Работа Расселла послужила отправной точкой для статей Буссинеска [1.9], Рэлея [1.16] и Кортевега и де Фриза [1.7]. Она основывалась на физических соображениях и не привела к сколь-нибудь существенным математическим результатам, пока не появились работы Забуски и Крускала [1.2] и Гарднера с соавторами [1.1]. С другой стороны, СГ-уравнение впервые возникло в математическом контексте, а именно в дифференциальной геометрии при изучении псевдосферических поверхностей — поверхностей с постоянной отрицательной кривизной [1.27]. В недавней статье Лунда [1.48] эти более ранние исследования продолжены и проиллюстрированы примерами; мы вернемся к ней в разд. 1.6. Там же будут указаны более новые исследования геометрии солитонов.

Отметим, однако, что еще до появления (приблизительно в 1883 г.) СГ-уравнения Лиувилль [1.49] привел в 1853 г. общее решение связанного с ним нелинейного уравнения Клейна Гордона
\[
u_{x t}=\exp (m u) \text {, }
\]

где $m$-параметр. Мы недавно [1.50] применили преобразование Бэклунда для получения из общего решения $u=f(x)+g(t)$ уравнения $u_{x t}=0$ найденного Лиувиллем общего решения уравнения (1.33)
\[
\begin{array}{l}
\exp (m u)=\exp [m(f-g)] k \int^{x} \exp (m f) d x^{\prime}+ \\
\left.+\frac{1}{2} k^{-1} m \int^{t} \exp (-m g) d t\right]^{-2},
\end{array}
\]

где $k$-параметр. Здесь удобно ввести преобразование Бэклунда (ПБ). Такое преобразование, позволяющее получить решение (1.34) уравнения (1.33), имеет вид [1.50]
\[
\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}=u_{x}+\frac{2 k}{m} \exp \left[\frac{1}{2} m\left(u+u^{\prime}\right)\right], \\
u_{t}^{\prime}=-u_{t}-k^{-1} \exp \left[\frac{1}{2} m\left(u-u^{\prime}\right)\right] .
\end{array}
\]

Это преобразование, связывающее решение $и$ одного уравнения с решением $u^{\prime}$ второго уравнения, — типичный пример
ПБ. Заметим, что из условия интегрируемости $u_{x t}^{\prime}=u_{t x}^{\prime}$ можно получить как $u_{x t}=\exp (m u)$, так и $u_{x t}^{\prime}=0$; следовательно, это и будут те два уравнения, которые связаны ПБ. Из (1.35) при $u^{\prime}=f(x)+g(t)$ легко получаем
\[
d\left\{\exp \left[-\frac{1}{2} m(u-f+g)\right]\right\}=k \exp (m f) d x+\frac{m}{2 k} \exp (-m g) d t \text {. }
\]

Отсюда сразу следует (1.34).
Уравнение Луивилля (1.33) и СГ-уравнение (1.11a) в конусных переменных суть частные случаи обобщенного уравнения Клейна — Гордона
\[
u_{x t}=F(u) \text {. }
\]

Однако солитонных решений уравнения (1.33) не существует, поскольку ни $u=0$, ни $u=$ const не являются его решениями ${ }^{1}$ ). Нелинейные уравнения Клейна — Гордона вроде (1.37) могут допускать как преобразования Бэклунда (ПБ), так и автопреобразования Бэклунда (АПБ). В первом случае преобразование связывает решения двух различных уравнений, во втором — peшения одного и того же уравнения. Уравнение (1.37) допускает АПБ тогда и только тогда, когда $\ddot{F}(u)+\alpha^{2} F(u)=0$ для некоторого $\alpha$ (включая случай $\alpha=0$ ) $[1.50,1.54]$, где $F$ обозначает вторую производную. Частный случай этой ситуации, а именно АПБ с произвольным вещественным параметром $k$ вида
\[
\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}=u_{x}+2 k \sin \frac{u+u^{\prime}}{2}, \\
u_{t}^{\prime}=-u_{t}-2 k^{-1} \frac{u-u^{\prime}}{2},
\end{array}
\]

связывающее два решения $и$ и $u^{\prime}$ СГ-уравнения в конусных переменных (1.11a), был известен Бэклунду еще до 1883 г. [1.55]. В этом примере из условия интегрируемости $u_{x t}^{\prime}=u_{t x}^{\prime}$ одновременно следует $u_{x t}=\sin u$ и $u_{x t}^{\prime}=\sin u^{\prime}$. То, что аналогичное АПБ существует также для уравнения КдФ, было осознано много позднее $[1.51,1.56]$. Оно имеет вид
\[
\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}=-u_{x}-k+\left(u^{\prime}-u\right)^{2} \\
u_{t}^{\prime}=-u_{t}+4\left[k^{2}+k u_{x}-k\left(u^{\prime}-u\right)^{2}+u_{x}^{2}+u_{x}\left(u^{\prime}-u\right)^{2}+u_{x x}\left(u^{\prime}-u\right)\right] .
\end{array}
\]

Условие интегрируемости $u_{x t}^{\prime}=u_{t x}^{\prime}$ в этом случае есть
\[
\left(u^{\prime}-u\right)\left(u_{x x x}+u_{t}-6 u_{x}^{2}\right)=0 .
\]
1) Отсюда, кстати, понятно происхождение названия «sine-Gordon», применяемого для уравнений (1.10) или (1.11). Точнее, Рубинстейн [1.52] приписывает авторство этого наименования Крускалу; Колеман [1.43] утверждает иное, и сам Крускал в этом «не вполне уверен» [1.53]. Қак бы то ни было, именно это название общепринято!

