонных решений в смысле разд. 1.2.

В 1972 г. Гиббон и Эйлбек [1.132] предположили, что существует $N$-солитонное решение уравнений СИП для острорезонансного случая. Эти уравнения эквивалентны СГ-уравнению и связаны с редуцированными уравнениями Максвелла – Блоха (РМБ) $[1.64,1.133]$. Уравнения РМБ имеют вид
\[
\begin{array}{l}
E_{x}+E_{t}=\alpha s, \\
r_{t}=-\mu s, \\
s_{t}=\mu r+E_{u}, \\
u_{t}=-E s ;
\end{array}
\]

они были решены Кодри и др. [1.82] с помощью подстановки типа Хопфа – Коула
\[
E=2 g / f, \quad r=2 h / f, \quad E^{2}=\frac{4 \partial^{2}}{\partial t^{2}} \ln f,
\]

которая непосредственно дает
\[
g^{2}=f f_{t t}-f_{t}^{2} .
\]

При этом уравнения РМБ дают еще два однородных уравнения для $f, g$ и $h$. Теперь решение можно получить [1.82], предположив, что оно имеет вид
\[
\begin{aligned}
f & =\operatorname{det} M_{i j}, \\
M_{i j} & =\frac{2}{E_{i}+E_{j}} \text { ci }\left[\frac{1}{2}\left(\Theta_{i}+\Theta_{j}\right)\right], \\
\Theta_{j} & =\omega_{j} t-k_{j} x+\delta_{j} .
\end{aligned}
\]

Сходство с решением (1.22) СГ-уравнения в лоренц-ковариантной форме очевидно. Отметим, что по крайней мере для $\mu=0$ уравнения (1.92) решаются подстановкой $u=\cos \varphi, s=-\sin \varphi$, где $\varphi_{t}=E, r=0$, дающей
\[
\varphi_{x t}+\varphi_{t t}=-\alpha \sin \varphi .
\]

Отсюда получаем СГ-уравнение (1.10) заменой $\xi=\sqrt{\alpha}(t-2 x)$, $\eta=\sqrt{\alpha} t, \xi \rightarrow x, \eta \rightarrow t$. Поэтому решение (1.95) с необходимостью содержит решение СГ-уравнения (1.10).

Краткое сообщение о решении (1.95) появилось в начале 1973 г., а затем было опубликовано гораздо более подробное изложение [1.82]. Хирота [1.81] независимо опубликовал свое решение СГ-уравнения, также найденное прямыми методами, в конце 1972 г. АКНС опубликовали свое решение СГ-уравнения методом обратной задачи рассеяния в 1973 г. [1.98] и впоследствии в том же году дали обобщение $[1.44,1.45]$ схемы обратной задачи рассеяния Захєрова и Шабата [1.38, 1.109]. Уравнения РМБ (1.92) были решены этим методом в конце 1973 г. [1.133]. Применение уразнений РМБ в теории СИП описано, например, в [1.130]. Более подробно их приложения и каноническая структура рассматриваются в [1.64].

Наиболее естественным путем можно было бы, как теперь стало понятно, прийти к предложенной АКНС схеме обратной задачи рассеяния для СГ-уравнения, отправляясь от АПБ (1.38). Пусть $\Gamma=\operatorname{tg}\left[\left(u+u^{\prime}\right) / 4\right]$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{, x}=\frac{1}{2} u_{x}\left(1+\Gamma^{2}\right)+k \Gamma, \\
\Gamma_{, t}=k^{-1} \Gamma \cos u-(2 k)^{-1}\left(1-1^{\prime 2}\right) \sin u .
\end{array}
\]

Преобразование Риккати $\Gamma=v_{2} v_{1}^{-1}$ дает
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{l}
v_{1, x} \\
v_{2, x}
\end{array}\right)=\left\{\begin{array}{ll}
-\frac{1}{2} k & -\frac{1}{2} u_{x} \\
+\frac{1}{2} u_{x} & +\frac{1}{2} k
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right), \\
\left(\begin{array}{l}
v_{1, t} \\
v_{2, t}
\end{array}\right)=-\frac{1}{2 k}\left(\begin{array}{rr}
\cos u & \sin u \\
\sin u & -\cos u
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Именно такое сочетание задачи рассеяния и задачи Коши использовали $\mathrm{AKHC}$ для решения СГ-уравнения (1.11a) обратным методом (если $k$ в этих формулах рассматривать как собственное значение $k \equiv 2 i \zeta$ ). Затем АКНС обобщили свой метод $[1.39,1.40]$, распространив его на уравнения рассеяния и эволюционные уравнения вида
\[
\begin{array}{c}
\hat{L} v=\zeta v, \quad \hat{L}=\left(\begin{array}{cc}
i \partial / \partial x & -i q \\
i r & -\partial / \partial x
\end{array}\right), \\
\hat{A} v=v_{t}, \quad \hat{A}=\left(\begin{array}{rr}
A & B \\
C & -A
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где $A, B, C, q$ и $r$ выбираются так, чтобы при $\zeta_{t}=0$ выражение $\widehat{L}_{t}=[\hat{A}, \hat{L}]$ было требуемой парой эволюционных уравнений $q_{t}=K_{1}[q, r], r_{t}=K_{2}[q, r]$ (в которых $K_{i}[q, r]$ есть функционал от двух потенциалов $q, r$ ). Уравнения (1.101) и (1.100) сводятся к (1.99) и (1.98), если $k=2 i \zeta, r=-q=-u_{x} / 2$ и $A=$ $=(i / 4 \xi) \cos u, B=C=(i / 4 \xi) \sin u$. При симметрии $r=-q$ собственные значения связанных состояний неэрмитова оператора (1.100) лежат на мнимой оси $\zeta=i \eta(\eta>0)$ или располагаются парами ( $\zeta,-\zeta^{*}$ ) в верхней половине плоскости $\zeta$. В случае СГ-уравнения они связаны с $2 \pi$-кинками и бризерами соответственно. (Заметим, что, как мы и предчувствовали, в случае $q=r^{*}$, например, для уравнения $u_{x t}=\operatorname{sh} u$, оператор $L$ эрмитов и возможны лишь вещественные собственные значения. Тогда нет ни связанных состояний, ни солитонов, ни бризеров. Уравнение sh-Gordon обладает АПБ $[1.50,1.54]$, но у него нет солитонных решений даже несиотря на то, что $u=0$ есть решение.)

