Общей чертой всех рассмотренных выше классов эволюционных уравнений является инвариантность дискретных собственных значений. Тем не менее в общей теории нет ничего, чтобы запрещало их движение. В самом деле, ясно, что практически каждое операторное уравнение вида
\[
\left(\begin{array}{c}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)+\Omega\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=0
\]

посредством обратного преобразования рассеяния сводится к эквивалентной механической системе в пространстве данных рассеяния. В этих системах все нормальные моды сильно связаны, и собственные значения эволюционируют. Из-за сильной связи нормальных мод каноническое преобразование к данным рассеяния не всегда оказывается непосредственно полезным. Ниже будет описано (этот материал содержится также в [6.59]) множество таких операторов $\Omega$, что соответствующие собственные значения движутся, но уравнения в пространстве данных рассеяния по-прежнему разделимы.

Желательно, чтобы оператор $\Omega$ действовал на каждую §-компоненту разложения $\left(\begin{array}{l}r \\ q\end{array}\right)$ отдельно и, кроме того, его действие на $\Psi_{k}^{A}$ для некоторого $k$ описывалось формулой
\[
\Delta \Psi_{k}^{A}=\alpha \Psi_{k}^{A}+\chi_{k}^{A} .
\]

В этом случае в разложении $\Omega\left(\begin{array}{l}r \\ q\end{array}\right)$ один из членов компенсируется коэффициентом $\zeta_{k t}$ при $\chi_{k}^{A}$ в разложении $\left(\begin{array}{c}r_{t} \\ -q_{t}\end{array}\right)$. Поскольку
\[
\left(L^{A}-\zeta_{k}\right) \chi_{k}^{A}=\Psi_{k}^{A},
\]

то в качестве такого оператора можно выбрать оператор $\left(L^{A}-\zeta_{k}\right)^{-1}$. Согласно определению (6.98), для $\widetilde{\Psi}^{A}(x, \eta)$ имеем
\[
\left(L^{A}-\zeta_{k}\right) \tilde{\Psi}^{A}\left(x, \zeta_{k}\right)=\frac{i}{2}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right) .
\]

Напомним, что $\tilde{\Psi}^{A}(x, \eta)$ определено для вещественных $\eta$ или для дискретных собственных значений. Значит,
\[
\left(L^{A}-\zeta_{k}\right)^{-1}\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right)=-2 i \tilde{\Psi}^{A}\left(x, \zeta_{k}\right) .
\]

Из (6.99) при $\eta=\zeta_{k}$ непосредственно вытекает, что в выражение для $\tilde{\Psi}^{A}$ входит как $\Psi^{A}\left(x, \zeta_{k}\right)$, так и $\partial / \partial \zeta^{A}\left(x, \zeta_{k}\right)=\chi_{k}^{A}$. Для того чтобы убедиться в этом, достаточно записать интеграл вдоль контура $C$ как сумму интеграла вдоль вещественной оси и вклада от полюсов. Вычет при $\zeta=\zeta_{k}$ содержит оба приведенных члена, поскольку $a(\zeta)\left(\zeta-\zeta_{k}\right.$ ) имеет двойной полюс при $\zeta=\zeta_{k}$.
Из сделанных замечаний вытекает, что уравнение
\[
\left(\begin{array}{c}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)=4 i \Omega_{j} \check{\Psi}^{A}\left(x, \zeta_{j}\right)+4 i \bar{\Omega}_{j} \widetilde{\Psi}^{A}\left(x, \bar{\zeta}_{j}\right)
\]

