Книга представляет собой обработанный и дополненный курс лекций по теории устойчивости решений дифференциальных уравнений, читанный автором в течение ряда лет на механико-математическом факультете Московского университета. Книга в основном рассчитана на студентов физико-математических факультетов университетов и педагогических институтов, прослушавших обычный курс теории обыкновенных дифференциальных уравнений, но она будет также доступна и инженерам механического профиля, так как необходимые дополнительные сведения по математике приведены в курсе. Большое внимание обращено на точность формулировок и строгость доказательств. Механические и физические приложения затронуты незначительно; интересующийся этими вопросами читатель может обратиться к сочинениям: А. А. Андронов, А. В. Витт, Э. С. Хайкин, Теория колебаний, Физматгиз, 1959; Б. В. Булгаков, Колебания, ГИТТЛ, 1954; И. Г. Малкин, Теория устойчивости движения, ГИТТЛ, 1952; Н. Г. Четаев, Устойчивость движения, ГИТТЛ, 1946 и др.

Содержание книги посвящено классическому понятию устойчивости движения в смысле Ляпунова и некоторым связанным с ним проблемам.В основу положена матрично-векторная трактовка систем дифференциальных уравнений, в частности, широко ислользована жорданова форма матрицы. Это позволяет иззбегать излишних технических подробностей при вычислениях и более отчетливо выявлять суть дела. Решения линейных дифференциальных систем в большинстве случаев рассматриваются как комплекснозначные векторы-столбцы без перехода в действительную область; это выгодно при записи многих формул. Что касается нелинейных систем, то они, как правило, изучаются в действительной области.

Необходимые сведения по матричному исчислению приведены в первой главе и в приложении.

Чтобы не усложнять изложение техническими подробностями, в кииге рассматриваются системы дифференциальных уравнений, правые части которых непрерывны (или кусочно непрерывны) относительно независимой переменной и дифференцируемы по зависимой переменной.

Первая глава книги содержит элементы матричного исчисления. Здесь излагаются алгебра матриц и теория матричных рядов. Дается понятие – об экспоненциале и логарифме матрицы.

В главе второй изучается устойчивость линейных дифференциальных систем. Доказывается критерий Гурвица. На основе леммы Гронуолла – Беллмана исследуется устойчивость линейных систем с почти постоянной матрицей.

Глава третья посвящена первому методу Ляпунова. Проводится теория характеристических чисел функций и матриц. Рассматриваются правильные и приводимые системы, включая теоремы Ляпунова, Перрона и Еругина. Излагается теория Флоке и теорема Ляпунова – Пуанкаре для линейных гамильтоновых систем. Дается понятие о методе малого параметра для разыскания периодических решений.

В главе четвертой для систем в действительном пространстве изучаются основы второго метода Ляпунова. Доказываются классические теоремы Ляпунова, теорема Четаева и теорема обращения Персидского. С помощью метода функций Ляпунова устанавливаются необходимые и достаточные условия ограниченности решений дифференциальных систем (устойчивость в смысле Лагранжа). Дается понятие о диссипативных системах.

Глава пятая содержит теоремы Красносельского – Крейна, теорему усреднения Боголюбова и асимптотику $L$-диагональных сйстем.

В дополнении изложены основные сведения по теории почти периодических функций в смысле Бора и теорема Америо для почти периодических дифференциальных систем.
В приложении дается понятие о жордановой форме матрицы.
Приведенные рисунки носят приблизительный характер и являются лишь схемами, облегчающими понимание определений и доказательств.

Заметим, что отбор теоретического материала для курса лекций ввиду ограниченности времени является, естественно, неполным. Книга носит учебный характер и представляет собой введение в современную теорию устойчивости. Поэтому многие замечательные результаты наших и заграничных ученых не нашли здесь отражения. Часть теорем приведена в упражнениях.

В конце книги помещен список цитированной литературы, который ни в коей мере не претендует на полноту.

Отметим, что нумерация формул дается по трехступенчатой системе $(\alpha \cdot \beta \cdot \gamma)$, где первое число $\alpha$ обозначает номер главы, второе $\beta$ – номер параграфа и третье $\gamma$ – номер формулы.

Приношу благодарность проф. В. В. Немыцкому за неизменный интерес к этой работе. Выражаю свою признательность проф. Л.Э.Эльсгольцу за обстоятельную рецензию на рукопись книги.

Считаю своим долгом поблагодарить доц. Н. П. Купцова, осуществившего компетентное научное редактирование рукописи книги и внесшего в нее ряд ценных дополнений и существенных исправлений.

Приношу благодарность также И. Е. Морозовой, проделавшей большую работу по редактированию книги.

Москва, 1967 г.
Б. П. Демидович