Рассмотрим действительную нелинейную систему
\[
\frac{d y}{d t}=\boldsymbol{f}(t, y)
\]

где $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \in C\left(I_{t} \times \mathscr{\mathscr { R }}_{\boldsymbol{y}}^{n}\right)$, причем обеспечено свойство единственности решений $y\left(t ; t_{10}, y_{0}\right)$.

Определение 1. Следуя Левинсону (см. [50]), систему (4.17.1) будем называть $D$-системой или диссипативной, если все решения ее $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{11}\right)$ бесконечно продолжаемы вправо и существует число $R>0$ такое, что
\[
\varlimsup_{t \rightarrow \infty}\left\|y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)\right\|<R .
\]

Иными словами, для каждого решения $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ существует момент $t_{1}=t_{0}+T\left(t_{0}, y_{0}\right) \geqslant t_{0}$, после которого оно навсегда погружается в фиксированную сферу $\|\boldsymbol{y}\|<R$, т. е.
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right\|<R \quad \text { при } t_{1} \leqslant t<\infty .
\]

Заметим, что если система обладает свойством конвергенции (§16), то она диссипативна. Здесь за сферу $\|\boldsymbol{y}\|<R$ можно принять любую сферу, содержащую единственное ограниченное решение $\boldsymbol{\eta}(t)$.

Решения диссипативной системы иногда называются предельно (финально) ограниченными (см. [41]).
Пусть
\[
V(t, y) \in C_{t y}^{(1,1)}(Z),
\]

где $Z=\left\{t \in I_{t} \times \boldsymbol{y} \in D_{y}\right\}$.
Определение 2. Будем говорить (см. [41]), что $V(t, y)$ обладает свойством $A$ в области $Z$, если существует положительная непрерывная возрастающая функция $a(r)(r \geqslant 0)$ такая, что.
\[
V(t, y) \leqslant a(\|y\|) \quad \text { при }(t, y) \in Z .
\]

Говорят, что $V(t, \boldsymbol{y})$ обладает свойством $B$ в области $Z$, если существует непрерывная неубоывающая функция $b(r)^{\prime}(r \geqslant 0)$ такая, что
\[
V(t, \boldsymbol{y}) \geqslant b(\|\boldsymbol{y}\|) \quad \text { при }(t, \boldsymbol{y}) \in Z,
\]

причем $b(r) \rightarrow+\infty$ при $r \rightarrow \infty$.
Наконец, будем говорить, что $V(t, y)$ обладает в области $Z$ свойством $C$ относительно данной системы (4.17.1), если существует положительная непрерывная функция $c(r) \”(r \geqslant 0)$ такая, что
\[
\dot{V}(t, y) \leqslant-c(\|\boldsymbol{y}\|) \quad \text { при }(t, y) \in Z,
\]

где $\dot{V}(t, y)$-полная производная по $t$ функции $V(t, y)$ в силу системы (4.17.1),

Теорема Йосидзавы (см. [41]). Пусть во внешности некоторого цилиндра
\[
Z^{c}=\left\{t \in I_{t}\right\} \times\left\{y \in S_{p}^{c}\right\},
\]
$x$
где $S_{p}^{c}=\{\|\boldsymbol{y}\| \vec{\gamma}\}$, для системы (4.17.1) существует функция Ляпунова $V(t, y) \in C_{t, y}^{1,1}\left(Z^{c}\right)$, обладающая свойствами $A, B$ и $C$. Тога система (4.17.1) равномерно диссипативна относительно начального момента $t_{0}$, т. е. число $T\left(t_{0}, y_{0}\right)$ можно выбрать зависящим только от $y_{0}$.

Доказательство. Из условия $B$ вытекает, что при $\boldsymbol{y} \geq p_{1}$, где $p_{1} \geqslant p$ достаточно велико, функция $V(t, \boldsymbol{y})$ является положительной. Так как по смыслу теоремы вместо числа $p$, очевидно, можно взять число $\rho_{1}$, то в дальнейшем мы будем предполагать функцию $V(t, y)$ положительной в $Z^{c}$.

Рассмотрим решения $\boldsymbol{y}(t) \equiv \boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ с начальными условиями $t \in I_{t}$ и $\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\| \leqslant p$.

