Пусть $f(x) \in \Pi$, тогда при любом фиксированном $x \in(-\infty, \infty)$ функция
\[
\varphi_{x}(t)=f(x+t) \overline{f(t)},
\]

где $\overline{f(t)}$ – функция, сопряженная $f(t)$, является почти периодической. Следоватєльно, существует
\[
F(x)=M_{t}\left\{\varphi_{x}(t)\right\}=M\{f(x+t) \overline{f(t)}\},
\]
T. e.
\[
F(x)=\lim _{T \rightarrow \infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t .
\]

Функция $F(x)$ называется сверткой функции $f(x)$.
Рассмотрим «неполную свертку».
\[
F_{T}(x)=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t \quad(T>0) .
\]

Лемма 1. Для каждого $T>0$ неполная свертка $F_{T}(x)$ почти периодической функции $f(x)$ почти периодична по $x$, причем
\[
F_{T}(x) \underset{x}{\rightarrow} F(x) \text { при } T \rightarrow \infty,
\]

где
\[
F(x)=M_{t}\{f(x+t) \overline{f(t)}\} .
\]

Доказательство. 1) Докажем сначала, что $F_{T}(x)$ равномерно непрерывна по $x$ на ( $-\infty, \infty$ ). Действительно, пусть
\[
\Gamma=\sup _{t}|f(t)|
\]

и $\delta=\delta(s)>0$ таково, что
\[
\left|f\left(x^{\prime}\right)-f\left(x^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon \text { при }\left|x^{\prime}-x^{\prime \prime}\right|<\delta .
\]

Тогда при $|h|<\delta$ на основании формулы (11.2) имеем $\left|F_{T}(x+h)-F_{T}(x)\right| \leqslant$
\[
\left.\leqslant \frac{1}{T} \int_{0}^{T}|f(x+h+t)-f(x+t)| \overline{f(t)} \right\rvert\, d t \leqslant \varepsilon \Gamma \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} d t=\varepsilon \Gamma,
\]

что и доказывает равномерную непрерывность функции $F_{T}(x)$.
Из неравенства (11.4) вытекает, что каждый $\frac{\varepsilon}{\Gamma}$-почти период функции $f(x)$ является в-почти периодом функции $F_{T}(x)$. Следовательно, $F_{T}(x)$ – почти периодическая функция.
2) Для каждого $x \in(-\infty, \infty)$ имеем

и
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{x}(t)=f(x+t) \overline{f(t)} \\
\left|\varphi_{x}(t)\right|=|f(x+t)||\overline{f(t)}| \leqslant \Gamma^{2} .
\end{array}
\]

Пусть $\tau$-любой $\frac{\varepsilon}{2}$-почти период функции $f(x)$. Тогда
\[
\begin{array}{l}
\left|\varphi_{x}(t+\tau)-\varphi_{x}(t)\right| \leqslant|f(x+t+\tau) f(t+\tau)-f(x+t) \overline{f(t)}| \leqslant \\
\leqslant|f(x+t+\tau)-f(x+t)||\overline{f(t+\tau)}|+|f(x+t)||| \overline{f(t+\tau)-f(t)} \mid< \\
<\frac{\varepsilon}{2 \Gamma} \cdot \Gamma+1 \cdot \frac{\varepsilon}{2 \mathrm{I}}=\varepsilon .
\end{array}
\]

Таким образом, каждый почти период $\tau=\tau_{f}\left(\frac{\varepsilon}{2 \Gamma}\right)$ функции $f(x)$ является в-почти периодом функции $\varphi_{x}(t)$. Следовательно, для почти периодического семейства $\left\{\varphi_{x}(t)\right\}$ существует положительное число $l(\varepsilon)$ такое, что любой отрезок $[a, a+l(\varepsilon)]$ длины $l(\varepsilon)$ содержит по меньшей мере один $\varepsilon$-почти период для каждой функции $\varphi_{x}(t)(-\infty<x<\infty)$. На основании усиленной теоремы о среднем ( $\$ 6$, неравенство (6.6)) для каждой п. п. функции $\varphi_{x}(t)$ будем иметь
\[
\left|\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) f(t) d t-\underset{t}{M}\{f(x+t) \bar{f}(t)\}\right|=\left|F_{T}(x)-F(x)\right|<\varepsilon
\]

при
\[
T>\frac{\varepsilon l(\varepsilon) \Gamma}{\varepsilon},
\]

что равносильно соотношению (11.3).
Лемма 2. Если $f(x)$ почти периодична, то для почти периодической функции
\[
i_{x}(t)=f(x+t) \overline{f(t)}
\]

средние по х и по $t$ перестановочны, т. $е$.
\[
\operatorname{M}_{x}\left\{M_{t}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}\right\}=M_{t}\left\{M_{x}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}\right\} .
\]

Доказательство. Прежде всего, свертка
\[
F(x)=\underset{t}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}
\]

как равномерный предел п. п. функций $F_{T}(x)$ есть функция почти периодическая. Следовательно, существует
\[
\underset{x}{M}\{\underset{t}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}\} .
\]

Далее, на основании усиленной теоремы о среднем ( $\S 8$ ), имеем
\[
\underset{x}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}=\overline{f(t)} \operatorname{M}_{x}\{\dot{f}(x+t)\}=\overline{f(t)} M_{x}\{f(x)\} .
\]