Мы не будем обсуждать обобщение АҚНС как таковое более подробно, поскольку Ньюэлл в гл. 6 излагает соответствующую теорию в целом. Стоит отметить, однако, что хотя операторы $\hat{A}$ и $\hat{L}$ удовлетворяют уравнению лаксовой пары типа (1.86b), но $\mathcal{L}$ здесь, как мы видели, в общем случае неэрмитов, тогда как $\hat{A}$ не обязательно кососимметричен, не является дифференциальным оператором и зависит от собственного значения ऍ. Тақим образом, если I) $[\hat{A}, L]=\hat{L}_{t}$, II) $\hat{L} v=\zeta v$, III) $\zeta_{t}=0$, то $L(A v-$ $\left.-v_{t}\right)=\zeta\left(A v-v_{t}\right)$ и $A v-v_{t}$ является собственной функцией, отвечающей $\zeta$, т. е. $\hat{A v}-v_{t}=\lambda(\zeta) v$, или $\lambda(\zeta)=0$. Легко убедиться, что $\zeta^{-1}$ в $A$ действует как интегральный оператор, вычислив $[\hat{L}, \hat{A}]$ из (1.98) и (1.99). Получится ${ }^{1}$ )
\[
\begin{aligned}
{[\hat{L}, \hat{A}] } & =-\frac{\sin u}{2 \zeta}\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}
\partial / \partial x & \frac{1}{2} u_{x} \\
\frac{1}{2} u_{x} & -\partial / \partial_{x}
\end{array}\right)= \\
& =\frac{i \sin u}{2}\left(\begin{array}{ll}
0 & 1 \\
1 & 0
\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{cc}
0 & \frac{1}{2} u_{x t} \\
\frac{1}{2} u_{x t} & 0
\end{array}\right)=\widehat{L}_{t} .
\end{aligned}
\]

С другой стороны, из (I), (II) п уравнения $\hat{A v}=v_{t}$ следует $\zeta_{t}=0$, и эта деформация является изоспектральной.

Тахтаджян и Фаддеев [1.134] нашли в 1974 г. схему обратной задачи рассеяния в виде настоящей лаксовой пары для СГ-уравнения (1.10). Использованная ими пара операторов -.это дифференциальные матричные операторы размера $4 \times 4$. Их сингулярный характер вызывает некоторые трудности [1.135]. Связь между данной схемой обратного метода и схемой (1.98), (1.99) установил Полмайер (см. с. 320 книги [1.141]). Для СГ-уравнения, содержащего массу $m$ и имеющего вид
\[
u_{x x}-u_{t t}=m^{2} \sin u,
\]

Тахтаджян и Фаддеев [1.134] получили замечательное выражение для гамильтоннана. Через безразмерную константу взаимодействия $\gamma_{0}$ оно записывается так:
\[
\begin{array}{l}
H=\sum_{i=1}^{L}\left(64 m^{2} \gamma_{0}^{-2}+p_{i}^{2}\right)^{1 / 2}+\sum_{j=1}^{M}\left(256 m^{2} \gamma_{0}^{-2} \sin ^{2} \theta_{j}+\hat{p}_{j}^{2}\right)^{1 / 2}+ \\
+ \int_{-\infty}^{+\infty} P(\zeta)\left[m^{2}+p^{2}(\xi)\right]^{1 / 2} d \xi .
\end{array}
\]

Этот прекрасный результат повторно выведен Фаддеевым в гл. 11. При его получении используется тот факт, что обратные
1) АҚНС использовали условие интегрируемости $v_{x t}=v_{t x}$, чтобы вывести (в покомпонентном представлении) выражение $[\hat{A}, \widehat{L}] v=\widehat{L}_{t} v$ (1). Очевидно, что лаксова форма $\widehat{L}_{t}=[\widehat{A}, \widehat{L}]$ (2) следует из него, если (1) справедливо при всех $v$ и форма (2) не зависит от $\zeta$. Рассуждения при выводе формулы (1.102), по-видимому, ставят вопрос о собственом векторе $v$, отвечающем значению $\zeta=0$. С другой стороны, если $\bar{A}$ есть полином от $\zeta$, то $\zeta$ действует как дифференциальный оператор, и то же самое справедливо для $\hat{\AA}$,
(и прямые) преобразования рассеяния являются каноническими. Мы впоследствии нашли аналогичное выражение для СГ-уравнения (1.11a) в конусных переменных и получили (1.105) из него [1.42], используя каноническую структуру, выведенную из задачи рассеяния $2 \times 2$ (1.98). В гл. 11 Фаддеев проводит соответствующие вычисления для СГ-уравнения (1.11a).

Заметим, что гамильтониан (1.104) опять же записан в переменных типа действие – угол. Его полуклассическое квантование нетрудно осуществить $[1.41,1.42]$, поскольку координаты, канонически сопряженные импульсам $p_{i}$ и $\hat{p}_{i}$, можно найти с помощью симплектической формы, қак указал Л. Д. Фаддеев. Полученный результат в точности совпадает с тем, который Дашен, Хасслахер и Невё (ДХН) [1.40] получили методами ВКБ, с учетом перенормировки константы взаимодействия $\gamma_{0}$. В частности, дискретный спектр бризера принимает вид
\[
M_{n}=\frac{16 m}{\gamma_{0}} \sin \frac{n \gamma_{0}}{16}, \quad n=1, \ldots, N,
\]

где $N$ есть наибольшее целое число, не превышающее $8 \pi \gamma_{0}^{-1}$. Корепин и Фаддеев [1.41] исследовали поправки первого порядка к $\gamma_{0}$ и обнаружили, что они согласуются с найденными ДХН [1.40]. Важный результат (1.105) также согласуется с собственными значениями связанных состояний $S$-матрицы квантованного СГ-уравнения [1.71, 1.95].