Тождественное преобразование $u^{\prime}=u$ тривиально. Вторая пара скобок дает уравнение КдФ (1.1) (с коэффициентом 12, а не 6) после дифференцирования по $x$ и замены $u_{x} \rightarrow u$. Функция $u^{\prime}$ удовлетворяет уравнению
\[
u_{x x x}^{\prime}+u_{t}^{\prime}-6 u_{x}^{\prime}=0,
\]

так что рассматриваемое преобразование есть АПБ.
Существует тесная связь между АПБ, солитонами и методом обратной задачи рассеяния, хотя пример уравнения Лиувилля (которое также допускает АПБ $[1.50,1.54]$ ) показывает, что из одного не следует с необходимостью другое. В период с 1900 по 1920 г. многие авторы рассматривали преобразования Бэклунда, умножая сведения о них [1.57]. В частности, Кларин [1.57], по-видимому, открыл «принцип суперпозиции» для АПБ (1.34). описываемый Лэмом и Маклафлином в гл. 2, хотя Эйзенхарт [1.57] цитирует Бьянки, считая последнего первооткрывателем указанного принципа. Форсайт [1.57] предлагает нахождение АПБ (1.34) для уравнения $u_{x t}=\sin u$ в качестве нерешенной задачи (!) и ссылается на Бьянки и Дарбу как на впервые поставивших ее. Несомненно, Уолквист и Эстабрук [1.56] первыми обнаружили принцип суперпозиции («теорему о перестановочности») для уравнений (1.39). Чень [1.58] показал, как связать существование АПБ со схемой $2 \times 2$ для обратной задачи рассеяния, предложенной АКНС [1.44].

Тот факт, что ПБ может быть линеаризующим преобразованием, впервые отмечен в работах Хопфа [1.59] и Коула [1.60] в 1950 г. Эти авторы независимо линеаризовали уравнение Бюргерса
\[
u_{t}+u u_{x}-v u_{x x}=0 \quad(v>0) .
\]

Преобразование Бэклунда
\[
\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}=-(2 v)^{-1} u u^{\prime}, \\
u_{t}^{\prime}=-(4 v)^{-1}\left(2 v u_{x}-u^{2}\right) u^{\prime}
\end{array}
\]

не является АПБ: оно отображает решение $u$ уравнения (1.42) в рещение $u^{\prime}$ уравнения теплопроводности $u_{t}^{\prime}-v u_{x x}^{\prime}=0$. Преобразование $u=-2 v\left(\ln u^{\prime}\right)_{x}$ есть преобразование ХопфаҚоула: оно линеаризует уравнение Бюргерса, сводя его к уравнению теплопроводности, что позволяет точно решить исходное уравнение.
Преобразование Бэклунда
\[
\begin{aligned}
u_{x}^{\prime} & =-2 u-\left(u^{\prime}\right)^{2}, \\
u_{t}^{\prime} & =8 u^{2}+4 u\left(u^{\prime}\right)^{2}+2 u_{x x}-4 u_{x} u^{\prime},
\end{aligned}
\]

нашли Уолквист и Эстабрук [1.61] в 1975 г. Оно связывает уравнение
\[
u_{x x x}+u_{t}+12 u u_{x}=0
\]

с модифицированным уравнением КдФ
\[
u_{x x x}+u_{t}-6 u^{2} u_{x}=0,
\]

решение которого есть $u^{\prime}$.
Преобразование, связывающее $u_{x}^{\prime}, u$ и $u^{\prime}$ в (1.44),- это преобразование Миуры [1.62]. Оно оказалось основополагающим для открытия метода обратной задачи рассеяния, как будет показано ниже.

Существуют также наборы «сохраняющихся плотностей», связанные с нелинейными эволюционными уравнениями, имеющими солитонные решения; они также являются фундаментальными и сыграли важнейшую роль в истории вопроса. Эти плотности часто бывают «полиномиальными сохраняющимися плотностями» (п. с. пл.), т. е. полиномами от $u, u_{x}, u_{x x}, \ldots$ и т. д. Например, плотность $u_{x}^{2} / 2$ удовлетворяет уравнению
\[
\left(\frac{1}{2} u_{x_{i}}^{2}\right)+\left[-\int^{u} F\left(u^{\prime}\right) d u^{\prime}\right]_{x}=0,
\]

если $и$ удовлетворяет (1.37). Отсюда и из того, что $u \rightarrow 0$ при $|x| \rightarrow \infty$, следует, что $\int_{-\infty}^{\infty}\left(u_{x}^{2} / 2\right) d x$ является интегралом движения. Существование «закона сохранения» вроде (1.47), стало быть, определяет $u_{x}^{2} / 2$ как локально сохраняющуюся (полиномиальную) плотность, которая сохраняется глобально при подходящих граничных условиях. Уравнение (1.37) может не иметь солитонных решений для произвольной $F(u)$; однако во всех случаях, когда они существуют (а на самом деле для всех известных авторам примеров, связанных с солитонами, за единственным исключением — уравнений распространения неоднородно расширяющихся оптических импульсов $[1.63,1.64]$, см. также разд. 1.4 и гл. 2 и 6 ), локально сохраняющиеся величины также глобально сохраняются.

