Пусть $R=\{x\}$ есть совокупность элементов (точек) произвольной природы (абстрактное пространство).

Определение 1. Множество $R=\{x\}$ называется метрическим пространством (см. [51]), если для любой пары точек $x, y \in R$ определена числовая функция $p(x, y)$ (расстояние) со следующими свойствами (аксиомами):
1) $\rho(x, y) \geqslant 0$, причем $\rho(x, y)=0$ тогда и только тогда, когда $x=y$;
2) $\rho(x, y)=\rho(y, x)$ (симметрия);
3) если $x, y, z \in R$, то
\[
p(x, y) \leqslant p(x, z)+p(z, y)
\]
(неравенство треугольника).
Пример 1. Совокупность действительных упорядоченных $n$-мерных комплексов $x=\left(x_{1}, \ldots, x_{n}\right), y=\left(y_{1}, \ldots, y_{n}\right)$, где
\[
\rho(x, y)=\left[\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-y_{i}\right)^{2}\right]^{\frac{1}{2}},
\]

является метрическим пространством іл-мерное евклидово пространство $\mathscr{R}^{n}$ ).

Пример2. Пусть $R=\{p(t)\}$ – совокунность ограниченных вскторфункций $\varphi(t) \in \vec{C}(a, b)$, sup $\|(t)\|<\infty$, где $(a, b)$ – конечный или бесконечный промежуток. Для побых $\varphi, \psi \in R$ положим
\[
\rho(\varphi, \psi)=\sup _{t}\|\varphi(t)-\psi(t)\|,
\]

где $\|$ § $\|$-одна из рассмотренных выше норм (гл. I, § 4). Тогда пространство $R$ метрическое.

Действительно, выполнсние аксиом 1) и 2) очевидно. Пусть тепсрь $\stackrel{\oplus}{,} \psi, \chi \in R$. Для любого $t \in(a, b)$ имеем
\[
\begin{aligned}
\| p(t)-\psi(t) \leqslant & \|\varphi(t)-\chi(t)\|+\|\chi(t)-\psi(t)\| \leqslant \\
& \leqslant \sup _{t}\|\varphi(t)-\chi(t)\|+\sup _{t}\|\chi(t)-\psi(t)\| \leqslant p(\varphi, \chi)+\rho(\chi, \psi) .
\end{aligned}
\]

Отсюда
\[
\rho(\varphi, \psi)=\sup _{t}\|\varphi(t)-\psi(t)\| \leqslant \rho(\varphi, \chi)+\rho(\chi, \psi),
\]

и, таким образом, третья аксиома тақже выполнена.
Определение 2. Последэвательность $x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}, \ldots$ точек метрического пространства $R$ называется фундаментальной, если для нее выполнен критерий Коши, т. е. для $\forall \varepsilon>0 \exists N=$ $=N$ (в) такое, что при $\forall m, n>N$ имеем
\[
p\left(x_{m}, x_{n}\right)<\varepsilon \text {. }
\]

Очевидно, неравенство (5.5.1) эквивалентно следующему:
\[
p\left(x_{n+p}, x_{n}\right)<\varepsilon \text { при } n>N(\varepsilon) \text { и } p>0 .
\]

Пространство $R$ называется полным, если любая фундаментальная последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ его является сходящейя в $R$, т. е. из условия (5.5.1) следует, что $\exists \xi \in R$ такая, что
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} \rho\left(x_{n}, \xi\right)=0
\]

В этом случае пишут $x_{n} \rightarrow \xi$ и точку $\xi$ называют пределом последовательности $\left\{x_{n}\right\}$.

П риме р 3. Пространство $R$ функций $\varphi \in C(a, b)$ из примера 2 является полным.

Действительно, пусть $\varphi_{1}(t), \ldots, \varphi_{n}(t), \ldots$ – фундаментальная последовательность из $R$, т. е.
\[
\rho\left(\varphi_{n+p}, \varphi_{n}\right)<\varepsilon \text { при } n>N(\varepsilon) \text { и } p>0 .
\]

Отсюда
\[
\left\|\varphi_{n+p}(t)-\varphi_{n}(t)\right\|<\varepsilon \text { для } t \in(a, b),
\]

если только $n>N(\varepsilon)$ и $p>0$. Таким образом, для последовательности вектор-функций $\left\{\varphi_{n}(t)\right\}$ на $(a, b)$ выплнен критерий Коши. Следовательно, эта последовательность сходится на ( $a, b$ ), т. е. существует
\[
\varphi(t)=\lim _{n \rightarrow \infty} \varphi_{n}(t) .
\]

Переходя к пределу при $p \rightarrow \infty$ в неравенстве (5.5.2), получаем
\[
\left\|\varphi(t)-\varphi_{n}(t)\right\| \leqslant \varepsilon
\]

при $n>N(\varepsilon)$.
Отсюда следует, что сходимость равномерная:
\[
\varphi_{n}(t) \underset{t}{\underset{i}{\rho}}(t),
\]

и так как вектор-функции $\varphi_{n}(t)$ непрерывны на $(a, b)$, то $\varphi(t) \in C(a, b)$. Кроме того, учитывая, что всктор-функции $\varphi_{n}(t)$ ограничены:
\[
\left\|\varphi_{n}(t)\right\| \leqslant c_{n} \quad(n=1,2, \ldots),
\]

из неравенства (5.5.3) при фиксированном $n_{1}>N(1)$ находим
\[
\|\varphi(t)\| \leqslant\left\|\varphi_{n_{1}}(t)\right\|+\left\|\varphi(t)-\varphi_{n_{1}}(t)\right\| \leqslant c_{n_{1}}+1 .
\]

Поэтому $\varphi(t)$ также ограничена и, зғачит, $\varphi \in R$, что и доказывает полноту пространства $R$.

