Обзор краткой истории метода обратной задачи рассеяния (иногда МОЗР для краткости) позволяет прояснить мотивировку и цели матричного обобшения, предлагаемого ниже.

В 1967 г. Гарднер с соавтојами [8.1] открыли метод интегрирования уравнения Кортевега – де Фриза (КдФ). Они рассмотрели уравнение Шрёдингера, потенциал которого является решением уравнения Кд $\Phi$, и показали, что точные решения уравнения КдФ могут быть получены с помощью решения обратной задачи рассеяния для уравнения Шрёдингера. В общей форме этот метод вскоре был сформулирован Лаксом [8.2]. Он заметил, что «унитарная эквивалентность» ассоциированного оператора является сущностью метода. В 1972 г. Захаров и Шабат [8.3] проинтегрировали с помощью МОЗР нелинейное уравнение Шрёдингера. Они использовали матричный оператор $2 \times 2$ дираковского типа с производными первого порядка. Их работа оказалась весьма существенной для развития метода обратной задачи рассеяния. Стало ясно, что МОЗР пригоден не только для интегрирования уравнения КдФ. Впоследствии автором было показано, что модифицированное уравнение КдФ интегрируемо с помощью формализма Захарова – Шабата. Другая существенная особенность работы Захарова и Шабата состоит в том, что вспомогательный линейный оператор не эрмитов. Следовательно, унитарная эквивалентность Лакса не единственный путь построения МОЗР. Заметив это, Абловиц с соавторами (AKHC) [8.5] показали, что уравнение sine-Gordon в конусных переменных также интегрируемо, и упростили формулировку метода обратной задачи рассеяния.

Под влиянием работы Захарова и Іабата в ходе интегрирования модифицированного уравнения КдФ автор заметил, что МОЗР может быть сформулирован с помощью матричного уравнения Шрёдингера. Приблизительно в то же самое время Лэм [8.6] получил сходный результат при исследовании распространения когерентного импульса в нелинейной оптике. Наличие более общих задач на собственные значения, для которых обратная задача рассеяния разрешима, также способствовало дальнейшему прояснению возможнсстей МОЗР. После этого обобщенная матричная форма МОЗР была предложена в работе [8.7]. Вскоре автор заметил возможность подобного обобщения для задач на решетке.

Без сомнения, МОЗР является одним из крупнейших открытий современной математической физики. Здесь хочется сделать два замечания. Во-первых, метод обратной задачи рассеяния – единственный метод, позволяющий точно решить задачу Коши для нелинейных уравнений. Во-вторых, он естественно приводит к выводу, что солитонные системы являются вполне интегрируемыми системами.

Настоящая работа посвящена подведению итогов обобщенной матричной формулировки иетода обратной задачи рассеяния. В разд. 8.2 рассматривается обратная задача рассеяния для атричного $m \times m$ уравнения Шрёдингера. В разд. 8.3 МОЗР обобщается на матричный случай. Приводятся интегрируемые уравнения, связанные г матричным уравнением Шрёдингера. Последний раздел содержит заключительные замечания.