Представляется, однако, что для существования солитонов необходимо бесконечное множесгво сохраняющихся плотностей. Қак мы увидим, уравнения с солитонными решениями оказываются примерами бесконечномерных полностью интегрируемых гамильтоновых систем. Конечномерная полностью интегрируемая гамильтонова система с $2 n$ степенями свободы обладает интегралами движения, находящимися «в инволюции». Необходимое условие полной интегрируемости бесконечномерной гамильтоновой системы состоит в наличии бесконечного числа интегралов движения. Достаточные условия — это наличие в точности нужного числа («правильной» бесконечности) таких интегралов, находящихся в инволюции. Инволюция означает, что скобки Пуассона этих интегралов равны нулю. Мы вкратце вернемся к этому моменту в разд. 1.5. Подробности читатель может найти в гл. 2,6 и 11 , например.

Сохраняющиеся величины для уравнения КдФ сыграли ключевую роль в открытии метода обратной задачи рассеяния [1.1]. Их значение для истории вопроса мы опишем в разд. 1.4.

В отношении уравнений Клейна — Гордона (1.37) Крускал лет через пять [1.65] сделал полезное замечание, что (1.37) всегда обладает одной полиномиальной сохраняющейся плотностью $u_{x}^{2} / 2$ (полином от $u_{x}$ ), но необходимое и достаточное условие существования второй полиномиальной плотности, содержащей $u_{x x}$, — это выполнение соотношения $\ddot{F}(u)+\alpha^{2} F(u)=0$ для некоторого $\alpha$. Тогда оказывается [1.65], что имеется бесконечное число полиномиальных сохраняющихся плотностей (п. с. пл.). Крускал [1.65] также использовал ПБ
\[
\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}=k^{-1} \sin \left(u^{\prime}-u\right), \\
u_{t}^{\prime}=u_{t}+k \sin u^{\prime},
\end{array}
\]

которое отображает решение $u$ уравнения $u_{x t}=\sin u$ в решение $u^{\prime}$ уравнения
\[
u_{x t}^{\prime}=\left[1-k^{2}\left(u_{x}^{\prime}\right)^{2}\right]^{1 / 2} \sin u^{\prime},
\]

чтобы получить бесконечное число п. с. пл. для уравнения sine-Gordon. О происхождении этого ПБ нам известно лишь, что оно появилось в работе Крускала и было также найдено нами независимо, хотя и позднее [1.50]. Покажем теперь, как бесконечное множество п. с. пл. для СГ-уравнения можно получить с помощью этого ПБ [1.50, 1.65, 1.66].
Запишем
\[
u^{\prime}=\sum_{n=0}^{\infty} f_{n}(u) k^{n}
\]

и получим из (1.48), что
\[
u^{\prime}=u+k u_{x}+k^{2} u_{x x}+k^{3}\left(u_{x x x}+\frac{1}{3 !} u_{x}^{3}\right)+k^{4}\left(u_{x x x x}+u_{x}^{2} u_{x x}\right)+\ldots
\]

Закон сохранения для (1.49) имеет вид
\[
\left[\left(1-k^{2}\left(u_{x}^{\prime}\right)^{2}\right)^{1 / 2}\right]_{t}-k^{2}\left(\cos u^{\prime}\right)_{x}=0 .
\]

Подставив (1.50) в (1.51), получим, опуская постоянные слагаемые и множители, выражение (1.52) для сохраняющихся

в (1.51) плотностей:
\[
\begin{array}{l}
u_{x}^{2}+k\left(2 u_{x} u_{x x}\right)+k^{2}\left(u_{x x}^{2}+2 u_{x} u_{x x x}+\frac{1}{4} u_{x}^{4}\right)+ \\
\quad+k^{3}\left(2 u_{x} u_{x x x x}+2 u_{x x} u_{x x x}+2 u_{x}^{3} u_{x x}\right)+ \\
\quad+k^{4}\left(u_{x x x}^{2}+2 u_{x x} u_{x x x x}+2 u_{x} u_{x x x x x}+\frac{1}{8} u_{x}^{6}+\right. \\
\left.\quad+3 u_{x x x} u_{x}^{3}+\frac{13}{2} u_{x}^{2} u_{x x}^{2}\right)+\ldots .
\end{array}
\]

