Если с самого начала налагается ограничение $r=-q$, то вариации по $r$ и $q$ уже не являются независимыми. Поэтому формулировка гамильтонова формализма должна быть изменена. Предположим, что $r$ и $q$ вещественны. В этом случае имеют место следующие соотношения:
\[
\begin{array}{c}
\bar{\varphi}(\zeta)=S \varphi^{*}\left(\zeta^{*}\right)=S \varphi(-\zeta), \quad \bar{\Psi}(\zeta)=S \psi^{*}\left(\zeta^{*}\right)=S \psi(-\zeta), \\
S=\left(\begin{array}{rr}
0 & 1 \\
-1 & 0
\end{array}\right), \quad \bar{b}(\zeta)=b^{*}\left(\zeta^{*}\right)=b(-\zeta), \quad \bar{a}(\zeta)=a^{*}\left(\zeta^{*}\right)=a(-\zeta), \\
\bar{\zeta}_{k}=-\zeta_{k}, \quad \bar{a}_{k}^{\prime}=\left.\frac{\partial}{\partial \zeta} \bar{a}(\zeta)\right|_{\xi_{k}}=-a_{k}^{\prime}=-\left.\frac{\partial}{\partial \zeta} a(\zeta)\right|_{\zeta_{k}}, \\
\bar{\beta}_{k}=-\beta_{k}, \quad \bar{\gamma}_{k}=-\gamma_{k} . \quad \text { (6.133) }
\end{array}
\]

Выражения (6.57), (6.58) при этом дают
\[
\begin{array}{c}
\delta q=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta\left(\frac{b}{a}\right) \psi^{-}(\zeta) d \zeta+2 i \sum\left(\delta \gamma_{k} \psi_{k}^{-}+\gamma_{k} \delta \zeta_{k} \tau_{k}^{-}\right) \\
q=-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{b}{a} \psi^{+}(\zeta) d \zeta+2 i \sum \gamma_{k} \psi_{k}^{+}
\end{array}
\]
rде
\[
\begin{array}{c}
\psi^{-}(\zeta)=\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}, \quad \psi_{k}^{-}=\left(\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}\right)_{k}, \quad \tau_{k}^{-}=\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\psi_{2}^{2}-\psi_{1}^{2}\right)_{\xi_{k}} . \\
\psi^{+}(\zeta)=\psi_{2}^{2}+\psi_{1}^{2} \psi_{k}^{+}=\left(\psi_{2}^{2}+\psi_{1}^{2}\right)_{k} .
\end{array}
\]

Функция $\psi^{-}(\zeta)$ удовлетворяет уравнению
\[
L_{F} \psi^{-}(\zeta)=\left(-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-q^{2}+q_{x} \int_{i}^{+\infty} d y q\right) \psi^{-}(\zeta)=\zeta^{2} \psi^{-}(\zeta)
\]

Имеет место равенство
\[
\psi_{x}^{+}(\zeta)=2 i \psi^{-}(\zeta)
\]

Двойственные разложения (6.55), (6.56) сводятся к
\[
\begin{aligned}
\delta q & =\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \delta \frac{\bar{b}}{a} \varphi^{-}(\zeta) d \zeta-2 i \sum\left(\delta \beta_{k} \varphi_{k}^{-}+\beta_{k} \delta \zeta_{k} \chi_{k}^{-}\right), \\
q & =-\frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\bar{b}}{a} \varphi^{+}(\zeta) d \zeta+2 i \sum \beta_{k} \varphi_{k}^{+} .
\end{aligned}
\]

Здесьь
\[
\begin{array}{c}
\varphi^{-}(\zeta)=\varphi_{2}^{2}-\varphi_{1}^{2}, \quad \varphi^{+}(\zeta)=\varphi_{2}^{2}+\varphi_{1}^{2}, \quad \varphi_{k}^{-}=\left(\varphi_{2}^{2}-\varphi_{1}^{2}\right)_{\zeta_{k}}, \\
\varphi_{k}^{+}=\left(\varphi_{2}^{2}+\varphi_{1}^{2}\right)_{\zeta_{k}}, \quad \chi_{k}^{\prime}=\left.\frac{\partial}{\partial \zeta}\left(\varphi_{2}^{2}-\varphi_{1}^{2}\right)\right|_{\zeta_{k}} .
\end{array}
\]

Функции $\varphi^{-}(\zeta)$ и $\varphi^{+}(\zeta)$ удовлетворяют соотношениям
\[
\begin{array}{c}
L_{F}^{A} \varphi^{+}(\zeta)=\left(-\frac{1}{4} \frac{\partial^{2}}{\partial x^{2}}-q^{2}+q \int_{-\infty}^{x} d y q_{y}\right) \varphi^{+}(\zeta)=\zeta^{2} \varphi^{+}(\zeta), \\
\varphi_{x}^{+}(\zeta)=2 i \zeta \varphi^{-}(\zeta) .
\end{array}
\]

Для любой целой функции $F\left(\zeta^{\varepsilon}\right)$ эволюционное уравнение
\[
q_{t}=i \frac{\partial}{\partial x} F\left(L_{F}^{A}\right) q
\]

