Қвадраты собственных функций $E_{-}$удовлетворяют уравнениям
\[
\begin{array}{c}
(L-\zeta)(\Psi, \bar{\Psi})=0, \zeta \text { вещественное или } \zeta=\left(\zeta_{k}, \bar{\zeta}_{k}\right), \\
(L-\zeta)\left(\tau_{k}, \bar{\tau}_{k}\right)=\left(\Psi_{k}, \bar{\Psi}_{k}\right), \zeta=\left(\zeta_{k}, \bar{\zeta}_{k}\right), \\
L=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{c}
-\frac{\partial}{\partial x}-2 q \int_{x}^{\infty} d y r-2 q \int_{x}^{\infty} d y q \\
2 r \int_{x}^{\infty} d y r \quad \frac{\partial}{\partial x}+2 r \int_{x}^{\infty} d y q
\end{array}\right) .
\end{array}
\]

Эти выражения находятся непосредственно из (6.16) после умножения двух уравнений на $\psi_{1}, \psi_{2}$ соответственно. При этом используется соотношение $\psi_{1} \psi_{2}=-\int_{x}^{\infty}\left(q \psi_{2}^{2}+r \psi_{1}^{2}\right) d x$. Оказывается, что квадраты двойственных собственных функций $E_{+}$ удовлетворяют сопряженным уравнениям
\[
\begin{array}{c}
\left(L^{A}-\zeta\right)\left(\Psi^{A}, \bar{\Psi}^{A}\right)=0, \zeta=\left(\zeta_{k}, \bar{\zeta}_{k}\right), \zeta \text { вещественное } \\
\left(L^{A}-\zeta\right)\left(\chi_{k}^{A}, \bar{\chi}_{k}^{A}\right)=\left(\Psi_{k}^{A}, \bar{\Psi}_{k}^{A}\right), \zeta=\left(\zeta_{k}, \bar{\zeta}_{k}\right),
\end{array}
\]

где
\[
L^{A}=\frac{1}{2 i}\left(\begin{array}{cc}
\frac{\partial}{\partial x}-2 r \int_{-\infty}^{x} d y q & 2 r \int_{-\infty}^{x} d y r \\
-2 q \int_{-\infty}^{x} d y q & -\frac{\partial}{\partial x}+2 q \int_{-\infty}^{x} d y r
\end{array}\right)
\]

Используя эти уравнения, можно вычислить различные внутренние произведения вида
\[
\langle\mathbf{u}, \mathbf{v}\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} d x
\]

собственных функций $E_{-}$и собственных функций $E_{+}$. Соответствующие результаты приведены в приложении А. После получения этих выражений соотношения (6.35) – (6.40) и (6.42)(6.47) могут быть обращены. Это дает выражения для $(\delta r,-\delta q)^{T}$ и $(\delta q, \delta r)^{T}$ через $E_{+}$и $E_{-}$соответственно.

Доказательство того, что $E_{+}$и $E_{-}$образуют базис в пересечении $L^{(1)}$ и всех непрерывно дифференцируемых функций, было получено Каупом [6.64]. До сих пор не доказано, что каждое из этих множеств по отдельности образует базис в $L^{(1)} \cap L^{(2)}$ или $L^{(1)}$. Из $(6.35)-(6.40)$ и (6.42)-(6.47), а также из соотношений для внутренних произведений (6A.1) – (6A.9) вытекает, что коэффициенты выражений для $(\delta r,-\delta q)^{T}$ и $(\delta q, \delta r)^{T}$ являются просто вариациями данных рассеяния $S_{-}$и $S_{+}$соответственно. Из соотношений
\[
\begin{array}{l}
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(q \psi_{2}^{2}+r \psi_{1}^{2}\right) d x=\left(\psi_{1} \psi_{2}\right)_{-\infty}^{\infty}, \\
\int_{-\infty}^{+\infty}\left(q \varphi_{2}^{2}+(-r)\left(-\varphi_{1}^{2}\right)\right) d x=\left(\varphi_{1} \varphi_{2}\right)_{-\infty}^{\infty}
\end{array}
\]

