Главная > СОЛИТОНЫ
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Общей чертой всех рассмотренных выше классов эволюционных уравнений является инвариантность дискретных собственных значений. Тем не менее в общей теории нет ничего, чтобы запрещало их движение. В самом деле, ясно, что практически каждое операторное уравнение вида
(rtqt)+Ω(rq)=0

посредством обратного преобразования рассеяния сводится к эквивалентной механической системе в пространстве данных рассеяния. В этих системах все нормальные моды сильно связаны, и собственные значения эволюционируют. Из-за сильной связи нормальных мод каноническое преобразование к данным рассеяния не всегда оказывается непосредственно полезным. Ниже будет описано (этот материал содержится также в [6.59]) множество таких операторов Ω, что соответствующие собственные значения движутся, но уравнения в пространстве данных рассеяния по-прежнему разделимы.

Желательно, чтобы оператор Ω действовал на каждую §-компоненту разложения (rq) отдельно и, кроме того, его действие на ΨkA для некоторого k описывалось формулой
ΔΨkA=αΨkA+χkA.

В этом случае в разложении Ω(rq) один из членов компенсируется коэффициентом ζkt при χkA в разложении (rtqt). Поскольку
(LAζk)χkA=ΨkA,

то в качестве такого оператора можно выбрать оператор (LAζk)1. Согласно определению (6.98), для Ψ~A(x,η) имеем
(LAζk)Ψ~A(x,ζk)=i2(rq).

Напомним, что Ψ~A(x,η) определено для вещественных η или для дискретных собственных значений. Значит,
(LAζk)1(rq)=2iΨ~A(x,ζk).

Из (6.99) при η=ζk непосредственно вытекает, что в выражение для Ψ~A входит как ΨA(x,ζk), так и /ζA(x,ζk)=χkA. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно записать интеграл вдоль контура C как сумму интеграла вдоль вещественной оси и вклада от полюсов. Вычет при ζ=ζk содержит оба приведенных члена, поскольку a(ζ)(ζζk ) имеет двойной полюс при ζ=ζk.
Из сделанных замечаний вытекает, что уравнение
(rtqt)=4iΩjΨˇA(x,ζj)+4iΩ¯jΨ~A(x,ζ¯j)

отвечает следующему потоку на пространстве данных рассеяния:
(b¯a)t=2M(ζ)b¯a,(ba¯)t=2M(ζ)ba¯,βk,t=2M(ζk)βk,β¯kt=2M(ζ¯k)β¯k,ζk,t=ζ¯k,t=0 при keqj,ζj,t=2Ωj,βjt=2Ω¯jβjζjζ¯j+2Ωjβj,ζ¯l,t=2Ω¯j,β¯j,t=2Ωjβ¯jζjζ¯j2Ω¯jβj;

здесь
M(ζ)=Ωjζζj+Ω¯jζζ¯j.

Во-первых, заметим, что эволюция величины βj, характеризуюцей положение солитона, может быть записана в виде
tβ[ζj(t),t]=2Ω¯jζjζ¯jβ[ζj(t),t]
rae
tβ[ζJ(t),t]=ddtβ[ζj(t),t]ζl,t(βζ)ζI.

Это означает, что эволюция βi(β¯j) зависит лишь от Ω¯j(Ωj) и от ζj(t)(ζ¯j(t)). Более того, весь поток (6.122) допускает простую интерпретацию.
1 Рассмотрим зависимость от времени функции a(ζ,t). Для простоты предположим, что r=q,Ωj=Ωj,ζ¯k=ζk (при всех k ). Тогда из (6.32) следует
a(ζ,t)=a(ζ,0)ζζj(t)ζζj(0)ζζj(0)ζζj(t).

Это означает, что член (ζζj(0))/(ζζj(0)) в выражении (6.86) для a(ζ,0)
a(ξ,0)=ζζk(0)ζζk(0)exp(12πi+lnaaζξdξ)

должен быть заменен на (ζζI(t))/(ζζI(t)). Можно также константа. Отсюда вытекает, что единственные элементы данных рассеяния, которые изменяются, суть ζl и ζl. Их эволюция определяется коэффициентами эволюционных уравнений (6.121). Из (6.32) в силу равенств φk=bkψk и bkbk=1 следует, что (6.121) может быть записано в виде
(rtqt)=gradq,rH

где
H=4iΩjlnbj+4iΩjlnbj.

В этом выражении bj и bi понимаются как функционалы от r и q, вариации в которых относительно этих переменных даются (6.32).

Из сказанного следует, что все данные рассеяния 2iζk,2iζk, keqj,lnbk,lnbk,π1lnaa,lnb(ζ), которые играют роль переменных действие — угол, оказываются интегралами движения. Переменные действие — угол (2iζj,lnbj) и ( 2iζj,lnbj), связанные с собственными значениями ζj и ζj, меняются ролями. Роль переменных действия играют величины lnbj(lnbj), а величины 2iζj(2iζj) есть угловые переменные, эволюция которых определяется уравнениями
t2iζj=δHδlnbj=4iΩj,t2iζj=δHδlnbj=4iΩj.

Вновь подчеркнем, что эволюция данных E+или Eполностью определяется зависимостью от ζj(t) или ζj(t).
Например, если r=q,q вещественно и
M(ζ)=12[iη^t(t)ζiη^(t)+iη^t(t)ζ+iη^(t)]

то соответствующее эволюционное уравнение имеет вид
rxxt+(2rRt)x4η^2(t)rt=4η^trx,R=xr2dy.

Если одно из собственных значений, связанных с r(x,0), соответствует η^(0), то последующее поведение ассоциированного солитона определяется формулой
r(x,t)=2η^(t)sech[2η^(t)x+ln(η^(t)η^(0))].

Вопросы, связанные с неединственностью солитона, обсуждаются в [6.59].

Объединяя общие черты разд. 6.5,6.76.9, можно записать общую форму эволюционных уравнений, интегрируемых обратным преобразованием рассеяния (для которого задачей на собственные значения является (6.16)), следующим образом:
(δrδq)+2Ω(LA)(rq)=+g(η)Ψ~A(x,η)dη++j=1NgjΨ~A(x,ζj)+j=1N¯g¯lΨ¯A(x,ζ¯j).

1
Оглавление
email@scask.ru