Покажем, что эти решения равномерно ограничены в совокупности. Действительно, промежуток существования $\left[t_{0}, T\right)$ решения $y(t)$ можно разбить на два множества:
\[
\left[t_{n}, T\right)=T_{1}+T_{3},
\]

где $T_{i}(i=1,2)$ – совокупность всех моментов из $\left[t_{0}, T\right)$, для которых решение $\boldsymbol{y}(t)$, соответственно, принадлежит области $\|\boldsymbol{y}\| \leqslant p$ при $i=1$ и области $\|\boldsymbol{y}\| p$ при $i=2$. Если $t \in T_{1}$, то, очевидно, имеем
\[
\|y(t)\| \leqslant p .
\]

Если множество $T_{2}$ пусто, то тем самым наше утверждение доказано. Пусть $T_{2}$ не пусто. Тогда, так как область $\|\boldsymbol{y}\| p$ есть открытое множество, то в силу свойства интегральной непрерывности (гл. II, §1) $T_{2}$ является также открытым множеством и, следовательно (см. [51]), представляет собой конечную или счетную сумму интервалов
\[
T_{2}=\bigcup_{\alpha}\left(t_{\alpha}, t_{\mathrm{p}}\right),
\]

где $\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{a}\right)\right\|=p,\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{\rho}\right)\right\|=\rho$ и $\beta=\beta(\alpha)$. Отсюда, если $t \in T_{2}$, то $t \in\left(t_{\alpha}, t_{p}\right)$ для некоторого $\alpha$ (рис. 46) и, учитывая монотонное убывание функции $V(t, y(t))$ при возрастании $t$, а также свойства $B$ и $A$, будем иметь
\[
b(\|\boldsymbol{y}(t)\|) \leqslant V(t, \boldsymbol{y}(t)) \leqslant V\left(t_{\alpha}, \boldsymbol{y}\left(t_{\alpha}\right)\right) \leqslant a\left(\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{\alpha}\right)\right\|\right)=a(\rho) .
\]

Так как $b(r) \rightarrow \infty$ при $r \rightarrow \infty$, то существует $R \geqslant p>0$ такое, что
\[
b(r)>a(p) \quad \text { при } r \geqslant R \text {. }
\]

В таком случае на основании неравенства (4.17.7) получаем
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\|<R \quad \text { при } t \in T_{2} .
\]

Из неравенств (4.17.6) и (4.17.8) вытекает, что
\[
\|\boldsymbol{y}(t)\|<R \quad \text { при } t_{0} \leqslant t<t_{0}+T .
\]

Отсюда следует, что решение $\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ бесконечно продолжаемо вправо, т. е. $T=\infty$, причем для всех $t_{0} \in I_{t}$ и $\left\|\boldsymbol{y}_{0}\right\| \leqslant p$ имеет место неравенство (4.17.9), где $R$ зависит только от $p$.
Pнс 46.
Рассмотрим теперь произвольное решение $\boldsymbol{y}(t)=\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$, где $\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)\right\|>$ р (рис. 46). Покажем, что и в этом случае при $t \geqslant t_{1}\left(t_{1}>t_{0}\right)$ неизменно обеспечено неравенство (4.17.9).

Прежде всего, заметим, что єсли для некоторого момента времени $t_{1}>t_{0}$ будет выполнено неравенство
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{1} ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right\| \leqslant \rho,
\]

то в силу свойства единственности имеем
\[
y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right) \equiv y\left(t ; t_{1}, y\left(t_{1} ; t_{0}, y_{0}\right)\right) .
\]

Отсюда на основании неравенства (4.17.9) получаем
\[
\left\|y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)\right\|<R \quad \text { при } t \geqslant t_{1} .
\]

Поэтому достаточно предположить, что $\|\boldsymbol{y}(t)\|>\rho$ при $t \geqslant t_{0}$. Но тогда в силу свойств $A, B$ и $C$ имеем
\[
b(\|y(t)\|) \leqslant V(t, y(t)) \leqslant V\left(t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right) \leqslant a\left(\left\|\boldsymbol{y}_{0}\right\|\right) \quad \text { при } t \geqslant t_{0}
\]
in
\[
b(r)>a\left(\left\|\boldsymbol{y}_{0}\right\|\right) \quad \text { при } r \geqslant R_{1} \geqslant R,
\]

где $R_{1}$ достаточно велико. Отсюда получаем
\[
\|y(t)\|<R_{1} \quad \text { при } t \geqslant t_{\theta},
\]

где $R_{1}$ зависит только от $\boldsymbol{y}_{0}$, т. е. любое решение $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ ограничено на $\left[t_{0}, \infty\right)$, равномерно относительно начального момента $t_{0}$ и, следовательно, бесконечно продолжаемо вправо.

