Рассмотрим систему уравнений
\[
\begin{array}{c}
\psi(n+1)+S(n) \psi(n)+T(n) \psi(n-1)=\lambda \psi(n), \\
\dot{\psi}(n)=-T(n) \psi(n-1) .
\end{array}
\]

Условие $\lambda_{t}=0$ приводит к уравнениям
\[
\begin{array}{l}
\dot{S}(n)=T(n+1)-T(n), \\
\dot{T}(n)=S(n) T(n)-T(n) S(n-1) .
\end{array}
\]

Если положить
\[
S(n)=-P_{n}, . T(n)=\exp \left(Q_{n-1}-Q_{n}\right),
\]

то из уравнений (8.58) следуют уравнения цепочки Тоды
\[
P_{n}=\dot{Q}_{n}, \quad \dot{P}_{n}=\exp \left(Q_{n-1}-Q_{n}\right)-\exp \left(Q_{n}-Q_{n+1}\right) .
\]

В случае $2 \times 2$-матриц, если положить
\[
\begin{array}{l}
S_{11}(n)=i\left[I_{n+1}\left(1+i V_{n}\right)-I_{n}\left(1-i V_{n}\right)\right]=S_{22}^{*}(n), \\
T_{11}(n)=\left(1+I_{n}^{2}\right)\left(1+i V_{n-1}\right)\left(1-i V_{n}\right)=T_{22}^{*}(n),
\end{array}
\]
$S_{12}=S_{21}=T_{12}=T_{21}=0$, где $I_{n}, V_{n}$ вещественные, то уравнения (8.60) дают уравнения нелинейной автодуальной сети
\[
\dot{I}_{n}=\left(1+I_{n}^{2}\right)\left(V_{n-1}-V_{n}\right), \quad \dot{V}_{n}=\left(1+V_{n}^{2}\right)\left(I_{n}-I_{n+1}\right) .
\]