Рассмотрим оператор $L$ порядка $k$ с коэффициентами, периодическими с периодом $T$. Выберем базис $\left(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{n}\right)$ решений уравнения $L \varphi=E \varphi$ с начальными условиями в точке $x=x_{0}$, например, вида
\[
\begin{aligned}
\varphi_{1}\left(x_{0}\right)=1, \varphi_{1}^{(q)}\left(x_{0}\right)=0,1 \leqslant q \leqslant k-1, & \varphi_{j}^{(j-1)}\left(x_{0}\right)=1, \\
& \varphi_{j}^{(q)}\left(x_{0}\right)=0, \quad q
eq j-1 .
\end{aligned}
\]

Базис $\varphi_{i}\left(n, n_{0}, E\right)$ также может быть определен в дискретном случае, если решение уравнения $L \varphi=E \varphi$ определяется начальными значениями в $k$ соседних точках $n_{0}, n_{0}+1, \ldots, n_{0}+k-1$. $\mathrm{C}$ оператором $L$ ассоциируются обычно следующие объекты:
a) матрица трансляции (монодромии) $\widehat{T} \varphi_{l}\left(x, x_{0}, E\right)=\varphi_{l}(x+T$, $\left.x_{0}, E\right)=\sum_{i=1}^{k} \alpha_{i j}\left(x_{0}, E\right) \varphi_{l}\left(x, x_{0}, E\right), \widehat{T}=\left(\alpha_{i j}\right) ;$

b) блоховские собственные функции (или функции Флоке), такие, что $T \psi_{j}=\mu_{j}(E) \psi_{j}$, где $\mu_{j}(E)$ – собственные значения матрицы $\hat{T}$, не зависящие от $x_{0}$.

Если $L=-d^{2} / d x^{2}+u(x)$, то $\varphi\left(x, x_{0}, E\right)$ обычно обозначается через $C\left(x, x_{0}, E\right)$, а $\varphi_{2}\left(x, x_{0}, E\right)$ – через $S\left(x, x_{0}, E\right)$. Если $\mu_{j}(E)=$ $=\exp ( \pm i p T)$, где $\mu_{1}=\exp (i p T), \mu_{2}=\exp (-i p T)$, то $p(E)$ называется квазиимпульсом, а зависимость $E=E(p)$-законом дисперсии.

Нормируем блоховскую функцию требованием $\psi_{ \pm}=1$ при $x=x_{0}$; функция $\psi_{ \pm}\left(x, x_{0}, E\right)$ ограничена по модулю, если $p(E)$ вещественно. Такие отрезки на оси $E$ называются разрешенными зонами, зонами устойчивости или спектром оператора $L$ в $L_{2}(-\infty, \infty)$; дополнительные к ним промежутки называются лакунами. Для двух решений $L \varphi=E \varphi, L \psi=E \psi$ вронскиан $W(\varphi, \psi)=\varphi \psi^{\prime}-\psi \varphi^{\prime}$ является сохраняющейся величиной: $W^{\prime}=0$. Поэтому матрица $\hat{T}$ унимодулярна.
Справедлива простая
Лемма 10.1. Для оператора Шрёдингера $L=-d^{2} / d x^{2}+u(x)$ блоховские собственные функции $\psi_{ \pm}(x, E)$ однозначны и мероморфны по $E$ на римановой поверхности $\Gamma$, двулистно накрывающей $E$-плоскость и ветвящейся во всех концах разрешенных зон $E_{j}$. Полюсы функции $\psi_{ \pm}\left(x, x_{0}, E\right)$ не зависят от $x$ и располагаются на $\Gamma$ в точках $Q_{j}\left(x_{0}\right)=\left(\gamma_{j}, \pm\right)$ по одному над каждой лакуной конечной длины (или над ее концами) только на одном из листов $\pm$. Нули функции $\psi_{ \pm}$расположены в точках $Q_{q}(x)$ на $\Gamma$. При $E \rightarrow \infty$ мы имеем асимптотически $\psi_{ \pm}\left(x, x_{0}, E\right) \sim$ $\sim \exp \left[ \pm i \sqrt{E}\left(x-x_{0}\right)\right]$.

Это утверждение, по существу, тривиально; мы сформулировали его, поскольку до работ по теории уравнения КдФ указанная важная связь с римановымп поверхностями не играла серьезной роли в теории уравнения Штурма – Лиувилля (Шрёдингера) с периодическим потенциалом $u(x)$. Риманова поверхность $\Gamma$ имеет естественную проекцию на $E$-плоскость $\pi: \Gamma \rightarrow C$. Обозначим функцию $\psi_{ \pm}\left(x, x_{0}, E\right)$ через $\psi\left(x, x_{0}, P\right)$, где $P$ – точка Г. Точки $P_{j}, j= \pm$ из прообраза $\pi^{-1}(E)=\left(P_{+}, P_{-}\right)$дают базис решений $\psi_{+}, \psi_{-}$- для данной энеэгии $E$. Из условия $\hat{T} \psi=\mu(E) \psi$ получаем, что логарифмическая производная $d \ln \psi / d x=i \chi(x, E)$. не зависит от $x_{0}$ и периодична с периодом $T$.

Все эти свойства приводят к естественному обобщению блоховских функций на почти периодический случай и на более общие операторы $L$.

Определение 10.3. Пусть $L$ – оператор $k$-го порядка с почти периодическими коэффициентами (вообще говоря, комплексными и, возможно, мероморфными по $x$ ). Мы скажем, что оператор $L$ допустимый, если для всех комплексных $E$ уравнение $L \psi=E \psi$ имеет «блоховское» решение $\psi(x, P)$, мероморфное на некоторой $k$-листной римановой поверхности $\Gamma$ над $E$-плоскостью $\pi: \Gamma \rightarrow C$, где $P$ – точка $\Gamma$, и полюсы $\psi$ не зависят от $x$. Требуется, чтобы логарифмическая производная $d \ln \psi / d x$ была почти периодической с той же группой периодов, что и $L$; более того, функции $\psi\left(x, P_{j}\right)$ должны давать базис решений уравнения $L \psi=E \psi$, если $\pi\left(P_{j}\right)=E$ и $E$ не есть точка ветвления. При $E \rightarrow \infty$ на каждом листе мы должны иметь асимптотически для $\psi: \psi_{j} \sim$ $\sim \exp \left[k_{j}\left(x-x_{0}\right)\right]$, где $k_{j}^{-1}$ – локальный параметр для $\Gamma$ на этом листе $\left[k_{ \pm}=\sqrt{E}, L=-d^{2} / d x^{2}+u(x)\right]$. Мы назовем эту риманову поверхность $[$ спектром оператора $L$.

Определение 10.4. Мы скажем, что допустимый линейный оператор $L$ конечнозонный, если его спектр (поверхность $\Gamma$ ) имеет конечный род. В этом случае число полюсов блоховской функции $\psi(x, P)$ равно роду.

Для дискретных (локальных) операторов $L$ вводятся аналогичные понятия. Важность такого понятия конечнозонного оператора видна из следующего утверждения.

Теорема 10.1. Если трансляционно инвариантное (локальное) эволюционное уравнение (10.1) допускает представление Лакса с локальными трансляционно инвариантными операторами $L, A$, то каждое периодическое и квазипериодическое вещественное или комплексное (возможно, мероморфное по $x$ ) решение стационарного уравнения $K[u]=0$ определяет конечнозонный оператор $L$.

Для оператора Шрёдингера $L=-d^{2} / d x^{2}+u(x)$, а также для всех операторов $L$, которые возникают в теории нелинейных систем типа Кд $\Phi$, доказана и обратная теорема. Более того, во всех этих случаях стационарное уравнение (10.4) оказывается вполне интегрируемой гамильтоновой системой, решения которой квазипериодичны и даются в терминах $\theta$-функций, связанных с поверхностью Г (см. обзор [10.1]).