Заметим, что каждая «частица», солитон, бризер или мода $\xi$ (независимо от того, квантованны они или нет) вносит в (1.104) такой же вклад, какой внесла бы свободная релятивистская частица подходящей массы: эти массы равны $8 m \gamma_{0}^{-1}$ для кинка, $16 m \gamma_{0}^{-1} \sin \theta$ для бризера и $m$ для каждой моды $\xi$. Они согласуются с вычисленными ранее (см. формулу (1.30) и относящиеся к ней рассуждения), но теперь зависят от константы взаимодействия $\gamma_{0}$ и от массы поля $m$ (константа взаимодействия $\gamma_{0}$ не имеет отношения к лоренцевым множителям $\gamma_{1}, \gamma_{2}$ и т. д.). Можно выразить гамильтониан ковариантного СГ-уравнения в виде (1.104) с помощью линеаризованного дисперсионного соотношения $\omega^{2}=m^{2}+k^{2}$ уравнения (1.103). Сходным образом гамильтониан модифицированного уравнения КдФ (1.78) определяется законом движения, в котором энергия кубически зависит от импульса [1.42]; это представляется менее физически осмысленным, чем (1.104). Неясно, всегда ли можно найти такие переменные, чтобы солитоны и бризеры удовлетворяли соотношению между энергией и импульсом, характерному для линеаризованного уравнения; уэавнения РМБ, по-видимому, являются примером случая, когда это невозможно [1.64].

Ли [1.136] недавно подчеркнул роль, которую играет константа взаимодействия $\gamma_{0}$ в нелинейных теориях поля. Рассмотрим плотность лагранжиана
\[
\mathscr{L}=\frac{1}{2} v_{t}^{2}-\frac{1}{2} v_{\Sigma}^{2}-\frac{m^{2}}{\beta^{2}} \mathscr{V}\left(\beta^{2} v^{2}\right) .
\]

Тогда справедливы следующие утверждения.
I) Так как мы предполагаем, что
\[
\frac{m^{2}}{\beta^{2}} \mathscr{V}\left(\beta^{2} v^{2}\right)=\frac{1}{2} m^{2} v^{2}+O\left(\beta^{2} v^{4}\right)+O\left(\beta^{4} v^{6}\right)+\ldots
\]

и так как только решения, завлсящие от аргумента $(x-V t)$, являются гармоническими волнами в линейной теории, то никаких уединенных волн нельзя построить из этих диспергирующих линеаризованных волн, и решения уравнений движения (1.106) типа уединенной волны будут сингулярными по $\beta$.
II) Эта сингулярность имеет характер простого полюса. Действительно, пусть $\gamma_{0} \equiv \beta^{2}$ и $\beta v \equiv u$. Тогда
\[
\mathscr{L}=\gamma_{0}^{-1}\left[\frac{1}{2} u_{t}^{2}-\frac{1}{2} u_{x}^{2}-m^{2} \mathscr{V}\left(u^{2}\right)\right],
\]

и $\gamma_{0}$ не входит в уравнения движения для $и$ (вычислите лагранжевы уравнения движения).
III) Поскольку квантовомеханическое действие есть $\hbar^{-1}$, умноженное на классическое действие, то $\gamma_{0}$ играет роль $\hbar$ в любой квантованной теории. Энергия покоя $E_{\text {класс для уединенной }}$ волны пропорциональна $\gamma_{0}^{-1}$,
\[
E_{\text {квант }}=E_{\text {класс }}+O\left(\gamma_{0}^{0}\right)+O\left(\gamma_{0}^{1}\right)+\ldots
\]
IV) 3 десь $\gamma_{0}$ играет роль $\hbar$, так как канонический импульс в силу (1.106) есть $\pi(x, t) \equiv \delta \mathscr{L} / \delta u_{t}=\gamma_{0}^{-1} u_{t}$, скобки Пуассона имеют вид
\[
\{u(x, t), \pi(y, t)\}=\delta(x-y)
\]

а каноническое квантование осуществляется посредством коммутатора
\[
\left[u(x, t), u_{t}(y, t)\right]=i \gamma_{0} \delta(x-y) .
\]

Заметим, что из I) и II) следуег, что уединенные волны невозможно получить посредством теории возмущений (относительно линейной теории). Результаты Ли так же приложимы к четырехмерному пространству Минковского (размерностью $3+1$ ), как и к пространству с $1+1$ измерениями, и не ограничены солитонами, определенными в разд. 1.1. В пространстве с размерностью $1+1$ масса уединенной волны $M$ есть просто (согласно (1.108))
\[
M=\frac{m}{\gamma_{0}} \int_{u_{1}}^{u_{2}} \sqrt{2 V\left(u^{2}\right)} d u,
\]

где $u_{1}$ и $u_{2}$ – последовательные нули функции $V\left(u^{2}\right)$. Для $2 \pi$ кинка СГ-уравнения $V\left(u^{2}\right)=(1-\cos u)$, и $M=8 m \gamma_{0}^{-1}$ в соответствии с (1.104).

