Теорема Америо (см. [76]). Если почти периодиеская cucmena
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x)
\]

имеет ограниченное ретиение $\xi(t)$, содержащееся в некотором компакте $B_{x}$ при $t \in I_{t}$, причем огрсниченные решения из $\bar{B}_{x}$ всех присоединенных систем $S_{t+h}$ разделены в $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ (§20), то все эти ограниченіые решения почти периодичекие.

Доказательство [73]. Пусть $\xi=\xi(t)$ – ограниченное решение системы $S_{t}$ такое, что $\xi(t) \in \widetilde{B}_{\boldsymbol{x}}$ при $t \in I_{t}$. Чтобы убедиться в почти периодичности этого решения, достаточно доказать, что вектор-функция $\xi(t)$ нормальная, т. е. из любой последовательности ее сдвигов $\left\{\xi\left(t+h_{p}\right)\right\}$ можно выделить подпоследовательность $\left\{\xi\left(t+h_{\alpha_{p}}\right)\right\}$, равномерно сходящуюся на всей действительной осн $-\infty<t<+\infty$.

Предположим противное. Пусть существует последовательность $\left\{\xi\left(t+h_{p}\right)\right\}$, сходящаяся равномерно на каждом конечном промежутке $\alpha<t<\beta$ (этого всегда можно добиться в силу теоремы Арцеля), причем любая ее подпоследовательность $\left\{\xi\left(t+k_{p}\right)\right\}$ не сходится равномерно на бесконечной оси – $-\infty<<\infty$. Так как $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{x})$ почти периодическая, то на основании теоремы Бохнера можно предполагать, что последовательность $\left\{\boldsymbol{f}\left(t+k_{p}, \boldsymbol{x}\right)\right\}$ сходится равномерно на $I_{t} \times \widetilde{B}_{x}$.

Пусть $p$-.. положительное чкло, характеризующее равноразделенность ограниченных решений систем $\left\{S_{t+h}\right\}$ в $I_{t} \times \bar{B}_{x}$ (лемма 4 из $\S 20$ ). Если ограниченное решение $\xi(t)$ единственно, то число $p>0$ можно взять произвольным.
Положим

и
\[
\begin{array}{c}
\varphi_{p q}(t)=\left\|\xi\left(t+k_{p}\right)-\xi\left(t+k_{q}\right)\right\| \quad(p<q) \\
I_{t}^{(p, q)}=\left\{t: t \in I_{t}, \quad \varphi_{p q}(t) \leqslant \frac{\rho}{2}\right\} .
\end{array}
\]

Так как последовательность $\left\{\xi\left(t+k_{p}\right)\right\}$ сходится в каждой точке $t \in I_{t}$, то при достаточно больших $p$ и $q$ множество $I_{t}^{(p, q)}$ не пусто, причем
\[
I_{t}=\bigcup_{p<q} I_{t}^{(p, q)} .
\]

Очевидно, $\varphi_{p q}(t)$ непрерывна на $I_{t}$.
Пусть
\[
\delta_{p q}=\sup _{t \in I_{t}^{(p, q)}} \varphi_{p q}(t) \leqslant \frac{p}{2} .
\]

Если
\[
\lim _{p, q \rightarrow \infty} \delta_{p q}=0,
\]

то последовательность $\left\{\xi\left(t+k_{p}\right)\right\}$ сходится равномерно на оси $I_{t}$. Действительно, при условии (21.1) для любого $\varepsilon>0$, где $0<\varepsilon<\frac{\rho}{2}$, имеем
\[
\delta_{p q}<\varepsilon \text { при } q>p \geqslant N_{\varepsilon} .
\]

Отсюда $\varphi_{p q}(t)<\varepsilon<\frac{p}{2}$, если $t \in I_{t}^{(p, q)}$, причем $\varphi_{p q}(t)>\frac{p}{2}$, если $t \in I_{t}^{(p, q)}$. Но функция $\varphi_{p q}(t)$ непрерывна на $I_{t} ;$ поэтому $I_{t}^{(p, q)} \equiv I_{t}$ при $p, q \geqslant N_{\varepsilon}$ и, следовательно, $\left\{\xi\left(t+k_{p}\right)\right\}$ сходится равномерно на́ $(-\infty,+\infty)$. В этом случає теорема доказана.

Предположим противное, т. е. что соотношение (21.1) не имеет места. Тогда
\[
\varlimsup_{p, q \rightarrow \infty} \delta_{p q}=2 \gamma>0
\]

и, следовательно, найдутся последовательности $\left\{p_{r}\right\}$ и $\left\{q_{r}\right\}$ такие, что
\[
\delta_{p_{r} q_{r}} \geqslant \gamma \quad(r=1,2, \ldots) .
\]

Отсюда в силу определения функции $\delta_{p q}$ вытекает, что существует последовательность $\left.\left\{t_{r}\right\} \in I_{t}^{(p} r^{\prime} q_{r}\right)$, для которой
\[
\varphi_{p_{r} q_{r}}\left(t_{r}\right) \geqslant \frac{\gamma}{2}
\]

и, значит,
\[
\frac{\gamma}{2} \leqslant\left\|\xi\left(t_{r}-k_{p_{r}}\right)-\xi\left(t_{r}+k_{q_{r}}\right)\right\| \leqslant \frac{p}{2} \quad(r=1,2, \ldots) .
\]

Так как $\xi(t)$ ограничена, то из последовательностей $\left\{\xi\left(t_{r}+k_{p_{r}}\right)\right\}$ и $\left\{\xi\left(t_{r}+\frac{1}{-} k_{q_{r}}\right)\right\}$ можно выбрать одновременно сходящиеся подпоследовательности:
\[
\boldsymbol{u}=\lim _{s \rightarrow \infty} \xi\left(t_{s}^{\prime}+\lambda_{s}\right)
\]

и
\[
\boldsymbol{v}=\lim _{s \rightarrow \infty} \xi\left(t_{s}^{\prime}+\mu_{s}\right),
\]

где $t_{s}^{\prime}=t_{r_{s}}, \lambda_{s}=k_{p_{r_{s}}}$ и $\mu_{s}=k_{q_{r_{s}}}$. Переходя к пределу в неравенстве (21.3) по последовательности $r_{s}(s==1,2, \ldots)$, будем иметь
\[
\frac{\gamma}{2} \leqslant\|u-v\| \leqslant \frac{\rho}{2} .
\]

Рассмотрим последовательности $\left\{\xi\left(t+t_{s}^{\prime}+\lambda_{s}\right)\right\}$ и $\left\{\xi\left(t+t_{s}^{\prime}+\mu_{s}\right)\right\}$. