Определение. Пусть $X$ – квадратная матрица. Матрица $Y$, удовлетворяющая условию
\[
e^{Y}=X
\]

называется логарифмом матрицы $X$ и обозначается следующим образом:
\[
Y=\operatorname{Ln} X .
\]

Теорема. Всякая неособенная матрица $X$ имеет логарифм. Доказательство (см. [6]). 1) Пусть сначала $X=J\left(\lambda_{1}\right)-$ клетка Жордана порядка $e_{1}$, состветствующая собственному значению $\lambda_{1}$, причем $\lambda_{1}
eq 0$, так как предполагается, что матрица неособенная. Имеем
\[
X=\lambda_{1} E+I_{1}=\lambda_{1}\left(E+\frac{I_{1}}{\lambda_{1}}\right),
\]

где $I_{1}$ – первый единичный косой ряд.
По аналогии с известным логарифмическим разложением
\[
\ln (1+z)=\sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p} z^{p} \quad(|z|<1)
\]

рассмотрим матрицу
\[
Y=E \ln \lambda_{1}+\sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p}\left(\frac{l_{1}}{\lambda_{1}}\right)^{p},
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\operatorname{Ln} \lambda_{1}=\ln \left|\lambda_{1}\right|+i\left(\arg \lambda_{1}+2 k \pi\right) \\
(k=0, \pm 1, \pm 2, \ldots) .
\end{array}
\]

Так как $I_{1}^{p}=0$ при $p \geqslant e_{1}$, то ряд (1.15.2) сходящийся и матри. ца $Y$ всегда имеет смысл.

На основании формулы (1.15.1) при $|z|<1$ справедливо тождество
\[
\exp \sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p} z^{p} \equiv 1+z
\]

из которого вытекает, что коэффициенты при одинаковых степенях $z$ степенных разложений левой и правой частей равенства (1.15.3) совпадают между собой. Так как квадратная матрица $Z$ коммутирует со своими степенями, то степенное разложение левой части равенства (1.15.3) формально совпадает с соответствуюццим матричным степенным разложением
\[
\exp \sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p} Z^{p} \equiv \sum_{p=0}^{\infty} \frac{1}{q !}\left[\sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p} Z^{p}\right]^{q}
\]

где принято $Z^{n}=E$. Поэтому, если матричный ряд $\sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p} Z^{p}$ сходится, то имеет место тождество
\[
\exp \sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p} Z^{p} \equiv E+Z
\]

Отсюда, учитывая, что матрица $E$ перестановочна с любой матрицей того же порядка, и используя основное свойство экспоненциала матрицы, будем иметь
\[
e^{Y}=\exp \left(E \operatorname{Ln} \lambda_{1}\right) \cdot \exp \sum_{p=1}^{\infty} \frac{(-1)^{p-1}}{p}\left(\frac{I_{1}}{y_{1}}\right)^{p}=\lambda_{1}\left(E+\frac{l_{1}}{\bar{\lambda}_{1}}=\lambda_{1} E+I_{1}=X\right. \text {. }
\]

Следовательно,
\[
Y=\operatorname{Ln} X .
\]

Таким образом, принимая во внимание, что $I_{1}^{p}=I_{p}$ при $p<e_{1}$ и $I_{1}^{p}=0$ при $p \geqslant e_{1}$, окончательно получим
\[
\operatorname{Ln} X \equiv \operatorname{Ln} J_{1}\left(\lambda_{1}\right)=E \operatorname{Ln} \lambda_{1}+\sum_{p=1}^{e_{1}-1} \frac{(-1)^{p-1}}{p \lambda_{1}^{p}} I_{p} .
\]
2) Пусть теперь $X$ – произвольная неособенная матрица. Приводя $X$ к канонической форме Жордана, будем иметь
\[
X=S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(i_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]

где $S$ – неособенная матрица и $J_{q}\left(\lambda_{g}\right)(q=1, \ldots, m)$ – соответствующие клетки Жордана. Можно принять
\[
\operatorname{Ln} X=S^{-1} \operatorname{diag}\left[\operatorname{Ln} J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, \operatorname{Ln} J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]

где $\operatorname{Ln} J_{q}\left(\lambda_{q}\right)$ определяются по формуле (1.15.5).
Действительно, аналогично формуле (1.13.2) имеем
\[
\begin{aligned}
e^{\operatorname{Ln} X}=S^{-1} \operatorname{diag}\left[e^{\operatorname{Ln} J_{1}\left(\lambda_{1}\right)},\right. & \left., e^{\operatorname{Ln} J_{m}\left(\lambda_{m}^{\prime}\right.}\right] S= \\
& =S^{-1} \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S=X,
\end{aligned}
\]

что и подтверждает формулу (1.15.6).
Теорема доказана.
Замечание 1. Из формул (1.15.6) и (1.15.5) следует, что In $X$ есть функция многозначная.
3амечание 2. На основании следствия теоремы 2 из $\S 6$ и из формул (1.15.5) и (1.15.6) вытекает, что если $\lambda_{q}(q=1, \ldots, m)$ суть собственные значения неособенной матрицы $X$, то $\operatorname{Ln} i_{q}$ $(q=1, \ldots, m)$ являются собственными значениями матрицы $\operatorname{Ln} X$, причем $X$ и $\operatorname{Ln} X$ имеют одинаковые порядки $e_{q}$ соответствующих клеток Жордана.
3амечание 3. Если ( $n \times n$ )-матрица $X$ действительная и положительно определенная, т. е. все собственные значения ее $\lambda_{j}(X)$ ( $j=1, \ldots, n$ ) положительны, то имеется вещественная матрица $S$, приводящая ее к жордановой форме. В этом случае, как видно из формулы (1.15.6), для матрицы $X$ существует действительный $\ln X$.
Пример. Найти $\operatorname{Ln} X$, где
\[
X=\left[\begin{array}{lll}
1 & 1 & 0 \\
0 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 1
\end{array}\right] .
\]

Используя формулу (1.15.5), получаем
\[
\operatorname{Ln} X=E \operatorname{Ln} 1+I_{1}-\frac{1}{2} I_{2}=\left[\begin{array}{ccc}
2 k \pi i & 1 & -\frac{1}{2} \\
0 & 2 k \pi i & 1 \\
0 & 0 & 2 k \pi i
\end{array}\right] \text { (k-целое) }
\]

Нетрудно убедиться, что если неособенные матрицы $X$ и $Y$ коммутируют между собой, т. е.
\[
X Y=Y X,
\]

To
\[
\operatorname{Ln}(X Y)=\operatorname{Ln} X+\operatorname{Ln} Y,
\]

где ветви логарифмов выбираются соответствующим образом.