Результат (1.104), имеющи форму гамильтониана свободной частицы, позволяет рассматривать СГ-уравнения в качестве модельной системы как в классической статистической механике, так и в квантовой теории поля. Заметим, однако, что конкретный вид (1.104) зависит от начальных данных: число кинков $L$, бризеров $M$ и занятость состояний импульса $P(\xi)$ должны быть вычислены по начальным данным $u(x, 0)$ и $u_{t}(x, 0)$ для СГ-уравнения (1.10). $P(\xi)$ входит прежде всего как канонический импульс, связанный с модой, обозначенной посредством величины $\xi$, и именно так нам приходится его трактовать (см. [1.221]). При этом моды, обозначенные посредством $\xi$, не описываются теорией квантованного уравнения sine-Gordon. Их роль, очевидно, берут на себя бризеры. Мы рекомендуем читателю ознакомиться со статьями в [1.137], где описаны некоторые приложения теории солитонов в физике твердого тела. Там помещено исследование Бишопа по статистической механике СГ-уравнения. В гл. 12 Лютер устанавливает связи известной в статистической механике $X Y Z$-модели со спином $1 / 2$ [1.138] с массивной моделью Латтиндера, а также (пользуясь своей моделью рассеяния в обратном направлении [1.139]) с массивной моделью Тирринга (МT) и с квантованным СГ-уравнением. Эти связи позволили ему вычислить собственные значения бризера (1.105) «точно».

Замечательно, что вычисление $S$-матрицы (которое предполагает (I) бесконечное число законов сохранения и, следовательно, разложимость $S$-матрицы в произведение двухчастичных $S$-матриц, (II) перекрестную сииметрию, (III) унитарность, (IV) определенное аналитическое поведение) дает собственные значения (1.105) связанных состояний. Уравнение движения для СГ-уравнения не используется $[1.71,1.95]$. Результат, по-видимому, основан на предположенни, что существование двух полиномиальных сохраняющихся плотностей $T^{2}$ и $T^{4}$ для нелинейного уравнения Клейна – Гордона (1.37) означает, что оно является уравнением sine-Gordon (sh-Gordon), как отмечалось в разд. 1.3 (рядом с формулой (1.60)). Однако рассуждения проводятся в рамках массивной модели Тирринга [1.95], причем налагаются следующие условия: существование области взаимодействия, для которой нет связанных состояний (свойство $M \mathrm{~T} \triangleq$ СГ-модели), $U(1)$ симметрия двухчастичной $S$-матрицы и условие минимальности (отсутствие излишних полюсов и нулей в физическом листе для амплитуд прохождения). Не доказано также, что полученная в результате единственно возможная $S$-матрица есть $S$-матрица $M \mathrm{~T} \equiv \mathrm{C \Gamma}$-модели.

Рассуждения, с помошью которых из АПБ вида (1.38) были получены задача рассеяния вида (1.100) и задача Коши вида (1.101), Полмайер [1.86] обобщил на классические нелинейные $\sigma$-модели в пространстве с размерностью $1+1$. Это лоренц-ковариантные уравнения

с ограничением
\[
\begin{array}{c}
\mathbf{q}_{t t}-\mathbf{q}_{x x}-\lambda \mathbf{q}=0 \\
\mathbf{q}^{2}=1 .
\end{array}
\]

Ограничение определяет множитель Лагранжа $\lambda(x, t)=-$ $-\left(\mathbf{q}_{t}^{2}-\mathbf{q}_{x}^{2}\right)$. Мы предполагаем, что $\mathbf{q}=\left(q_{1}, \ldots, q_{n}\right)$ состоит из $n$ скалярных полей. Эти $n$ уравнений с ограничением (1.112b) инвариантны относительно группы $O_{n}$. Полмайер построил АПБ для (1.112) и вывел из него бесконечный набор сохраняющихся плотностей (заметим, что в разд. 1.2 мы использовали для нахождения сохраняющихся плотностей ПБ, а не АПБ; однако Вадати [1.140] показал, как для этой цели можно применить АПБ). В случае $n \leqslant 6$ Полмайер нашел линейную задачу на собственные значения, соответствующую (1.100), и изоспектральную эволюцию, соответствующую (1.101). Полмайер осуществил линеаризацию системы (1.112) при произвольном $n$ с помощью алгебр Қлиффорда и найденной Левиным линеаризации матричных уравнений Риккати. Уравнения (1.112) в конусных координатах инвариантны относительно локальных масштабных преобразований [1.86, 1.141, с. $339-335]$ и не имеют солитонных решений. Однако при нарушении масштабной инвариантности такие решения могут появиться. В частности, при $n=3$ ( O $_{3}$-инвариантная модель) эта система включает уравнение sine-Gordon, имеющее солитонные решения с конечной энергией (кинки).

В конусных переменных $\xi=(t+x) / 2, \eta=(t-x) / 2$ рассматриваемое уравнение при $n=3$ имеет вид
\[
\frac{\partial^{2} \mathbf{q}}{\partial \eta \partial \xi}+\left(\frac{\partial \mathbf{q}}{\partial \eta} \cdot \frac{\partial \mathbf{q}}{\partial \xi}\right) \mathbf{q}=0, \quad \mathbf{q}=\left(q_{1}, q_{2}, q_{3}\right) .
\]

Сохранение энергии и импульса означает, что
\[
\frac{\partial}{\partial \xi} \mathbf{q}_{\eta}^{2}=\frac{\partial}{\partial \eta} \mathbf{q}_{\xi}^{2}=0
\]

и масштабную инвариантность можно нарушить, деформировав обе конусные переменные таким образом, чтобы $\mathbf{q}_{\eta}^{2}$ и $\mathbf{q}_{\xi}^{2}$ отвечали условно нормировки
\[
\mathbf{q}_{n}^{2}=\mathbf{q}_{\stackrel{2}{2}}^{2}=1 .
\]

Введем теперь локальную сястему координат $\mathbf{q}, \mathbf{q}_{\xi}, \mathbf{q}_{\eta}$ так, чтобы q было ортогонально $q_{\xi}$ и $q_{\eta}$, но $q_{\xi}$ и $\mathbf{q}_{\eta}$ образовывали отличный от прямого угол:
\[
\mathbf{q}_{\eta} \cdot \mathbf{q}_{\mathbf{s}}=\cos u .
\]

Из уравнения (1.113), условия нормировки (1.115) и определения (1.116) получим
\[
\frac{\partial^{2} u}{\partial \eta \partial \xi}=-\sin u
\]
(знак минус получился вследствие выбора $\eta=(t-x) / 2$ вместо $(x-t) / 2)$.