Поскольку $k$ произвольно, величины $u_{x}^{2}, u_{x x}^{2}+2 u_{x} u_{x x x}+$ $+\frac{1}{4} u_{x}^{4}, \ldots$ сохраняются каждая по отдельности. Полные дифференциалы $2 u_{x} u_{x x}, \ldots$, появляющиеся при нечетных степенях $k$, сохраняются тривиально, поскольку их можно связать не с плотностью $T$, а с потоком $X$ для любого закона сохранения
\[
T_{t}+X_{x}=0
\]

вида (1.47). Отбрасывая некоторые полные дифференциалы, можно получить из (1.52), что нетривиальный набор сохраняющихся плотностей для СГ-уравнения, следовательно, можно записать [1.66] в виде
\[
\begin{aligned}
T^{2} & =\frac{1}{2} u_{x}^{2}, \quad T^{4}=\frac{1}{2} u_{x x}^{2}-\frac{1}{8} u_{x}^{4}, \quad T^{6}=\frac{1}{2} u_{x x x}^{2}-\frac{5}{4} u_{x x}^{2} u_{x}^{2}+\frac{1}{16} u_{x}^{6}, \\
T^{8} & =\frac{1}{2} u_{x x x x}^{2}-\frac{7}{4} u_{x x x}^{2} u_{x}^{2}+\frac{7}{8} u_{x x}^{4}+\frac{35}{16} u_{x x}^{2} u_{x}^{4}+\frac{5}{128} u_{x}^{8} \\
T^{10} & =\cdots
\end{aligned}
\]

Заметим, что плотности суть полиномы от $u_{x}, u_{x x}$ и т. д., т. е. п. с. пл., и что каждый член $\Pi ⿱ 一 兀_{j} u_{j}^{a}$ в $T^{r}$ (где $u_{j}$-это $j$-я частная производная) имеет один и тот же ранг $r$, определяемый формулой $r=\sum_{j} j a_{j}$. Оказывается [1.66], что существует бесконечный набр таких нетривиальных полиномов (здесь $r$ любое четное целое число). Соответствующий бесконечный набор полиномиальных сохраняющихся плотностей для уравнения КдФ, первый из обнаруженных наборов этого рода [1.67], порождается ПБ (1.44) вместо (1.47).

Полиномиальный характер сохраняющихся плотностей (1.54) и сохраняющихся плотностей для уравнения КдФ (1.67) связан с задачами рассеяния, позволяющими решить эти уравнения. Набор (1.54) — это частный случай более общего набора, выводимого из задачи рассеяния $2 \times 2$ АКНС $[1.42,1.68]$. Сохраняющиеся плотности СГ-уравнения (1.10) в лоренц-ковариантной форме не являются полиномами [1.66]. Заметим во всяком случае, что по крайней мере половина сохраняющихся плотностей СГ-уравнения в конусных переменных — это не полиномы, так как в (1.51) поток $k^{2} \cos u^{\prime}$, согласно (1.50), можно записать в виде
\[
\begin{aligned}
k^{2} \cos u^{\prime}= & k^{2} \cos u\left[1-\frac{1}{2} k^{2} u_{x}^{2}-k^{3} u_{x} u_{x x}-k^{4} u_{x}\left(u_{x x x}+\frac{3}{3} u_{x}^{3}\right)+\ldots\right] \\
& -k^{2} \sin u\left(k u_{x}+k^{2} u_{x x}+k^{3} u_{x x x}+k^{4}\left[u_{x x x x}+\right.\right. \\
& \left.+u_{x}^{2} u_{x x}-3 u_{x}\left(u_{x x x}+\frac{1}{3 !} u_{x}^{3}\right)\right]+\ldots
\end{aligned}
\]

Тогда
\[
\begin{aligned}
X^{2}= & -(1-\cos u), \quad X^{3}=-u_{x} \sin u, \\
X^{4}= & -\left(\frac{1}{2} u_{x}^{2} \cos u+u_{x x} \sin u\right), \\
X^{5}= & -\left(u_{x} u_{x x} \cos u+u_{x x x} \sin u\right), X^{6}=-\left[u_{x}\left(u_{x x x x}+\frac{3}{4 !} u_{x}^{3}\right) \cos u+\right. \\
& \left.+\left(u_{x x x x}+u_{x}^{2} u_{x x}-u_{x} u_{x x x}-\frac{1}{2} u_{x}^{4}\right) \sin u\right], \ldots
\end{aligned}
\]

и
\[
X^{m}=f_{m} \cos u+g_{m} \sin u,
\]

где $f_{m}$ и $g_{m}$ — полиномы степени $m-2$ от $u_{x}, u_{x x}$ и т. д. Плотности $T^{m}$ и потоки $X^{m}$ тогда удовлетворяют закону сохранения, аналогичному (1.53), для каждого $m$, если отбросить в (1.53) полные дифференциалы.

