Пусть действительная линейная система

где
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x
\]
\[
A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right), \sup _{t}\|A(t)\|<\infty,
\]

есть правильная (гл. III, § 10) и
\[
X(t)=\left\lceil x_{j k}(t)\right]
\]
– ее нормальная фундаментальная матрица. Обозначим через $\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}$ характеристические показатели решений
\[
\boldsymbol{x}^{(k)}=\operatorname{colon}\left[x_{1 k}(t), \ldots, x_{n k}(t)\right] \quad(k=1, \ldots, n),
\]

входящих в фундаментальную систему (1). Полагая
\[
\Delta=\operatorname{diag}\left(\alpha_{1}, \ldots, \alpha_{n}\right) \text {, }
\]

будем иметь

Отсюда
\[
\chi[\Phi(t)]=\max _{j, k} \chi\left[x_{j k}(t) e^{–\alpha_{k} t}\right]=0 .
\]

Аналогично, учитывая, что в силу теоремы Перрона (гл. III, § 11) для обратной матрицы
\[
X^{-1}(t)=\left[y_{j k}(t)\right]
\]

ее векторы-строки
\[
y^{(j)}=\left[y_{j_{1}}(t), \ldots, y_{j n}(t)\right]
\]

имеют характеристические показатели $\chi\left[\boldsymbol{y}^{(j)}\right]=-x_{j}$, находим

И
\[
\chi\left[\Phi^{-1}(t)\right]=\max _{j, k} \chi_{[}\left[e^{\alpha_{j} t} y_{j k}(t)\right]=0 .
\]

Рассмотрим теперь матрицу Коши
\[
K(t, \tau)=X(t) X^{-1}(\tau)
\]

в области $t_{0} \leqslant \tau \leqslant t$ (рис. 39). Очевидно имеем
\[
K(t, \tau)=X(t) e^{-i \Delta} e^{t-\tau \Delta} e^{\tau \Delta} X^{-1}(\tau)=\Phi(t) e^{t-\cdots \Delta \Delta} \Phi^{-1}(\tau) . \text { (4.11.5) }
\]

Отсюда, учитывая равенства (4.11.3) и (4.11.4), получаем
\[
\begin{array}{l}
\|K(t, \tau)\| \leqslant\|\Phi(t)\|\left\|e^{(t-\tau)}\right\|\left\|\Phi^{-1}(\tau)\right\| \leqslant \\
\leqslant c e^{\frac{\varepsilon}{2} t} e^{\left(\bar{\alpha}+\frac{\delta}{2}\right)(t-\tau)} e^{\varepsilon \tau}=c e^{(\bar{\alpha}+5) ! t-\tau)} e^{\varepsilon \tau},
\end{array}
\]

где $\bar{\alpha}=\max _{k} \gamma_{k}, \varepsilon>0$ произвольно и $c$ – положительная посто$k$ янная, зависящая только от в и $t_{0}$. Пусть
\[
a>x=\max _{k} a_{k} .
\]

Тогда $\varepsilon>0$ можно выбрать столь малым, чтобы имело место неравенство
\[
\bar{\alpha}+\varepsilon<\alpha,
\]

и из неравенства (4.11.6) при $t_{0} \leqslant \tau \leqslant t$ получаем
P!с. 39.
\[
\|K(t, \tau)\| \leqslant c\left(t_{0}\right) e^{x(t-\tau)} e^{\varepsilon \tau} .
\]

Следствие. Если все характеристические показатели $\alpha_{k}$ правильной линейной системь (4.11.1) отрицапельны, то для ее матрицы Коши при $t_{0} \leqslant \tau \leqslant t$ справедлива оценка:
\[
\|K(t, \tau)\| \leqslant c\left(t_{0}\right) e^{\varepsilon \tau},
\]

аде в– любое положительное число.