отвечает следующему потоку на пространстве данных рассеяния:
\[
\begin{array}{l}
\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)_{t}=2 M(\zeta) \frac{\bar{b}}{a}, \quad\left(\frac{b}{\bar{a}}\right)_{t}=-2 M(\zeta) \frac{b}{\bar{a}}, \\
\beta_{k, t}=2 M\left(\zeta_{k}\right) \beta_{k}, \quad \bar{\beta}_{k t}=-2 M\left(\bar{\zeta}_{k}\right) \bar{\beta}_{k}, \\
\zeta_{k, t}=\bar{\zeta}_{k, t}=0 \quad \text { при } k
eq j, \\
\zeta_{j, t}=2 \Omega_{j}, \quad \beta_{j t}=\frac{2 \bar{\Omega}_{j} \beta_{j}}{\zeta_{j}-\bar{\zeta}_{j}}+2 \Omega_{j} \beta_{j}^{\prime}, \\
\bar{\zeta}_{l, t}=-2 \bar{\Omega}_{j}, \quad \bar{\beta}_{j, t}=\frac{2 \Omega_{j} \bar{\beta}_{j}}{\zeta_{j}-\bar{\zeta}_{j}}-2 \bar{\Omega}_{j} \beta_{j}^{\prime} ;
\end{array}
\]

здесь
\[
M(\zeta)=\frac{\Omega_{j}}{\zeta-\zeta_{j}}+\frac{\bar{\Omega}_{j}}{\zeta-\bar{\zeta}_{j}} .
\]

Во-первых, заметим, что эволюция величины $\beta_{j}$, характеризуюцей положение солитона, может быть записана в виде
\[
\frac{\partial}{\partial t} \beta\left[\zeta_{j}(t), t\right]=\frac{2 \bar{\Omega}_{j}}{\zeta_{j}-\bar{\zeta}_{j}} \beta\left[\zeta_{j}(t), t\right]
\]
rae
\[
\frac{\partial}{\partial t} \beta\left[\zeta_{J}(t), t\right]=\frac{d}{d t} \beta\left[\zeta_{j}(t), t\right]-\zeta_{l, t}\left(\frac{\partial \beta}{\partial \zeta}\right)_{\zeta_{I}} .
\]

Это означает, что эволюция $\beta_{i}\left(\bar{\beta}_{j}\right)$ зависит лишь от $\bar{\Omega}_{j}\left(\Omega_{j}\right)$ и от $\zeta_{j}(t)\left(\bar{\zeta}_{j}(t)\right)$. Более того, весь поток (6.122) допускает простую интерпретацию.
1 Рассмотрим зависимость от времени функции $a(\zeta, t)$. Для простоты предположим, что $r=-q^{*}, \vec{\Omega}_{j}=-\Omega_{j}^{*}, \bar{\zeta}_{k}=\zeta_{k}^{*}$ (при всех $k$ ). Тогда из (6.32) следует
\[
a(\zeta, t)=a(\zeta, 0) \frac{\zeta-\zeta_{j}(t)}{\zeta-\zeta_{j}(0)} \frac{\zeta-\zeta_{j}^{*}(0)}{\zeta-\zeta_{j}^{*}(t)} .
\]

Это означает, что член $\left(\zeta-\zeta_{j}(0)\right) /\left(\zeta-\zeta_{j}^{*}(0)\right)$ в выражении (6.86) для $a(\zeta, 0)$
\[
a(\xi, 0)=\prod \frac{\zeta-\zeta_{k}(0)}{\zeta-\zeta_{k}^{*}(0)} \exp \left(\frac{1}{2 \pi i} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\ln a a^{*}}{\zeta-\xi} d \xi\right)
\]

должен быть заменен на $\left(\zeta-\zeta_{I}(t)\right) /\left(\zeta-\zeta_{I}^{*}(t)\right)$. Можно также константа. Отсюда вытекает, что единственные элементы данных рассеяния, которые изменяются, суть $\zeta_{l}$ и $\zeta_{l}^{*}$. Их эволюция определяется коэффициентами эволюционных уравнений (6.121). Из (6.32) в силу равенств $\varphi_{k}=b_{k} \psi_{k}$ и $b_{k} b_{k}^{*}=1$ следует, что (6.121) может быть записано в виде
\[
\left(\begin{array}{c}
r_{t} \\
-q_{t}
\end{array}\right)=\operatorname{grad}_{q, r} H
\]

где
\[
H=4 i \Omega_{j} \ln b_{j}+4 i \Omega_{j}^{*} \ln b_{j}^{*} .
\]

В этом выражении $b_{j}$ и $b_{i}^{*}$ понимаются как функционалы от $r$ и $q$, вариации в которых относительно этих переменных даются (6.32).