Поскольку СГ-уравнение (1.10a) в конусных переменных инвариантно к замене $x$ на $t$ и наоборот, то
\[
\begin{array}{l}
\frac{\partial}{\partial t}(\cos u-1)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2} u_{t}^{2}\right)=0 \\
\frac{\partial}{\partial t}\left(-\frac{1}{2} u_{t}^{2} \cos u\right)+\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{1}{2} u_{t t}^{2}-\frac{1}{8} u_{t}^{4}\right)=0
\end{array}
\]

и, вообще говоря, каждый поток $X^{2 n}$ дает сохраняющуюся плотность в результате замены $\partial / \partial x$ на $\partial / \partial t$ повсюду в этом выражении. Следовательно, существует второй бесконечный набор сохраняющихся плотностей $T^{2 n}$
\[
\begin{aligned}
T^{2} & =\cos u-1, \\
T^{2 n} & =f_{2 n} \cos u+g_{2 n} \sin u, \quad n \geqslant 2,
\end{aligned}
\]

где $f_{2 n}$ и $g_{2 n}$ суть полиномы по $u_{t}$, $u_{t t}$ и т. д. ранга (по $t$ ) $2 n-2$. Легко показать $[1.42,1.69]$ (см. также гл. 11), что плотность $T^{2}$ в (1.59) служит плотностью гамильтониана для СГ-уравнения (1.11a) в конусных переменных. Представляется, однако, что константы движения $\int_{-\infty}^{+\infty} T^{2 n} d x$ для $n \geqslant 2$ не находятся в инволюции.

К счастью, существует третий бесконечный набор сохраняющихся плотностей, находящихся в инволюции. Их существование связано с дисперсионным соотношением $\omega=k^{-1}$ и его полюсом в точке $k=0$. Как это происходит, описано Ньюэллом в гл. 6. Подробности для СГ-уравнения приводятся также, например, в [1.42], [1.69], где показано, что после подходящего масштабного преобразования набор (1.53) представляет плотности импульса, а третий бесконечный набор — плотности энергии для бесконечного ряда обобщенных СГ-уравнений, каждое из которых разрешимо методом обратной задачи рассеяния и является полностью интегрируемой бесконечномерной гамильтоновой системой. Этот бесконечный ряд аналогичен бесконечному набору уравнений КдФ, впервые обнаруженному Лаксом [1.70] в 1968 г. Последний набор уравнений КдФ описан более точно в разд. 1.4. Фаддеев рассматривает плотности импульса и энергии для СГ-уравнения в гл. 11. Индивидуальные сохраняющиеся плотности, дающие находящиеся в инволюции константы движения, вычислены в конце разд. 1.6 (формулы (1.153)).

Уравнения, составляющие бесконечный набор полностью интегрируемых СГ-уравнений, легко описываются через данные рассеяния [1.69]. За исключением самого СГ-уравнения, уравнения движения сложны и, по-видимому, включают нелокальные операторы ${ }^{1}$ ). СГ-уравнение оказывается единственным уравнением, инвариантным к инфинитезимальному преобразованию
1) Плотность гамильтониана для с.едующего члена бесконечной последовательности СГ-уравнений, вычисленная методами работ [1.42] и [1.69], дается формулой
\[
\begin{aligned}
\mathscr{H}_{2}= & -\frac{1}{2} u_{x} \exp \left[-\int_{-\infty}^{x}\left(\int_{-\infty}^{x^{\prime}} \sin u d x^{n}\right) \frac{\partial}{\partial x^{\prime}}\left(-\operatorname{tg} \frac{u}{2}\right) d x^{\prime}\right] \times \\
& \times\left\{\int_{-\infty}^{x}\left[-\frac{1}{2}\left(\int_{-\infty}^{x^{\prime}} \sin u d x^{\prime \prime}\right) \sec ^{2} \frac{u}{2}+\frac{1}{4}\left(\int_{-\infty}^{x^{\prime}} \sin u d x^{\prime \prime}\right)^{2} \sec ^{4} \frac{u}{2}\right] \times\right. \\
& \left.\times \exp \left[\int_{-\infty}^{x^{\prime}}\left(\int_{-\infty}^{x^{\prime \prime}} \sin u d x^{\prime \prime \prime}\right) \frac{\partial}{\partial x^{\prime \prime}}\left(-\operatorname{tg} \frac{u}{2}\right) d x^{\prime \prime}\right] d x^{\prime}\right\}
\end{aligned}
\]
$\mathscr{H}_{2}$ на самом деле тривиальна, и $\mathscr{H}_{3}$ является следующей нетривиальной плотностью. Известно $[1.42,1.69]$, что интегрируемые СГ-уравнения имеют односолитонные решения $4 \operatorname{arctg} \exp [k x+2 \Omega(i k / 2) t]$, где $\Omega(\zeta)=-(i / 2) \omega(-2 \zeta)$, a $\omega(k)$ есть линеаризованное дисперсионное соотношение рассматриваемого $x \rightarrow(1-\varepsilon) x, t \rightarrow(1+\varepsilon) t$ и конечным масштабным преобразованиям $x \rightarrow a^{-1} x, t \rightarrow a t$. Отсюда легко видеть, что это единственное лоренц-ковариантное в лабораторных координатах уравнение. Из теоремы, утверждающей, что нелинейное уравнение Клейна — Гордона (1.37) имеет п. с. пл. (1/2) $u_{x}$ ранга 2, но имеет вторую сохраняющуюся плотность ранга 4, включающую $u_{x x}$, тогда и только тогда, когда $\ddot{F}(u)+\alpha^{2} F(u)=0[1.65$, 1.66] (и, стало быть, бесконечный набор таких плотностей [1.66]), следует, что $F(u)=A e^{a u}+B e^{-\alpha u}$. Из требований, чтобы $u$ и $F(u)$ были вещественными, а $u=\delta=$ const было решением уравнения (1.37), следует, что это уравнение будет иметь вторую полиномиальную плотность ранга 4 тогда и только тогда, когда
\[
F(u)=A \operatorname{sh}(u-\delta)
\]