Полмайер $[1.86,1.141$, с. $339-355]$ линеаризовал систему (1.112) (т. е. нашел спектральные преобразования) для случаев $n \leqslant 6$ и при $n=4$, нарушив масштабную инвариантность согласно (1.115), получил уравнения движения в двух полях $\alpha, \beta$
\[
\begin{array}{c}
\alpha_{\xi \eta}+\sin \alpha+\frac{\operatorname{ctg}^{2} \alpha / 2}{\sin \alpha} \beta_{\xi} \beta_{\eta}=0, \\
\beta_{\xi \eta}=\frac{\beta_{\xi} \alpha_{\eta}+\alpha_{\xi} \beta_{\eta}}{\sin \alpha} .
\end{array}
\]

Они сводятся к СГ-уравнению (1.117) при $\beta \equiv 0$. Полмайер [1.86] заметил, что уравнения (1.118) суть условия погружения двумерной поверхности в трехмерную сферу, в свою очередь погруженную в четырехмерное евклидово пространство. Лунд [1.48] независимо получил те же самые уравнения движения, исходя из именно этой точки зрения.

Поскольку его рассуждения создают геометрическую основу спектральных преобразований в рассмотренном им случае, мы здесь еще немного коснемся этого вопроса. Наши краткие замечания следуют обзору Лунда [1.142], и там читатель может найти подробности.

Рассмотрим задачу о погружении $n$-мерной поверхности $V_{n}$ в $(n+1)$-мерное евклидово пространство $E$ :
\[
\begin{aligned}
E & =x^{i} \quad(i=1,2, \ldots, n+1), \\
V_{n} & =y^{\mu} \quad(\mu=1,2, \ldots, r) .
\end{aligned}
\]

На $V_{n}$ задана метрика $d s^{2}=g_{\mu v} d y^{\mu} d y^{v}$. Погружение является изометрическим (сохраняет тензорные произведения), если $V_{n}$ можно так определить формулой
\[
x^{i}=x^{i}\left(y^{1}, \ldots, y^{n}\right),
\]

что $g_{\mu
u}=\left(\partial x^{i} / \partial y^{\mu}\right)\left(\partial x^{i} / \partial y^{v}\right)$. Векторы $X_{\mu}$, лежащие в пространстве, касательном к $V_{n}$, и нормаль к поверхности, $X_{n+1}$, определяют базис в $E, X_{\mu} \equiv \partial x / \partial y^{\mu}, \quad X_{n+1}$. Выражение векторов $\partial X_{\mu} / \partial y^{v}, \partial X_{n+1} / \partial y^{v}$ через этот базис образует линейную систему уравнений Гаусса – Вайнгартена [1.143]. Условия интегрируемости $\partial^{2} X / \partial y^{v} \partial y^{\sigma}=\partial^{2} X / \partial y^{\sigma} \partial y^{v}$ (для всех пар $y^{\sigma}, y^{v}$ ) приводят к нелинейной системе уравнений Гаусса – Кодацци [1.144].

Для двумерной поверхности с некоторой конкретной іметрикой, погружаемой в трехмерноє евклидово пространство, Лунд $[1.48,1.142]$ нашел уравнения Гаусса – Қодацци, эквивалентные $(1.118)^{1}$ ) и имеющие вид
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial \xi}\left(\operatorname{ctg}^{2} \theta \lambda_{\eta}\right)+\frac{\partial}{\partial \eta}\left(\operatorname{ctg}^{2} \theta \lambda_{\xi}\right)=0, \\
\theta_{\xi \eta}-\frac{1}{2} \sin 2 \theta-\frac{\cos \theta}{\sin ^{3} \theta} \lambda_{\xi} \lambda_{\eta}=0
\end{array}
\]
(из сравнения с (1.118) очевидно, что $\theta=\alpha / 2, \lambda=2 \beta$ и $\eta=$ $=(x-t) / 2)$. Соответствующая система Гаусса – Вайнгартена есть
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{l}
v_{1, \beta} \\
v_{2, \eta}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
-i \zeta+i p & q \\
-q^{*} & i \zeta-i p
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right), \\
\left(\begin{array}{l}
v_{1, \eta} \\
v_{2, \eta}
\end{array}\right)=i\left(\begin{array}{rr}
r & s \\
s & -r
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
v_{1} \\
v_{2}
\end{array}\right) ;
\end{array}
\]

здесь $p=\left[(\cos 2 \theta) / 2 \sin ^{2} \theta\right] \lambda_{\xi}, q=-\theta_{\xi}+i \operatorname{ctg} \lambda_{\xi}, r=(1 / 4 \zeta) \times$ $\times \cos 2 \theta-\left(\sin ^{2} \theta\right)^{-1} \lambda_{\eta}, \quad s=(1 / 4 \zeta) \sin 2 \theta$. Собственное значение было введено с учетом инвариантности (1.121) относительно преобразования Ли (что эквивалентно инвариантности Лоренца – сравните введение этого собственного значения с собственным значением $\lambda$, введенным в (1.80) посредством инвариантности Галилея). Условия (1.121) достаточны и необходимы для интегрируемости (1.122). Задача рассеяния и временная эволюция (1.122), однако, те же, что и в обобщенной схеме АКНС (1.100), (1.101). Насколько нам известно, результаты, сходные с результатами Лунда и Полмайера, получил также Тахтаджян [1.144].