Определение 3. Пусть любому элементу $x \in X$ по определенному правилу $A$ ставится в соответствие элемент $A x=y \in Y$. Тогда говорят, что
\[
y=A x
\]

есть оператор, определенный на множестве $X$ со значениями из $Y$ (действующий из $X$ в $Y$ ).

Множество $X$ называется линейным пространством (см. [51]), если для любых $x, x^{\prime} \in X$ определены операции: 1) ‘сложения $x+x^{\prime} \in X$ и 2) умножения на скаляр $\alpha x \in X$ с обычными свойствами. Например, таковым является векторное пространство (гл. I, §5).

Оператор $A$ называется линейным, если он определен в линейном пространстве $X$ и имеет значения, принадлежащие также линейному пространству $Y$, причем для любых $x, x^{\prime} \in X$ имеем
1) $A\left(x+x^{\prime}\right)=A x+A x^{\prime}$
2) $A(\alpha x)=\alpha A x(\alpha-$ число).
Пример 4. Опсратор $\frac{d}{d t}$, ставящий в соответствие каждой функции $x(t) \in C^{1} \quad(a, b)$ ее производную $y(t)=x^{\prime}(t) \in C(a, b)$, называется onepamoром дифференцирования. Легко прозерить, что этот оператор линейный.

Пусть $x \in R$, где $R$ – метрическое пространство и $y=A x-$ оператор, не обязательно линейный, действующий из $R$ в $R$.

Определение 4. Оператор $A$ называется непрерывным, если для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$ такое, что из неравенства $p\left(x^{\prime}, x\right)<\delta \quad\left(x, x^{\prime} \in R\right)$ следует неравенство
\[
p\left(A x^{\prime}, A x\right)<\varepsilon .
\]

Определение 5. Отображение
\[
y=A x
\]

называется сжатым (нли сюсимаюцим) в $R$, если для любых точек $x, x^{\prime} \in R$ выполнено условие:
\[
p\left(A x, A x^{\prime}\right) \leqslant q p\left(x, x^{\prime}\right),
\]

где число $q$ удовлетворяет неравенству $0 \leqslant q<1$. Замечание. Сжатое отображение $y=A x$ непрерывно.
Действительно, для данного $\varepsilon>0$, выбирая $\delta=\frac{\varepsilon}{q}>0$ из неравенства (5.5.4), будем иметь: если
\[
p\left(x, x^{\prime}\right)<\delta=\frac{\varepsilon}{q} \text {, то } p\left(A x, A x^{\prime}\right) \leqslant q p\left(x, x^{\prime}\right)<\varepsilon \text {. }
\]

А это и означает, что $y=A x$ непрерывно.
Теорема (принцй сжатых отображений). Всякое сжатое отобралкение
\[
y=A x
\]

в полном метрическом пространстве $R$ имеет одну и только одну неподвижную точку, $m$. е. для сжатого отображения с существует единственная точка $\xi \in R$ такая, что
\[
A \xi=\xi \text {. }
\]

Доказательство [51]. Пусть $x_{0} \in R$. Рассмотрим последовательность
\[
x_{n}=A x_{n-1} \quad(n=1,2, \ldots) \text {, }
\]

где $x_{n} \in R$. Из формулы (5.5.6) вытекает, что
\[
p\left(x_{n+1}, x_{n}\right)=p\left(A x_{n}, A x_{n-1}\right) \leqslant q \rho\left(x_{n}, x_{n-1}\right) \leqslant q^{n} p\left(x_{1}, x_{0}\right) .
\]

Отсюда при любом $p>0$ имеем
\[
\begin{array}{c}
\rho\left(x_{n+p}, x_{n}\right) \leqslant p\left(x_{n+p}, x_{n+p-1}\right)+\rho\left(x_{n+p-1}, x_{n+p-2}\right)+\ldots+\rho\left(x_{n+1}, x_{n}\right) \leqslant \\
\leqslant q^{n+p-1} \rho\left(x_{1}, x_{0}\right)+q^{n+p-2} \rho\left(x_{1}, x_{0}\right)+\ldots+q^{n} \rho\left(x_{1}, x_{0}\right)= \\
=\frac{q^{n}-q^{n+p}}{1-q} \rho\left(x_{1}, x_{0}\right) \leqslant \frac{q^{n}}{1-q} \rho\left(x_{1}, x_{0}\right)<\varepsilon,
\end{array}
\]

если $n>N(\varepsilon)$, где $N$ достаточно велико. Следоватепьно, последовательность $\left\{x_{n}\right\}$ фундаментальная, а так как пространство $R$ полное, то существует
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=\xi \text {. }
\]

Переходя к пределу при $n \rightarrow \infty$ в равенстве (5.5.7) и учитывая непрерывность оператора $A$, будем иметь
\[
\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=A \lim _{n \rightarrow \infty} x_{n-1},
\]

или
\[
\xi=A \xi \text {. }
\]

Таким образом, $\xi$ есть неподвижная точка отображения (5.5.5). Эта неподвижная точка единственная. Действительно, пусть
\[
A \xi^{\prime}=\xi^{\prime} \text {, }
\]

где $\xi^{\prime}
eq \xi$. Из равенств (5.5.5) х (5.5.9) получаем

Отсюда
\[
p\left(\xi, \xi^{\prime}\right)=p\left(A \xi, A \xi^{\prime}\right) \leqslant q p\left(\xi, \xi^{\prime}\right) .
\]

что невозможно.
\[
1 \leqslant q \text {, }
\]

Теорема доказана.
Замечание. В условиях теоремы неподвижная точка преобразования (5.5.5), т. е. решение операторного уравнения (5.5.6), может быть найдена методом последовательных приближений (5.5.7), исходя из произвольного начального значения $x_{0} \in R$.