Если с самого начала налагается ограничение $r=-q$, то вариации по $r$ и $q$ уже не являются независимыми. Поэтому формулировка гамильтонова формализма должна быть изменена. Предположим, что $r$ и $q$ вещественны. В этом случае имеют место следующие соотношения:
$$\begin{array}{c}\overline{\phi }(\zeta )=S{\phi }^{\ast }\left({\zeta }^{\ast }\right)=S\phi (-\zeta ),\overline{\mathrm{\Psi }}(\zeta )=S{\psi }^{\ast }\left({\zeta }^{\ast }\right)=S\psi (-\zeta ),\\ S=\left(\begin{array}{rr}0& 1\\ -1& 0\end{array}\right),\overline{b}(\zeta )=b^{\ast }\left({\zeta }^{\ast }\right)=b(-\zeta ),\overline{a}(\zeta )=a^{\ast }\left({\zeta }^{\ast }\right)=a(-\zeta ),\\ {\overline{\zeta }}_k=-{\zeta }_k,{\overline{a}}_k^{\prime }={\frac{\partial }{\partial \zeta }\overline{a}(\zeta )|}_{{\xi }_k}=-a_k^{\prime }=-{\frac{\partial }{\partial \zeta }a(\zeta )|}_{{\zeta }_k},\\ {\overline{\beta }}_k=-{\beta }_k,{\overline{\gamma }}_k=-{\gamma }_k.\text{ (6.133) }\end{array}$$

Выражения (6.57), (6.58) при этом дают
$$\begin{array}{c}\delta q=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta \left(\frac{b}{a}\right){\psi }^{-}(\zeta )d\zeta +2i\sum (\delta {\gamma }_k{\psi }_k^{-}+{\gamma }_k\delta {\zeta }_k{\tau }_k^{-})\\ q=-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{b}{a}{\psi }^{+}(\zeta )d\zeta +2i\sum {\gamma }_k{\psi }_k^{+}\end{array}$$
rде
$$\begin{array}{c}{\psi }^{-}(\zeta )={\psi }_2^2-{\psi }_1^2,{\psi }_k^{-}={({\psi }_2^2-{\psi }_1^2)}_k,{\tau }_k^{-}=\frac{\partial }{\partial \zeta }{({\psi }_2^2-{\psi }_1^2)}_{{\xi }_k}.\\ {\psi }^{+}(\zeta )={\psi }_2^2+{\psi }_1^2{\psi }_k^{+}={({\psi }_2^2+{\psi }_1^2)}_k.\end{array}$$

Функция ${\psi }^{-}(\zeta )$ удовлетворяет уравнению
$$L_F{\psi }^{-}(\zeta )=(-\frac{1}{4}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-q^2+q_x{\int }_i^{+\mathrm{\infty }}dyq){\psi }^{-}(\zeta )={\zeta }^2{\psi }^{-}(\zeta )$$

Имеет место равенство
$${\psi }_x^{+}(\zeta )=2i{\psi }^{-}(\zeta )$$

Двойственные разложения (6.55), (6.56) сводятся к
$$\begin{array}{rl}\delta q& =\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\delta \frac{\overline{b}}{a}{\phi }^{-}(\zeta )d\zeta -2i\sum (\delta {\beta }_k{\phi }_k^{-}+{\beta }_k\delta {\zeta }_k{\chi }_k^{-}),\\ q& =-\frac{1}{\pi }{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{\overline{b}}{a}{\phi }^{+}(\zeta )d\zeta +2i\sum {\beta }_k{\phi }_k^{+}.\end{array}$$

Здесьь
$$\begin{array}{c}{\phi }^{-}(\zeta )={\phi }_2^2-{\phi }_1^2,{\phi }^{+}(\zeta )={\phi }_2^2+{\phi }_1^2,{\phi }_k^{-}={({\phi }_2^2-{\phi }_1^2)}_{{\zeta }_k},\\ {\phi }_k^{+}={({\phi }_2^2+{\phi }_1^2)}_{{\zeta }_k},{\chi }_k^{\prime }={\frac{\partial }{\partial \zeta }({\phi }_2^2-{\phi }_1^2)|}_{{\zeta }_k}.\end{array}$$

Функции ${\phi }^{-}(\zeta )$ и ${\phi }^{+}(\zeta )$ удовлетворяют соотношениям
$$\begin{array}{c}{L}_F^A{\phi }^{+}(\zeta )=(-\frac{1}{4}\frac{{\partial }^2}{\partial x^2}-q^2+q{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}dy{q}_y){\phi }^{+}(\zeta )={\zeta }^2{\phi }^{+}(\zeta ),\\ {\phi }_x^{+}(\zeta )=2i\zeta {\phi }^{-}(\zeta ).\end{array}$$

Для любой целой функции $F\left({\zeta }^{\epsilon }\right)$ эволюционное уравнение
$$q_t=i\frac{\partial }{\partial x}F\left(L_F^A\right)q$$