Рассуждения Лунда [1.142] создают хорошее геометрическое обоснование схемы обратной задачи рассеяния для СГ-уравнений (1.10) или (1.11) и ее обобщения на случай двух полей $\theta, \lambda$, т. е. схемы (1.121). Они показывают, как СГ-уравнения возникают в первую очередь в дифференциальной геометрии [1.42]; мы уже отмечали это в разд. 1.2. Лэм [1.145] и Лакшманан [1.146] различными путями геометрически обосновали метод обратной задачи рассеяния, а недавно (1979) Сасаки [1.147] показал, что все системы АКНС представляют поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Его доказательство кратко и элегантно, и поэтому мы приводим его здесь.
1) Необходимо еще одно условие. См. объяснение в «Замечании при корректуре», помещенном в конце книги.

Уравнения рассеяния и временной эволюции АКНС ((1.100) и (1.101)) эквивалентны полностью интегрируемой системе Пфаффа, которую можно выразить в виде
\[
d v-\Omega v=0, \quad \operatorname{Tr}\{\Omega\}=0
\]

где $\Omega$ есть $2 \times 2$-матрица 1 -форм. Условием интегрируемости служит
\[
0=d^{2} v=d \Omega v-\Omega \wedge d v=(d \Omega-\Omega \wedge \Omega) v,
\]

так что нелинейные эволюционные уравнения $\hat{L}, t=[\hat{A}, \hat{L}]$ эквивалентны обращению в нуль 2-форм
\[
\Theta=d \Omega-\Omega \wedge \Omega, \text { т. е. } \Theta=0 .
\]

Для дифференциальных $n$-форм мы используем символ внешнего произведения « $\wedge$ ». Превосходная книга для справок по теории дифференциальных форм – это [1.148].

Легко видеть, что $\Omega$ определена неоднозначно. Эта форма инвариантна относительно «калибровочного преобразования»
\[
\begin{array}{l}
v \rightarrow v^{\prime}=B v, \\
\Omega \rightarrow \Omega^{\prime}=d B B^{-1}+B \Omega B^{-1}, \\
\Theta \rightarrow \Theta^{\prime}=B \Theta B^{-1},
\end{array}
\]

где $B$-произвольная $2 \times 2$-матрица, определитель которой равен единице.

Сравним (1.125) с результатом, выводимым для псевдосферических поверхностей. Для них можно ввести (в трехмерном пространстве) локальный ортонормированный базис на касательной плоскости в любой точке $P$ поверхности. Этот базис натянут на два вектора, скажем, $\mathbf{e}_{1}$ и $\mathbf{e}_{2}$, и их всегда можно выбрать так, чтобы
\[
\mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}_{j}=\delta_{i j} .
\]
«Структурные уравнения» суть (см. Фландерс [1.148])
\[
\begin{array}{l}
d P=\sigma^{\prime} \mathbf{e}_{1}+\sigma^{2} \mathbf{e}_{2}, \\
d \mathbf{e}_{1}=\omega \mathbf{e}_{2}, \\
d \mathbf{e}_{2}=-\omega \mathbf{e}_{1},
\end{array}
\]

причем $\sigma^{1}$ и $\sigma^{2}$-это 1-формы, $\omega$ есть связывающая 1-форма. Первое уравнение (1.126a) утверждает, что $P$ лежит на поверхности; два оставшихся уравнения следуют из (1.127).

Условие интегрируемости в этом случае есть $d^{2} P=0$, и из него следует
\[
\begin{array}{l}
d \sigma^{1}=\omega \sigma^{2}, \\
d \sigma^{2}=-\omega \sigma^{1} .
\end{array}
\]

Гауссова кривизна $K$ определяется [1.128] уравнением
\[
d \omega=-K \sigma_{\wedge}^{1} \sigma^{2} .
\]

Для $K$, в точности равного -1 , выбор
\[
\Omega \equiv\left(\begin{array}{ll}
-\frac{1}{2} \sigma^{2} & \frac{1}{2}(\omega+\sigma)^{1} \\
\frac{1}{2}\left(-\omega+\sigma^{1}\right) & \frac{1}{2} \sigma^{2}
\end{array}\right)
\]
(например) удовлетворяет (1.125) точно.
Теперь понятно, что каждая система АКНС может быть представлена как поверхность с постоянной отрицательной кривизной относительно некоторой метрики ${ }^{1}$ ). Эта метрика задается условием
\[
d s^{2}=\left(\sigma^{\prime}\right)^{2}+\left(\sigma^{2}\right)^{2} .
\]

Известно [1.149], что поверхности постоянной кривизны обладают максимальным числом изометрий (отображений псевдосферических поверхностей в себя, сохраняющих расстояние (т. е. тензорные произведения)). Для 2 -поверхностей с постоянной отрицательной кривизной группы изометрий суть $\operatorname{SL}(2, R)$ и $\mathrm{SU}(1,1)$. Это объясняет, например, появление алгебр Ли этих групп в структурах продолження систем АКНС [1.150].

С этой точки зрения АПБ есть калибровочное преобразование (1.126), переводящее одну псевдосферическую поверхность в другую, и для него можно получить общую форму, пригодную для всех систем АКНС. Сохраняющиеся плотности, которые мы сейчас выведем в явном виде, суть в точности сохраняющиеся плотности системы АКНС, получаемые разложением относительно бесконечно удаленной точки в плоскости $\zeta$ [1.69], но их набор может быть еще болєе полным. Чтобы проиллюстрировать эти идеи, мы получим сохраняющиеся плотности для СГ-уравнения и покажем, как их дополнить в этом случае.