или
\[
F(u)=B \sin (u-\delta)
\]

в обоих случаях существует бесконечное семейство сохраняющихся плотностей.

Уравнение sh-Gordon $u_{x t}=\operatorname{sh}(u-\delta$ не имеет ограниченного решения типа уединенной волны или решения с постоянным профилем, определенного на всей оси $x$ (его решение есть $u=4 \operatorname{arth} \theta, \theta=k x+k^{-1} t$, определенное при $\theta \leqslant \theta_{0}<0$ ). Оно связано с СГ-уравнением преобразованием $u-\delta \rightarrow i(u-\delta)$, откуда $u_{x t}=\sin u$. Обратившись к разд. 1.4 и последующему обсуждению метода обратной задачи рассеяния АКНС (соотношения (1.100) и (1.101)), легко увидеть, что в обратной задаче рассеяния (1.100) матрица $\mathcal{L}$ эрмитова и, следовательно, нет связанных состояний. Поэтому нет и многосолитонных решений уравнения sh-Gordon. Для простых волн (1.12) ситуация аналогична.

Один из следующих отсюда результатов состоит в том, что существование бесконечного набора сохраняющихся плотно-

уравнения. Для самого СГ-уравнения $\omega(k)=k^{-1}=2 \Omega(i k / 2)$. Для следующего члена $\omega(k) \sim k^{-3}$ [1.69]. Поэгому линеаризованное уравнение есть $u_{x x x t}=A u \quad(A=\mathrm{const})$, или $u_{x t}=A \int_{-\infty}^{x} \int_{-\infty}^{x^{\prime}} u\left(x^{\prime \prime}, t\right) d x^{\prime \prime} d x^{\prime}$. В [1.42] мы полагали (см. примечание 5 этой работы), что уравнение движения, выведенное из сохраняющейся плотности $-\left(u_{t}^{2} / 2\right) \cos u$ в (1.58), а именно $\left(u_{t}^{2} / 2\right) \sin u-$ — $u_{t t} \cos u$, является следующим членом последовательности интегрируемых СГ-уравнений. Однако это уравнение не имеет решений вида $4 \operatorname{arctg} \exp [k x+$ $+2 \Omega(i k / 2) t]$, а его дисперсионное соотношение есть $\omega=k$. Это замечание к тому же исправляет ложное впечатление, создаваемое упоминаемой ниже работой [1.195], будто сохраняющаяся плотность $u_{t}^{2} / 2 \cos u$ дает следующее интегрируемое СГ-уравнение. См. также конец разд. 1.6 , где снова рассматриваются интегрируемые СГ-уравнения.

стей недостаточно для наличия многосолитонных решений. Уравнение sh-Gordon — лишь один из примеров, показывающих это; уравнение простой волны (1.12) — другой пример (третий это линейное уравнение Клейна — Гордона [1.71]). Однако самый важный результат — то, что мы показали следующий факт: СГ-уравнение является единственным нелинейным уравнением Клейна — Гордона, обладающим двумя последовательными п. с. пл. рангов 2 и 4 , решением в виде неизменного профиля с конечной энергией и солитонными решениями. Кулиш [1.72] также вывел, что СГ-уравнение является единственным уравнением, имеющим решения с конечной энергией, вторую сохраняющуюся плотность и, следовательно, бесконечно много таких плотностей. Тот факт, что это уравнение единственно для одного поля с бесконечным количеством сохраняющихся плотностей, делает очевидным следующее: $S$-матрица квантованного СГ-уравнения полностью определена [1.71]. Стало быть, СГуравнение — весьма особенное и замечательное уравнение. Лютер в гл. 12 также указывает, исходя из иных соображений, на особый характер квантованного СГ-уравнения.