В периодическом случае матэица трансляции $\hat{T}$ оператора $L$ (порядка $k$ ) является функцией от $x_{0}, E$ удовлетворяет по $x_{0}$ уравнению
\[
\frac{\partial \widehat{T}}{\partial x_{0}}=[Q, \widehat{T}]
\]

где матрица $Q\left(x_{0}, E\right)$ полиномиальна по $E$ и выражается через $u\left(x_{0}\right), u^{\prime}\left(x_{0}\right), \ldots$ Для случая $L=-d^{2} / d x^{2}+u Q$ имеет вид $Q=\left(\begin{array}{cc}0 & u-E \\ 1 & 0\end{array}\right)$. Если справедливо (10.4), то соответствующие операторы $L$ и $A$ коммутируют, $[A, L]=0$. В базисе $\varphi_{i}\left(x, x_{0}, E\right)$.

– решений $L \varphi_{i}=E \varphi_{i}$ оператор $A$ задается матрицей
\[
A \varphi_{l}=\sum_{j} \lambda_{i j} \varphi_{i}, \quad \Lambda=\left(\lambda_{i j}\right)=\sum c_{q} \Lambda_{q} .
\]

Для нестационарного уравнения $\dot{L}=[L, A]$ матрица $\Lambda$ определяется равенством
\[
\dot{\varphi}_{j}-A \varphi_{j}=\sum_{i} \lambda_{i j} \varphi_{i} .
\]

Имеем уравнение
\[
\frac{\partial \widehat{T}}{\partial t}=[\Lambda, \widehat{T}]
\]

В стационарном случае $[\Lambda, \hat{T}]=0$.
Из этого мы выводим, что блоховская функция $\psi_{j}\left(x, x_{0}, E\right)$, определяемая в периодическом случае как собственный вектор матрицы $\hat{\tau}$, является также собственным вектором матрицы $\Lambda$. Сама матрица $\Lambda$ полиномиальна по $E$ (если $L$ имеет конечный порядок) и зависит только от $E, u\left(x_{0}\right), u^{\prime}\left(x_{0}\right), \ldots$ Ввиду этого блоховская функция $\psi$ (как собственный вектор матрицы $\Lambda$, локальный по $x_{0}$ ) определена также и в непериодическом случае.

Қак собственный вектор матрицы $\Lambda$, полиномиальной по $E$, блоховская функция $\psi$ мероморфна на римановой поверхности $\Gamma$ над $E$-плоскостью
\[
\operatorname{det}[y-\Lambda(E)]=P(y, E)=0
\]

и имеет правильную асимптотику при $E \rightarrow \infty$.
Из этих рассуждений мы внводим, что оператор $L$ конечнозонный, что и завершает доказательство теоремы 10.1.

Если $L=-d^{2} / d x^{2}+u$, то $\operatorname{tr} \Lambda=0, P(y, E)=y^{2}-R(E)$, где $R(E)=-\operatorname{det} \Lambda$. В общем (нестационарном) случае мы имеем (10.7) и (10.6). Из требования, чтобы оба этих равенства были справедливы, получаем
\[
\frac{\partial \Lambda}{\partial x_{0}}-\frac{\partial Q}{\partial t}=[Q, \Lambda]
\]

В стационарном случае выполняется
\[
\frac{\partial \widehat{T}}{\partial t}=\frac{\partial Q}{\partial t}=0, \quad \frac{\partial \Lambda}{\partial x_{0}}=[Q, \Lambda] .
\]

Это дает представление типа Лакса для стационарных уравнений (10.4) на матрицах, полиномиально зависящих от $E$. Интегралы (10.4) даются коэффициентами характеристического полинома
\[
\operatorname{det}[y-\Lambda(E)]=P(y, E)=0,
\]