Из $\Theta=0$ всегда можно определить две полностью интегрируемые системы Пфаффа
\[
\begin{array}{c}
0=\gamma_{1} \equiv d \Gamma_{1}-\omega_{3}-2 \Gamma_{1} \omega_{1}-\Gamma_{1}^{2} \omega_{2}, \\
0=\gamma_{2} \equiv d \Gamma_{3}-\omega_{2}-2 \Gamma_{2} \omega_{1}+\Gamma_{1}^{2} \omega_{2}, \\
\Omega=\left(\begin{array}{rr}
\omega_{1} & \omega_{2} \\
\omega_{3}-\omega_{1}
\end{array}\right),
\end{array}
\]

где
а $\Gamma_{i}$ суть две неизвестные функции. Из уравнения $\Theta=0$ получим
\[
\begin{array}{l}
d \gamma_{1}=2 \gamma_{1}\left(\omega_{1}+\Gamma_{1} \omega_{2}\right), \\
d \gamma_{2}=-2 \gamma_{2}\left(\omega_{1}-\Gamma_{2}\left(\omega_{3}\right),\right.
\end{array}
\]
i) См. примечание на с. 54 ,

а из условий замкнутости $d^{2} \gamma_{1}=d^{2} \gamma_{2}=0$ следует, что 1 -формы
\[
\begin{array}{l}
\delta_{1} \equiv \omega_{1}+\Gamma_{1} \omega_{2} \\
\delta_{2} \equiv \omega_{1}-\Gamma_{2} \omega_{3}
\end{array}
\]

замкнуты, т. е.
\[
d \delta_{1}=d \delta_{2}=0 \text {. }
\]

Эти выражения являются законами сохранения, но поскольку каждое из них зависит от $\zeta$, то каждое представляет бесконечный набор нетривиальных законов сохранения.
Из $(1.98,1.99)$ видно, что для СГ-уравнения нужно выбрать
\[
\begin{array}{l}
\omega_{1}=-\frac{1}{2} k d x-\frac{1}{2 k} \cos u d t, \\
\omega_{2}=\frac{1}{2} u_{x} d x-\frac{1}{2 k} \sin u d t, \\
\omega_{3}=-\frac{1}{2} u_{x} d x-\frac{1}{2 k} \sin u d t,
\end{array}
\]

где $k$ есть вещественный параметр. Отсюда легко получить, например, что система Пфаффа (1.132b) в точности эквивалентна (1.97). (Система (1.132a) соответствует выбору $\Gamma_{1}=v_{1} / v_{2}$.) Хотя сохраняющиеся плотности (1.54) сравнительно просто получить этим способом, удобно найти путь, который к тому же выделяет набор (1.59). Чтобы это сделать (как указал нам Сасаки), можно выбрать для $\Omega$ следующее выражение:
\[
\left(\begin{array}{ll}
\frac{1}{4}\left(u_{x} d x-u_{t} d t\right) & \frac{1}{2} \eta e^{i u 2 \eta} d x+\frac{1}{2 \eta} e^{i u / 2} d t \\
\frac{1}{2} \eta e^{i u / 2} d x+\frac{1}{2} e^{-i u / 2 \eta} d t & -\frac{i}{4}\left(u_{x} d x-u_{t} d t\right)
\end{array}\right) .
\]

Его нужно отождествить с выражением
\[
\Omega=\left(\begin{array}{ll}
\frac{1}{2} \omega & \frac{1}{2}\left(\sigma^{1}-i \sigma^{2}\right) \\
\frac{1}{2}\left(\sigma^{1}+i \sigma^{2}\right) & -\frac{i}{2} \omega
\end{array}\right),
\]

где
\[
\begin{aligned}
\sigma^{1} & =\cos \frac{u}{2}(d x+d t), \\
\sigma^{2} & =\sin \frac{n}{2}(d x-d t), \\
\omega & =\frac{1}{2}\left(u_{x} d x-u_{t} d t\right),
\end{aligned}
\]

после чего провести масштабное преобразование $x \rightarrow \eta x, t \rightarrow \eta^{-1} t$. В результате метрика задается выражением
\[
d s^{2}=\eta^{2}(d x)^{2}+2 \cos u d x d t+\eta^{-2}(d t)^{2},
\]

что совпадает с метрикой для случая (1.135) (при $\eta \equiv k$ ).

Теперь оказывается, что сохраняющиеся плотности суть комплексно-сопряженные величины $\delta_{1}^{*}=\delta_{2}$, и нам нужно рассмотреть лишь одну из них. Уравнение Риккати есть
\[
0=d \Gamma-\omega_{3}+2 \Gamma \omega_{1}+\Gamma^{2} \omega_{2},
\]

так что
\[
\begin{array}{l}
\Gamma_{t}-\frac{1}{2 \eta} e^{-i u / 2}-\frac{i}{2} u_{t}+\frac{1}{2 \eta} e^{i u / 2}=0, \\
\Gamma_{x}-\frac{1}{2} \eta e^{i u / 2}+\frac{1}{2} u_{x} \Gamma+\frac{1}{2} \eta e^{-i u / 2} \Gamma^{2}=0 .
\end{array}
\]

Эти уравнения инвариантны относительно преобразований
\[
t \leftrightarrow x, \quad u \leftrightarrow-u, \quad \eta \leftrightarrow \eta^{-1} .
\]

Их можно решить любым из двух разложений:
\[
\Gamma=\sum_{k=0}^{\infty} \eta^{-k} \gamma_{k}
\]

для (1.141b) или
\[
\Gamma=\sum_{k=0}^{\infty} \eta^{k} \tilde{\gamma}_{k}
\]

для (1.141а). В силу симметрии, если $\gamma_{k}=f_{k}\left(u, u_{x}, \ldots\right)$, то $\tilde{\gamma}_{k}=f_{k}\left(u, u_{t}, \ldots\right)$. Простейшая рекурсивная формула получится, если взять
\[
\gamma_{0}=-e^{i u / 2}, \quad \gamma_{1}=-i e^{i u / 2} u_{x}
\]

и определить $\xi_{k}$ следующим образом:
\[
\xi_{k}=e^{-i u / 2} \gamma_{k}
\]