как следует из (6.139), (6.140), (6.142), разделяется в пространстве данных рассеяния на выражения
$${\left(\frac{\overline{b}}{a}\right)}_t=2\zeta F\left({\zeta }^2\right)\frac{\overline{b}}{a},{\beta }_{kt}=2{\zeta }_{k}F\left({\zeta }_k^2\right){\beta }_k,{\zeta }_{kt}=0,k=1,\dots ,N.$$

Например, для $F\left({\zeta }^2\right)\rightleftharpoons -4i{\zeta }^2$ уравнение (6.143) является модифицированным уравнением Кортевега — де Фриза
$$q_t+6q^2{q}_x+q_{xxx}=0.$$

С другой стороны, это уравнение может быть обобщено на сингулярные функции $F\left({\zeta }^2\right)$. Если $F\left({\zeta }^2\right)=i/4{\zeta }^2$, то получим
$$q_t=\frac{1}{2}{({\phi }_2{\overline{\phi }}_2-{\phi }_1{\tilde{\phi }}_1)}_{\zeta =0}=-\frac{1}{2}\sin u,$$

где $u(x,t)=-2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}q(x,t)dx$. Здесь использованы формулы, полученные в $[6.4{\bar{9}}^{-\mathrm{\infty }}$.

С помощью соотношений ортогональности, которые приводятся в приложении $\mathrm{B}$, можно показать, что симплектическая форма
$${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\{\frac{1}{2}\delta q\wedge {\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\delta qdy\}dx$$

сохраняется при обратном преобразовании рассеяния и равна
$${\int }_0^{+\mathrm{\infty }}\delta \left(\frac{\ln a{a}^{\ast }}{-2\xi \pi }\right)\wedge \delta \mathrm{Arg}b(\xi )d\xi +\sum \delta (-\ln {\zeta }_k)\wedge \delta \ln b_k.$$

Переменные действие — угол суть
$\frac{\ln a{a}^{\ast }}{-2\xi \pi }$ (при $\xi$ вещественных и положительных), $-\ln {\zeta }_k$ и
$$\mathrm{Arg}b(\xi ),\ln b_k$$

соответственно.
В [6.63] показано также, что
$$iF\left(L_F^A\right)q=\frac{\delta H}{\delta q}.$$

где в случае дисперсионного соотношения
$$\mathrm{\Omega }(\zeta )=\zeta F\left({\zeta }^2\right)=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{a}_{2m+1}{\zeta }^{2m+1}$$

гамильтониан есть
$$H_{\mathrm{\Omega }}=\sum _0^{\mathrm{\infty }}{a}_{2m+1}{C}_{2m+1}.$$

Последовательность ${\left\{C_r\right\}}_{r=1}^{\mathrm{\infty }}$ определена (6.25).
Для сингулярных дисперсионных соотношений гамильтониан определяется значениями функции $\ln a(\zeta )$ и ее производных, взятых в некоторой точке $\hat{\zeta }$. Для $F\left({\zeta }^2\right)=i/4{\zeta }^2$, что, как было показано, отвечает уравнению sine-Gordon, гамильтониан есть
$$H=\frac{i}{4}{(\frac{\partial }{\partial \zeta }\ln a)}_{\zeta =0};$$

согласно (6.21),
$$\begin{array}{rl}H& =-\frac{1}{4}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{({\phi }_1{\overline{\phi }}_2+{\overline{\phi }}_1{\phi }_2+1)}_{\hslash =0}dx=\\ & =-\frac{1}{4}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[1-\cos (-2{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{x}qdy)]dx.\end{array}$$

Посредством (6.86) гамильтониан может быть выражен через данные рассеяния:
$$H=\sum _{\mathrm{Re}{\xi }_{k}eq0}(-\frac{i}{2{\zeta }_k}+\frac{i}{2{\xi }_k^{\ast }})-\sum _{{\eta }_k={\eta }_k^{\ast }}\frac{1}{2{\eta }_k}+\frac{1}{4\pi i}{\int }_0^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln a{a}^{\ast }}{{\xi }^2}d\xi .$$

В этой формуле выделяются два типа собственных дискретных значений: ${\zeta }_k\left(\mathrm{Re}{\zeta }_{k}eq0\right)$ и $i{\eta }_k$. Подобное выделение связано с тем, что первому типу, т. е. парам $({\zeta }_k,-{\zeta }_k^{\ast })$, отвечают более сложные солитоны, называемые бризерами. Теперь легко проверить, что
$$\begin{array}{c}\frac{d\ln b_k}{dt}=\frac{\delta H}{\delta (-\ln {\zeta }_k)}=\frac{-i}{2{\zeta }_k},\\ \frac{d\ln b(\xi )}{dt}=\frac{\delta H}{\delta (-\frac{\ln a{a}^{\ast }}{2\pi \xi })}=-\frac{1}{2\xi },\\ \frac{d(-\ln {\zeta }_k)}{dt}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\ln a{a}^{\ast }}{-2\pi {\pi }_{\xi }^{\ast }}\right)=0.\end{array}$$

С учетом (6.133) это полностью согласуется с (6.144).