где коэффициенты $\Lambda$ выражаются через $u\left(x_{0}\right), u^{\prime}\left(x_{0}\right), \ldots$. Для уравнения КдФ и всех его высших аналогов, где $L=-d^{2} / d x^{2}+$$+u$, риманова поверхность $\Gamma$ гиперэллиптическая: $y^{2}=$ $=R_{2 n+1}(E)=-\operatorname{det} \Lambda$. В базисе $\varphi_{1}=C\left(x, x_{0}, E\right), \varphi_{2}=S\left(x, x_{0}, E\right)$ матрицы $\Lambda$, $\uparrow$ вещественны, если потенциал и вещественный. Если $i \chi_{ \pm}(x, E)=d \ln \psi_{ \pm} / d x$, то $i \chi^{\prime}+\chi^{2}=u-E, \chi=\chi_{R}+i \chi_{l}$, где $-\chi_{I}=\frac{1}{2}\left(\ln \chi_{R}\right)^{\prime}$. Это $\chi_{R}$ совпадает с вронскианом
\[
2 \chi_{R}=\psi_{+}^{\prime} \psi_{-}-\psi_{-}^{\prime} \psi_{+}=W\left(\psi_{+}, \psi_{-}\right) .
\]

Имеем равенства
\[
\begin{array}{c}
\psi_{ \pm}=C\left(x, x_{0}, E\right)+i \chi_{ \pm}\left(x_{0}, E\right) S\left(x, x_{0}, E\right) \\
\psi_{ \pm}=\frac{\chi_{R}(x, E)}{\chi_{R}\left(x_{0}, E\right)} \exp \left(i \int_{x_{0}}^{x} \chi_{k} d x\right) \\
\hat{T}=\left(\alpha_{i j}\right), \quad \chi_{R}\left(x_{0}, E\right)=\frac{\sqrt{1-a^{2}}}{\alpha_{21}}, \quad a=\frac{\alpha_{11}+\alpha_{22}}{2}=\frac{1}{2} \operatorname{tr} \widehat{T} .
\end{array}
\]

Для временно́й динамики в силу любого из высших уравнений КдФ из (10.5), (10.7) следует
\[
\dot{\chi}_{R}=\left(\lambda_{21} \chi_{R}\right)^{\prime} .
\]

Если $L$ конечнозонный, то $\chi_{R}$ имеет вид
\[
\chi_{R}(x, E)=\frac{\sqrt{\bar{\Pi}\left(E-E_{i}\right)}}{P_{n}(x, E)},
\]

где $E_{i}$ – границы лакун (точки ветвления Г), а $P_{n}(x, E)=$ $=\prod_{j=1}^{n}\left[E-\gamma_{j}(x)\right]$ есть полином по $E$ степени $n$.

Полюсы функции $\psi_{ \pm}\left(x, x_{0}, E\right)$ лежат на $\Gamma$ над точками $\gamma_{i}\left(x_{0}\right)$, а нули над точками $\gamma_{j}(x)$. Из (10.11) вытекает, что интеграл $p(E)=\frac{1}{T} \int_{x_{0}}^{x_{0}+T} \chi_{R} d x$ сохраняется при любом $E$; сравнивая (10.11) и (10.12), получаем динамику по $t$ параметров $\gamma_{j}$ :
\[
\dot{\gamma}_{j}=\left(\lambda_{21}\right)_{E=\gamma_{j}} \sqrt{R(E)} / \prod_{k
eq j}\left(\gamma_{j}-\gamma_{k}\right) .
\]

Зависимость $\gamma_{j}$ от $x$ имеет внд
\[
\gamma_{i}^{\prime}= \pm \sqrt{R\left(\gamma_{j}\right)} / \prod_{k
eq j}\left(\gamma_{j}-\gamma_{k}\right)
\]

Все эти уравнения линеаризуются так называемой «подстановкой Абеля», которую мы обсудим ниже. Из (10.13), (10.14) ясно, что они написаны для совокупности точек $\left(Q_{i}=\left(\gamma_{i}, \pm\right)\right.$ ) на римановой поверхности $\Gamma$.