Тогда из (1.14lb) получим
\[
\begin{array}{c}
\xi_{k}=\left(\xi_{k-1}\right)_{x}+\frac{1}{2} \sum_{l=2}^{k-2} \xi_{k-l} \xi_{l} \quad(k \geqslant 3), \\
\xi_{0}=-1, \quad \xi_{1}=-i u_{x}, \quad \xi_{2}=M \equiv \frac{1}{2} u_{x}^{2}-i u_{x x} .
\end{array}
\]

Далее
\[
\begin{array}{l}
\delta=\omega_{1}+\Gamma \omega_{2}=\omega_{1}+\left(\sum_{k=0}^{\infty} \eta^{-k} e^{i u / 2} \xi_{k}\right) \omega_{2}, \\
\delta=-\frac{1}{2} \eta^{1} d x-\frac{1}{4} \eta^{\uparrow} d u+\frac{1}{2} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\xi_{k+1} d x+e^{i u \xi_{k-1}} d t\right) \eta^{-k},
\end{array}
\]

и $\operatorname{Re}\left\{\xi_{k+1}\right\}$ суть вещественные сохраняющиеся плотности. Отсюда $\xi_{0}=-1, \xi_{1}=-i u_{x}, \xi_{2}=M, \xi_{3}=M_{x}, \xi_{4}=M_{x x}+\frac{1}{2} M^{2}, \xi_{5}=$ $=M_{x x x}+\left(M^{2}\right)_{x}, \ldots$.

Сравнение с (1.54) показывает, что после отбрасывания полных производных
\[
\operatorname{Re}\left\{\xi_{2}\right\}=T^{2}, \quad \operatorname{Re}\left(\xi_{2}\right\}=-T^{4}, \ldots .
\]

Заметим, что этим способом порождаются в точности «канонические» формы $T^{2}$ и $T^{4}$ и что дополнительные полные производные получаются в явном виде как таковые.

Трансцендентные сохраняющиеся плотности (1.59) теперь выводятся из (1.143a), (1.141a) и определения

В силу (1.42)
\[
\tilde{\xi}_{k}=\tilde{\gamma}_{k} e^{-i u / 2} \text {. }
\]
\[
\tilde{\xi}_{k}=\xi_{k}\left(u \rightarrow-u, u_{x} \rightarrow-u_{t}, \ldots\right),
\]

и сравнение с (1.46) показывает, что плотности (1.59) имеют вид $\operatorname{Re}\left\{\exp (-i u) \tilde{\xi}_{k-1}\right\}$.

Можно также перейти к разложениям (1.143) и применить (1.143b) к (1.141b). Важные комплексные плотности появятся в такой последовательности:
\[
\begin{aligned}
\mathscr{T}^{2}= & e^{-i u}, \quad \mathscr{T}^{3}=i e^{-i u} \int_{-\infty}^{x} \sin u d x^{\prime}, \\
\mathscr{T}^{4}= & -i e^{-i u} \int_{-\infty}^{x} e^{-i u} \int_{-\infty}^{x^{\prime}} \sin u d x^{\prime \prime} d x^{\prime}, \\
\mathscr{T}^{5}= & i e^{-i u} \int_{-\infty}^{x} e^{-i u} \int_{-\infty}^{x^{\prime}} e^{-i u} \int_{-\infty}^{x^{\prime \prime}} \sin u d x^{\prime \prime \prime} d x^{\prime \prime} d x^{\prime}+ \\
& +\frac{1}{2} e^{-i u} \int_{-\infty}^{x} e^{-i u}\left(\int_{-\infty}^{x} \sin u d x^{\prime \prime}\right)^{2} d x, \\
\mathscr{T}^{6}= & \ldots
\end{aligned}
\]

Для СГ-уравнения легко проверить, что

получим
\[
\begin{array}{l}
\mathscr{T}^{2}{ }_{t}-\left(\mathscr{T}^{4} e^{i u}\right)_{x}=0, \\
\mathscr{T}^{3}{ }_{, t}-\left(\mathscr{T}^{-5} e^{i u}\right)_{x}=0 ;
\end{array}
\]
\[
\mathscr{T}_{. t}^{n}-\left(\mathscr{T}^{n+2} e^{i u}\right)_{x}=0,
\]

так что потоки суть $\mathscr{T}^{n+2} e^{i u}$.
Соответствующие плотности имеют вид
\[
\begin{aligned}
\operatorname{Re}\left\{\mathscr{T}^{2}\right\} & =\cos u, \quad \operatorname{Re}\left\{\mathscr{T}^{4}\right\}=-\sin u \int_{-\infty}^{x} \cos u \int_{-\infty}^{x^{\prime}} \sin u d x^{\prime \prime} d x^{\prime}- \\
& -\cos u \int_{-\infty}^{x} \sin u \int_{-\infty}^{x^{\prime}} \sin u d x^{\prime \prime} d x^{\prime}, \quad \operatorname{Re}\left\{\mathscr{T}^{6}\right\}=\ldots
\end{aligned}
\]

Они являются нелокальными и рассматриваемые как плотности гамильтонианов несомненно дают уравнения движения с решеннями типа кинков и правильные линеаризованные дисперсионные соотношения (см. [1.42], [1.69] и примечание на стр. 31). Осложнение вызывается требованием финитности проинтегрированных плотностей гамильтониана, т. е. самих гамильтонианов. Эти и другие подробности читатель может найти в пятой и шестой работах из перечисленғых в списке источников [1.147]. Некоторые другие геометрические результаты, относящиеся к системам АКНС, также упомянуты там и в других включенных в этот список работах. Заметим, что для СГ-уравнения $\mathscr{T}^{4}=-\left[u_{t t} \sin u+\left(u_{t}^{2} \cos u\right) / 2\right]$ это выражение превращается в $\left(u_{t}^{2} \cos u\right) / 2$ после прибавления полной производной по $t$. Очевидно, что для СГ-уравнения последовательность (1.153) вновь порождает (1.59), как это и должно быть.