Уравнение sh-Gordon $u_{x t}=\operatorname{sh} u$ превращается в СГ-уравнение заменой $u \rightarrow i u$. Исследуем вкратце, что произойдет при вращении независимых переменных $x, t$ в комплексной плоскости. Конкретнее рассмотрим СГ-уравнение (1.11а) с заменой $x \rightarrow(x+i y) / 2, t \rightarrow(x-i y) / 2$. Очевидно, что мы получим
\[
u_{x x}+u_{y y}=\sin u
\]

с решениями $u$ в двумерном евклидовом пространстве. Это уравнение представляет интерес для статистической механики в связи с двумерными вихревыми моделями [1.73, 1.74]. Для него известно АПБ (сравните с (1.37))
\[
\begin{aligned}
u_{x}^{\prime} & =-i u_{y}+k \sin \frac{1}{2}\left(u^{\prime}+u\right)+k^{-1} \sin \frac{1}{2}\left(u^{\prime}-u\right) \\
-i u_{y}^{\prime} & =u_{x}+k \sin \frac{1}{2}\left(u^{\prime}+u\right)-k^{-1} \sin \frac{1}{2}\left(u^{\prime}-u\right) .
\end{aligned}
\]

Условия интегрируемости $u_{x y}^{\prime}=u_{y x}^{\prime}$ и $u_{x y}=u_{y x}$ дают
\[
u_{x x}^{\prime}+u_{y y}^{\prime}-\sin u^{\prime}=u_{x x}+u_{y y}-\sin u=0 .
\]

При $u=0$ решение уравнения (1.62) -это «кинк»
\[
u^{\prime}=4 \operatorname{arctg} \exp \left[(x-V y) /\left(1+V^{2}\right)^{1 / 2}\right] .
\]

Выбирая на каждом шаге $|k|=1$, можно построить вещественные многокинковые решения повторным использованием этого АПБ, хотя не все промежуточные шаги дадут вещественные решения. Двухкинковое решение имеет вид
\[
u(x, y)=4 \operatorname{arctg} r \operatorname{ch} \theta_{l} \operatorname{sech} \theta_{R}
\]

где $r=\operatorname{ctg} \mu$, a
\[
\theta_{R}=\frac{\cos \mu}{\left(1+V^{2}\right)^{1 / 2}}(x-V y), \quad \theta_{I}=\frac{\sin \mu}{\left(1+V^{2}\right)^{r_{12}}}(y+V x) .
\]

Насколько нам известно, уравнение (1.61) пока что не исследовалось существенно более глубоко ${ }^{1}$ ). В принципе другие решения вроде (1.65a) можно найти методами, аналогичными выведенным ниже из (1.66a).

В разд. 1.3 мы отмечали связь между нелинейными эволюционными уравнениями с солитонными решениями, бесконечными наборами сохраняющихся плотностей и гамильтоновыми системами. Мы вернемся к этой связи в разд. 1.4, и она довольно подробно рассматривается в последующих главах. Была также показана связь между ПБ и бесконечными наборами сохраняющихся плотностей. Позже тесная связь между ПБ, нелинейными эволюционными уравнениями и солитонами была проиллюстрирована новыми примерами в работах Уолквиста и Эстабрука по структурам продолжения [1.61], [1.75] и [1.76]. Пирани с сотрудниками [1.77] недавно (1978) дали формулировку ПБ в терминах расслоений джетов, которая обеспечивает разумное’истолкование этих результатов. Для дальнейшего изучения важных математических достижений в этой области рекомендуем читателю обратиться к соответствующей литературе. С помощью другого подхода Калоджеро [1.78] смог прояснить связь между ПБ и методом обратной задачи рассеяния путем расширения приложений этого метода (объединяющая идея состоит в том, что и эволюционные уравнения, и их ПБ могут иметь простую структуру, будучи выраженными через данные рассеяния, несмотря на их сложность в $x$-пространстве). Эта работа описана в гл. 9. Следует упомянуть также новые работы по ПБ [1.79], [1.80]; еще одна работа, связанная с ПБ и структурами продолжения, отмечена в разд. 1.5. Хирота рассматривает ПБ со своей собственной и нестандартной точки зрения в гл. 5.
1) Маккарти [1.125] перечисляет очевидные преобразования Бэклунда:

и
\[
\begin{array}{l}
\left.\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}+u_{y}=\sin u^{\prime} \operatorname{ch} u \\
u_{y}^{\prime}-u_{x}=\cos u^{\prime} \operatorname{sh} u
\end{array}\right\} \quad\left\{\begin{array}{l}
u_{x x}+u_{y y}=\operatorname{sh} u \text { ch } u \\
u_{x x}^{\prime}+u_{y y}^{\prime}=\sin u^{\prime} \cos u^{\prime},
\end{array}\right. \\
\left.\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}+u_{y}=\operatorname{ch} u^{\prime} \cos u \\
u_{y}^{\prime}+u_{x}=\operatorname{sh} u^{\prime} \sin u
\end{array}\right\} \text { между }\left\{\begin{array}{l}
u_{x x}^{\prime}+u_{y y}^{\prime}=\sin u^{\prime} \cos u^{\prime} \\
u_{x x}^{\prime}+u_{y y}^{\prime}=\operatorname{sh} u^{\prime} \operatorname{ch} u^{\prime},
\end{array}\right. \\
\end{array}
\]
\[
\left.\begin{array}{l}
u_{x}^{\prime}+u_{y}=\sin u^{\prime} e^{u} \\
u_{y}^{\prime}-u_{x}=\cos u^{\prime} e^{u}
\end{array}\right\} \quad \text { между }\left\{\begin{array}{l}
u_{x x}+u_{y y}=e^{2 u} \\
u_{x x}^{\prime}+u_{y y}^{\prime}=0 .
\end{array}\right.
\]