Поэтому $\underset{x}{\operatorname{M}}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}$ почти периодична по $t$ и существует
\[
\underset{x}{M}\{\underset{M}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}\} .
\]

Докажем теперь, что выполнено равенство (11.5). Так как функция $f(x+t) \overline{f(t)}$ непрерывна по совокупности переменных $x$ и $t$, то при любых конечных $T>0$ и $X>0$ имеем
\[
\frac{1}{X} \int_{0}^{X} d x \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} d t \frac{1}{X} \int_{0}^{X} f(x+t) \overline{f(t)} d x .
\]

Ho
\[
\begin{array}{rl}
\frac{1}{X} \int_{0}^{X} f(x+t) \overline{f(t)} d x=\overline{f(t)} \cdot \frac{1}{X} \int_{t}^{x+t} & f(x) d x \underset{\vec{t}}{\rightarrow} \\
\underset{\vec{t}}{f} \overline{f(t)} \underset{x}{M}\{f(x)\}=\underset{x}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}
\end{array}
\]

при $X \rightarrow \infty$. Следовательно, в левой части равенства (11.6) можно совершить предельный переход при $X \rightarrow \infty$ под знаком интеграла, и мы получим
\[
\lim _{X \rightarrow \infty} \frac{1}{X} \int_{0}^{X} d x \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} d t \cdot \lim _{X \rightarrow \infty} \frac{1}{X} \int_{0}^{X} f(x+t) \overline{f(t)} d t
\]

или
\[
\mathrm{M}_{x}\left\{\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t\right\}=\frac{1}{T} \int_{0}^{T} \underset{x}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\} d t .
\]

Так как в силу леммы 1
\[
\frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(x+t) \overline{f(t)} d t \underset{\boldsymbol{x}}{\rightarrow} \underset{t}{\rightarrow}\{f(x+t) \overline{f(t)}\} \quad \text { при } \quad T \rightarrow \infty,
\]

то, переходя к пределу при $T \rightarrow \infty$ в соотношении (11.7), на основании свойства 7) среднего значения (§8) окончательно будем иметь
\[
\underset{x}{M}\{M\{f(x+t) \overline{f(t)}\}\}=\underset{\boldsymbol{t}}{M}\{\underset{x}{M}\{f(x+t) \bar{f}(t)\}\},
\]

что и требовалось доказать.

Теорема. Для всякой почти периодической функции $f(x)$ ее свертка $F(x)$ есть функция почти периодическая, причем
\[
M\{F(x)\}=|M\{f(x)\}|^{2} .
\]

Доказательство (см. [66]). То, что свертка
\[
F(x)=\underset{t}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}
\]

есть функция почти периодическая, следует из того (как уже было упомянуто в лемме 2), что свертка является равномерным пределом п. п. неполных сверток $F_{T}(x)$ (лемма 1). Впрочем, почти периодичность свертки легко доказать также непосредственно.

Далее, используя перестановочность средних $\underset{x}{M}$ и $\underset{t}{M}$ (лемма 2) и усиленную теорему о среднем ( $\S 8$ ), имеем
\[
\begin{aligned}
\underset{x}{M}\{F(x)\}= & \underset{x}{M}\{\underset{t}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}\}=\underset{t}{M}\{\underset{x}{M}\{f(x+t) \overline{f(t)}\}\}= \\
& =\underset{t}{M}\left\{\overline{f(t)} M_{x}\{f(x+t)\}\right\}=\underset{t}{M}\{\overline{f(t)} \underset{x}{M}\{f(x)\}\}= \\
& =\underset{x}{M}\{f(x)\} \cdot \overline{M_{t}}\{f(t)\}=|\underset{x}{M}\{f(x)\}|^{2} .
\end{aligned}
\]

Следствие. Есйи для почти периодической функции $f(x)$ ряд Фурье есть
\[
f(x) \propto \sum_{i} a(\lambda) e^{i \lambda x},
\]

то ее свертка $F(x)$ имеет следующий ряд Фурье:
\[
F(x) \propto \sum_{\lambda}|a(\lambda)|^{2} e^{i \lambda x} .
\]

Действительно, так как
\[
a(\lambda)=\underset{x}{M}\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\},
\]

то
\[
\begin{array}{l}
\underset{x}{M}\left\{F(x) e^{-i \lambda x}\right\}=\underset{x}{M}\left\{M_{t}\left\{f(x+t) \overline{f(t)} e^{i \lambda x}\right\}\right\}= \\
=\underset{t}{M}\left\{\overline{f(t)} e^{i \lambda t} \underset{x}{M}\left\{f(x+t) e^{-\lambda(x+t)}\right\}\right\}=\underset{t}{M}\left\{\overline{f(t)} e^{i \lambda t} \cdot \underset{x}{M}\left\{f(x) e^{-i \lambda x}\right\}\right\}= \\
=a(\lambda) \cdot \overline{a(\lambda)}=|a(\lambda)|^{2} . \\
\end{array}
\]

Замечание. Аналогично доказывается, что если $f(x)$ и $g(x)-$
\[
\Phi(t)=\underset{t}{M}\{f(x+t) \overline{g(t)}\}
\]

есть функция почти периодическая.