Покажем, что для некоторого момента $t_{1}>t_{0}$ будет справедливо равенство
\[
\left\|y\left(t_{1} ; t_{0}, y_{0}\right)\right\|=p .
\]

Действительно, пусть
\[
p<\left\|y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)\right\|<R_{1} \quad \text { при } t \geqslant t_{0} .
\]

Положим
\[
\inf _{\rho \leqslant r \leqslant R_{1}} c(r)=\gamma>0 .
\]

Тогда, учитывая неравенство (4.17.12), в силу свойства $C$ будем иметь
\[
\dot{V}\left(t, y\left(t ; t_{0} ; y_{0}\right)\right) \leqslant-\gamma \quad \text { при } t \geqslant t_{0} .
\]

Следовательно,
\[
V\left(t ; \boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right) \leqslant V\left(t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)-\gamma\left(t-t_{0}\right) \quad \text { при } t \geqslant t_{0} .
\]

Из неравенства (4.17.13) вытекает, что при достаточно большом $t$ функция $V(t, \boldsymbol{y}(t))$ становится отрицательной, причем $(t, \boldsymbol{y}(t)) \in S_{\rho}^{c}$, что противоречит предположению. Таким образом, решение $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ не может для всех $t \geqslant t_{0}$ удовлетворять неравенству (4.17.12) и, следовательно, при некотором $t_{1}>t_{0}$ выполнено равенство (4.17.11). Отсюда на основании приведенных выше рассуждений вытекает наличие неравенства (4.17.10). Итак, система (4.17.1) диссипативна.
Оценим момент $t_{1}$. Полагая
\[
p<\left\|y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)\right\|<R_{1},
\]

из неравенства (4.17.13) выводим
\[
t_{1} \leqslant t_{0}+\sup _{t \geqslant t_{0}} \frac{V\left(t_{0}, y_{0}\right)-V(t, y(t))}{\gamma} .
\]

В силу свойства $A$ имеем
\[
V\left(t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right) \leqslant a\left(\left\|\boldsymbol{y}_{0}\right\|\right)<a\left(R_{1}\right) .
\]

Кроме того, на основании свойства $B$ получаем
\[
V(t, \boldsymbol{y}(t)) \geqslant b(\|\boldsymbol{y}(t)\|) \geqslant b(\rho) .
\]

Поэтому
\[
t_{1} \leqslant t_{0}+T\left(y_{0}\right),
\]

где
\[
T\left(y_{0}\right)<\frac{a\left(R_{1}\right)-b(\rho)}{\gamma} \quad \text { и } \quad R_{1}=R_{1}\left(\left\|y_{0}\right\|\right) .
\]

Так как число $T\left(\boldsymbol{y}_{0}\right)$ не зависит от начального момента $t_{0}$, то диссипативность системы (4.17.1) равномерна по $t_{0}$.
3амечание. Можно ослабить условия гладкости для функции Ляпунова $V(t, \boldsymbol{y})$. А именно, для справедливости теоремы достаточно требовать, чтобы
\[
V(t, y) \in C_{t}\left(Z_{\rho}^{c}\right) \cap \operatorname{Lip} \boldsymbol{y}\left(Z_{\rho}^{c}\right) .
\]

В этом случае производную $\dot{V}(t, y)$ в силу системы (4.16.1) можно определить формулой
\[
\dot{V}(t, \boldsymbol{y})=\varlimsup_{h \rightarrow+0} \frac{1}{h}[V(t-h, \boldsymbol{y}+h \boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}))-V(t, y)] .
\]

Легко проверить, что $\dot{V}\left(t_{0}, y_{0}\right)$ представляет собой верхнюю правую производную по $t$ функции $V\left(t, \boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right.$ ) в точке $t=t_{0}$.