можно выразить $(r, q)^{T}$ и $(q,-r)^{T}$ через базисы $E_{+}$и $E_{-}$соответственно. Найдем
\[
\begin{array}{l}
\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right)=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\delta\left(\frac{\bar{b}}{a}\right) \Psi^{A}-\delta\left(\frac{b}{\bar{a}}\right) \bar{\Psi}^{A}\right] d \zeta+ \\
+2 i \sum_{1}^{N}\left(\delta \beta_{k} \Psi_{k}^{A}+\beta_{k} \delta \xi_{k} \chi_{k}^{A}\right)+2 i \sum_{1}^{\bar{N}}\left(\delta \bar{\beta}_{k} \bar{\Psi}_{k}^{A}+\bar{\beta}_{k} \delta \bar{\zeta}_{k} \bar{\chi}_{k}^{A}\right) \\
\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{\bar{b}}{a} \Psi^{A}+\frac{b}{\bar{a}} \bar{\Psi}^{A}\right) d \xi-2 i \sum_{1}^{N} \beta_{k} \Psi_{k}^{A}+2 i \sum_{1}^{\bar{N}} \bar{\beta}_{k} \bar{\Psi}_{k}^{A}
\end{array}
\]

\[
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{l}
\delta q \\
\delta r
\end{array}\right) & =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[\delta\left(\frac{b}{a}\right) \Psi-\delta\left(\frac{\vec{b}}{\bar{a}}\right) \bar{\Psi}\right] d \zeta- \\
& -2 i \sum_{1}^{N}\left(\delta \gamma_{k} \Psi_{k}+\gamma_{k} \delta \zeta_{k} \tau_{k}\right)-2 i \sum_{1}^{\bar{N}}\left(\delta \bar{\gamma}_{k} \bar{\Psi}_{k}+\bar{\gamma}_{k} \delta \bar{\zeta}_{k} \bar{\tau}_{k}\right) .
\end{aligned}
\]

Кроме того,
\[
\left(\begin{array}{r}
q \\
-r
\end{array}\right)=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\frac{b}{a} \Psi+\frac{\bar{b}}{\bar{a}} \bar{\Psi}\right) d \zeta+2 i \sum_{1}^{N} \gamma_{k} \Psi_{k}-2 i \sum_{1}^{\bar{N}} \bar{\gamma}_{k} \Psi_{k} .
\]

Получив эти выражения, можно задать вопрос: какие операторы $\Omega$ действуют на $\left(\begin{array}{l}r \\ q\end{array}\right)$ так, что на каждый член разложения по $\zeta$ они действуют по отдельности? Для таких операторов уравнения в частных производных
\[
\delta\left(\begin{array}{r}
r \\
-q
\end{array}\right)+\Omega\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=0
\]

приводятся путем простого приравнивания коэффициентов в разложениях для $\delta\left(\begin{array}{r}r \\ -q\end{array}\right)$ и $\Omega\left(\begin{array}{l}r \\ q\end{array}\right)$ к разделенной системе обыкновенных дифференциальных уравнений для скорости изменения данных рассеяния. Таким образом, фурье-разложения (6.55) – (6.58) являются кканоническими» для множества операторных уравнений (6.59), где оператор $\Omega$ диагонален в спектральном представлении $L^{A}$, т. е. действует на каждой компоненте спектра по отдельности. Эти уравнения будут рассмотрены в разд. 6.5 , а пока сделаем несколько замечаний по разд. 6.2-6.4.

Замечание 1. Можно теперь непосредственно доказать, что обратное преобразование рассеяния является каноническим, т.е. сохраняющим симплектическую форму $\int_{-\infty}^{\infty} \delta q \wedge \delta r d x$. Рассмотрим скалярные произведения уравнений (6.55), (6.57), взятых с различными вариациями $\delta_{1}$ и $\delta_{2}$. Используя выражения для внутренних произведений, полученные в приложении $\mathrm{A}$, найдем
\[
\begin{aligned}
\int_{-\infty}^{+\infty} \delta q \wedge \delta r d x= & \int_{-\infty}^{+\infty} \delta \frac{\ln a \bar{a}}{\pi} \wedge \delta \ln b(\zeta) d \zeta+ \\
& +\sum_{1}^{N} \delta 2 i \zeta_{k} \wedge \delta \ln b_{k}+\sum_{1}^{\bar{N}} \delta 2 i \bar{\zeta}_{k} \wedge \delta \ln \bar{b}_{k} .
\end{aligned}
\]

В этом выражении использовано, что для вещественных $\zeta$ имеет место равенство $\bar{b}=(1-a \bar{a}) / b$. В разд. 6.6 , где будет развит гамильтонов формализм для рассматриваемых уравнений, соотношение (6.60) позволит отождествить $\left(\ln b(5), \ln b_{k}, \ln \bar{b}_{k}\right)$ и $\left(\pi^{-1} \ln a \bar{a}, 2 i \zeta_{k}, 2 i \bar{\zeta}_{k}\right)$ с переменными типа угла и действия соответственно.