Завершая разд. 1.3, сделаем несколько дополнительных исторических замечаний относительно СГ-уравнения (1.11а) и отметим некоторые из его недавних приложений в теории поля. Лоренцева ковариантность СГ-уравнения (1.10) означает инвариантность СГ-уравнения (1.11a) относительно преобразования Ли; при замене переменных более общего вида
\[
\xi=a t+a^{-1} x, \quad \eta=a t-a^{-1} x
\]

оно лоренц-ковариантно. Если положить

To
\[
u=4 \operatorname{arctg}[F(\xi) / G(\eta)],
\]
\[
\begin{array}{l}
\left(F^{\prime}\right)^{2}=-k F^{4}+m F^{2}+n, \\
\left(G^{\prime}\right)^{2}=k G^{4}+(m-1) G^{2}-n,
\end{array}
\]

где $k, m, n$ — произвольные константы, а штрих означает дифференцирование по аргументу (для решений уравнения (1.61) $\left(G^{\prime}\right)^{2}$ меняет знак). Здесь содержится некоторый намек на идею прямых методов отыскания $N$-солитонных решений СГ-уравнения, разработанных Хиротой [1.81] и Кодри с соавт. [1.82] в 1972-1973 гг. Они снова упоминаются в разд. 1.5. Различные псевдосферические поверхности, соответствующие решениям уравнения (1.64) (называемые поверхностями Эннепера с постоянной кривизной), были перечислены и описаны Штойрвальдом [1.83] в 1936 и включают 2л-кинк, 4л-кинк и бризер. Это было отмечено в работе Лэма [1.27], к которой мы отсылаем читателя за многими другими полезными историческими комментариями ${ }^{1}$ ).

Скирме $[1.84,1.85]$ независимо открыл эти три решения СГ-уравнения при построении первой интегрируемой модели теории поля в 1959-1962 гг. Изучение фазовых сдвигов показывает, что кинки (а также антикинки) взаимно отталкиваются, тогда как между кинком и антикинком наблюдается взаимное притяжение. Скирме приписал «топологический заряд» +1 и -1 кинку и антикинку соответственно. Қак мы объяснили, кинк (антикинк) интерполирует между 0 и $2 \pi$ (между $2 \pi$ и 0 соответственно). Заряды суть «прыжки» $u(\infty, t)-u(-\infty, t)$, нормированные на $2 \pi$; они являются константами движения, стабилизированными граничными условиями. Эти свойства характерны для топологических квантовых чисел [1.43]. Следовательно,
1) Псевдосферические поверхности — это поверхности с постоянной отрицательной гауссовой кривизной. Ранним примером (с кривизной — $a^{-2}$ ) служит поверхность вращения Бельтрами, получаемая вращением трактрисы $y=\sqrt{a^{2}-x^{2}}-a \ln \left[\left(a+\sqrt{a^{2}-x^{2}}\right) / x^{\prime}\right.$ вокруг оси $y$. Среди решений нелинейных эволюционных уравнений не только решения СГ-уравнения дают поверхности с постоянной отрицательной кривизной. Мы покажем в конце разд. 1.7, что по крайней мере решения КдФ, модифицированного КдФ, НУШ и, на самом деле, всех систем АКНС обладают этим свойством.

бризер не обладает зарядом: он сам является своей античастицей, и поэтому ему был сопоставлен мезон. Насколько нам известно, Скирме фактически «угадал» решения в виде $4 \pi$-кинка и бризера, подгоняя аналитические выражения к численным результатам.

Бурная деятельность в области создания сопоставимых моделей теории поля началась лишь в 1974 г. [1.39-1.41, 1.43, 1.86, 1.87]. Один из замечательных ее результатов — это связь между квантованным СГ-уравнением и массивной моделью Тирринга, обнаруженная Колменом $[1.43,1.88]$ в 1975 г. Она описана Лютером в гл. 12. Связи между сохраняющимися плотностями квантованного СГ-уравнения и массивной моделью Тирринга нашли Берг с соавт. [1.89], а также Кулиш и Ниссимов $[1.90,1.91]$. В последних работах показано, что квантованне приводнт лишь к небольшим изменениям классических законов сохранения. Михайлов [1.92] установил, что классическая массивная модель Тирринга разрешима методом обратной задачи рассеяния и обладает бесконечным набором законов сохранения. Классические результаты для СГ-уравнения, конечно, те же, что и в формулах (1.54), (1.59). Еще один важный результат — то, что из существования бесконечного набора сохраняющихся плотностей для некоторого нелинейного эволюционного уравнения следует разложимость его $S$-матрицы $[1.72,1.93-1.95]$.

Вследствие этого $S$-матриць: для квантованного СГ-уравнения и для массивной модели Тирринга были вычислены точно $[1.71,1.93,1.95]$; они неизбежно совпадают. Ныне вычислены $\mathcal{S}$-матрицы также для других моделей теории поля $[1.95,1.96]$ с размерностью $1+1$.