Из сказанного следует, что все данные рассеяния $2 i \zeta_{k}, 2 i \zeta_{k}^{*}$, $k
eq j, \ln b_{k}, \ln b_{k}^{*}, \pi^{-1} \ln a a^{*}, \ln b(\zeta)$, которые играют роль переменных действие – угол, оказываются интегралами движения. Переменные действие – угол $\left(2 i \zeta_{j}, \ln b_{j}\right)$ и ( $\left.2 i \zeta_{j}^{*}, \ln b_{j}^{*}\right)$, связанные с собственными значениями $\zeta_{j}$ и $\zeta_{j}^{*}$, меняются ролями. Роль переменных действия играют величины $\ln b_{j}\left(\ln b_{j}^{*}\right)$, а величины $2 i \zeta_{j}\left(2 i \zeta_{j}^{*}\right)$ есть угловые переменные, эволюция которых определяется уравнениями
\[
\frac{\partial}{\partial t} 2 i \zeta_{j}=\frac{\delta H}{\delta \ln b_{j}}=4 i \Omega_{j}, \quad \frac{\partial}{\partial t} 2 i \zeta_{j}^{*}=\frac{\delta H}{\delta \ln b_{j}^{*}}=4 i \Omega_{j}^{*} .
\]

Вновь подчеркнем, что эволюция данных $E_{+}$или $E_{-}$полностью определяется зависимостью от $\zeta_{j}(t)$ или $\zeta_{j}^{*}(t)$.
Например, если $r=-q^{*}, q$ вещественно и
\[
M(\zeta)=\frac{1}{2}\left[\frac{i \hat{\eta}_{t}(t)}{\zeta-i \hat{\eta}(t)}+\frac{i \hat{\eta}_{t}(t)}{\zeta+i \hat{\eta}(t)}\right]
\]

то соответствующее эволюционное уравнение имеет вид
\[
\begin{array}{c}
r_{x x t}+\left(2 r R_{t}\right)_{x}-4 \hat{\eta}^{2}(t) r_{t}=4 \hat{\eta}_{t} r_{x}, \\
R=\int_{-\infty}^{x} r^{2} d y .
\end{array}
\]

Если одно из собственных значений, связанных с $r(x, 0)$, соответствует $\hat{\eta}(0)$, то последующее поведение ассоциированного солитона определяется формулой
\[
r(x, t)=2 \hat{\eta}(t) \operatorname{sech}\left[2 \hat{\eta}(t) x+\ln \left(\frac{\hat{\eta}(t)}{\hat{\eta}(0)}\right)\right] .
\]

Вопросы, связанные с неединственностью солитона, обсуждаются в $[6.59]$.

Объединяя общие черты разд. $6.5,6.7-6.9$, можно записать общую форму эволюционных уравнений, интегрируемых обратным преобразованием рассеяния (для которого задачей на собственные значения является (6.16)), следующим образом:
\[
\begin{aligned}
\left(\begin{array}{c}
\delta r \\
-\delta q
\end{array}\right)+2 \Omega\left(L^{A}\right)\left(\begin{array}{l}
r \\
q
\end{array}\right) & =\int_{-\infty}^{+\infty} g(\eta) \tilde{\Psi}^{A}(x, \eta) d \eta+ \\
& +\sum_{j=1}^{N} g_{j} \widetilde{\Psi}^{A}\left(x, \zeta_{j}\right)+\sum_{j=1}^{\bar{N}} \bar{g}_{l} \bar{\Psi}^{A}\left(x, \bar{\zeta}_{j}\right) .
\end{aligned}
\]