Замечание 2. Для пояснения сути сделанного возьмем линейный предел (6.55), (6.57). Вычисляя собственные функции с точностью до первого порядка по $r$ и $q$, получим $a \approx \bar{a} \approx 1$,
\[
\Psi^{A} \cong-\left(\begin{array}{l}
0 \\
1
\end{array}\right) e^{-2 i \zeta x}, \quad \bar{\Psi}^{A} \cong\left(\begin{array}{l}
1 \\
0
\end{array}\right) e^{2 i \zeta x} .
\]

Тем самым (6.55) и (6.57) сводятся просто к соотношениям линейного преобразования Фурье
\[
\begin{array}{llrl}
\delta r & =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta b e^{2 i \zeta x} d \zeta, & r & =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} b e^{2 i \zeta x} d \zeta, \\
\delta q & =-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta \tilde{b} e^{-2 i \zeta x} d \zeta, & q & =-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \bar{b} e^{-2 i \zeta x} d \zeta .
\end{array}
\]

Замечание 3. В этом замечании мы обратим внимание на то, что описание данных рассеяния было формальным. При произвольном задании данных рассеяния $S_{+}$или $S_{-}$можно получить сингулярные или неединственные решения $r(x, t)$ и $q(x, t)$. Например, если $b=\bar{b}=0$ при вещественных $\zeta, N=\bar{N}=1$ и $S_{-}=$ $=\left(\left(\zeta_{1}, \beta_{1}\right),\left(\bar{\zeta}, \bar{\beta}_{1}\right)\right)$, то соответствующие $t$ и $q$ имеют сингулярности вида $\left(x-x_{0}(t)\right)^{-1}$. Фактически сингулярности могут возникнуть, даже если начальные данные $r(x, 0)$ и $q(x, 0)$ не имели сингулярностей и были абсолютно интегрируемыми. Происходит это из-за того, что базисы $E_{-}$и $E_{+}$становятся сами сингулярными в этой точке $t$. Одно из необходимых условий формализма Лакса сводится к самосопряженности оператора $L$, эволюция во времени которого является унитарной. Вследствие этого оператор $B$, описывающий эволюцию во времени собственных функций, кососимметрический. Таким образом, преобразование собственных функций подобно вращению, и их величина ограниченна. Остается открытым вопрос о необходимых условиях на $r$ и $q$, которые обеспечивали бы отсутствие сингулярностей при всех временах $t$. Известно, что для $r=\alpha q^{*}$ ( $\alpha$ вещественное) и для $r=\alpha q$ ( $\alpha$ комплексное, $q$ вещественное или чисто мнимое) достаточным условием отсутствия сингулярностей является $\int_{-\infty}^{+\infty}|q| d x<\infty$. Эти условия (подробнее см. [6.23])

гарантируют также единственность решения уравнений обратного преобразования рассеяния. Возможный ответ о необходимых условиях дан Флашкой и Ньюеллом [6.63].

Замечание 4. Соотношения (6.55), (6.56) могут быть записаны в виде, который проясняет их смысл и является весьма полезным для дальнейших обобщений:
\[
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{r}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right) & =-\frac{1}{\pi} \int_{C} \frac{I(\psi, \psi)}{a^{2}} \Psi^{A} d \zeta+\frac{1}{\pi} \int_{\bar{C}} \frac{I(\psi, \psi)}{\bar{a}^{2}} \bar{\Psi}^{A} d \zeta, \\
\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right) & =\frac{1}{\pi} \int_{C} \frac{\vec{b}}{a} \Psi^{A} d \zeta+\frac{1}{\pi} \int_{\bar{C}} \frac{b}{\bar{a}} \bar{\Psi}^{A} d \zeta .
\end{aligned}
\]

Для записи соотношений в таком виде необходимо, чтобы $\bar{b} / a$ и $b / \bar{a}$ допускали аналитическое продолжение на верхнюю и нижнюю полуплоскости соответственно. Здесь $C(\bar{C})$-контур, идущий из $-\infty$ в $+\infty$ над (под) всеми нулями функции $a(\zeta)(\bar{a}(\zeta))$. Важно заметить, что эти выражения остаются справедливыми и в более широкой ситуации, когда $a(\zeta)$ и $\bar{a}(\zeta)$ имеют кратные нули. В предшествующей форме разложений для $(\delta r,-\delta q)^{T}$ и $(r, q)^{T}$ в случае, когда $a(\zeta)$ имеет полюс второго порядка, следовало бы включить члены с величинами $\left(\partial^{2} \Psi / \partial \zeta^{2}\right)_{k}$, $\left(\partial^{3} \Psi / \partial \zeta^{3}\right)_{k}$.