как следует из (6.139), (6.140), (6.142), разделяется в пространстве данных рассеяния на выражения
\[
\left(\frac{\bar{b}}{a}\right)_{t}=2 \zeta F\left(\zeta^{2}\right) \frac{\bar{b}}{a}, \quad \beta_{k t}=2 \zeta_{k} F\left(\zeta_{k}^{2}\right) \beta_{k}, \quad \zeta_{k t}=0, \quad k=1, \ldots, N .
\]

Например, для $F\left(\zeta^{2}\right) \rightleftharpoons-4 i \zeta^{2}$ уравнение (6.143) является модифицированным уравнением Кортевега – де Фриза
\[
q_{t}+6 q^{2} q_{x}+q_{x x x}=0 .
\]

С другой стороны, это уравнение может быть обобщено на сингулярные функции $F\left(\zeta^{2}\right)$. Если $F\left(\zeta^{2}\right)=i / 4 \zeta^{2}$, то получим
\[
q_{t}=\frac{1}{2}\left(\varphi_{2} \bar{\varphi}_{2}-\varphi_{1} \tilde{\varphi}_{1}\right)_{\zeta=0}=-\frac{1}{2} \sin u,
\]

где $u(x, t)=-2 \int_{-\infty}^{x} q(x, t) d x$. Здесь использованы формулы, полученные в $\left[6.4 \overline{9}^{-\infty}\right.$.

С помощью соотношений ортогональности, которые приводятся в приложении $\mathrm{B}$, можно показать, что симплектическая форма
\[
\int_{-\infty}^{+\infty}\left\{\frac{1}{2} \delta q \wedge \int_{-\infty}^{x} \delta q d y\right\} d x
\]

сохраняется при обратном преобразовании рассеяния и равна
\[
\int_{0}^{+\infty} \delta\left(\frac{\ln a a^{*}}{-2 \xi \pi}\right) \wedge \delta \operatorname{Arg} b(\xi) d \xi+\sum \delta\left(-\ln \zeta_{k}\right) \wedge \delta \ln b_{k} .
\]

Переменные действие – угол суть
$\frac{\ln a a^{*}}{-2 \xi \pi}$ (при $\xi$ вещественных и положительных), $-\ln \zeta_{k}$ и
\[
\operatorname{Arg} b(\xi), \quad \ln b_{k}
\]

соответственно.
В [6.63] показано также, что
\[
i F\left(L_{F}^{A}\right) q=\frac{\delta H}{\delta q} .
\]

где в случае дисперсионного соотношения
\[
\Omega(\zeta)=\zeta F\left(\zeta^{2}\right)=\sum_{0}^{\infty} a_{2 m+1} \zeta^{2 m+1}
\]

гамильтониан есть
\[
H_{\Omega}=\sum_{0}^{\infty} a_{2 m+1} C_{2 m+1} .
\]

Последовательность $\left\{C_{r}\right\}_{r=1}^{\infty}$ определена (6.25).
Для сингулярных дисперсионных соотношений гамильтониан определяется значениями функции $\ln a(\zeta)$ и ее производных, взятых в некоторой точке $\widehat{\zeta}$. Для $F\left(\zeta^{2}\right)=i / 4 \zeta^{2}$, что, как было показано, отвечает уравнению sine-Gordon, гамильтониан есть
\[
H=\frac{i}{4}\left(\frac{\partial}{\partial \zeta} \ln a\right)_{\zeta=0} ;
\]

согласно (6.21),
\[
\begin{aligned}
H & =-\frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty}\left(\varphi_{1} \bar{\varphi}_{2}+\bar{\varphi}_{1} \varphi_{2}+1\right)_{\hbar=0} d x= \\
& =-\frac{1}{4} \int_{-\infty}^{+\infty}\left[1-\cos \left(-2 \int_{-\infty}^{x} q d y\right)\right] d x .
\end{aligned}
\]

Посредством (6.86) гамильтониан может быть выражен через данные рассеяния:
\[
H=\sum_{\operatorname{Re} \xi_{k}
eq 0}\left(-\frac{i}{2 \zeta_{k}}+\frac{i}{2 \xi_{k}^{*}}\right)-\sum_{\eta_{k}=\eta_{k}^{*}} \frac{1}{2 \eta_{k}}+\frac{1}{4 \pi i} \int_{0}^{\infty} \frac{\ln a a^{*}}{\xi^{2}} d \xi .
\]

В этой формуле выделяются два типа собственных дискретных значений: $\zeta_{k}\left(\operatorname{Re} \zeta_{k}
eq 0\right)$ и $i \eta_{k}$. Подобное выделение связано с тем, что первому типу, т. е. парам $\left(\zeta_{k},-\zeta_{k}^{*}\right)$, отвечают более сложные солитоны, называемые бризерами. Теперь легко проверить, что
\[
\begin{array}{c}
\frac{d \ln b_{k}}{d t}=\frac{\delta H}{\delta\left(-\ln \zeta_{k}\right)}=\frac{-i}{2 \zeta_{k}}, \\
\frac{d \ln b(\xi)}{d t}=\frac{\delta H}{\delta\left(-\frac{\ln a a^{*}}{2 \pi \xi}\right)}=-\frac{1}{2 \xi}, \\
\frac{d\left(-\ln \zeta_{k}\right)}{d t}=\frac{d}{d t}\left(\frac{\ln a a^{*}}{-2 \pi \pi_{\xi}^{*}}\right)=0 .
\end{array}
\]

С учетом (6.133) это полностью согласуется с (6.144).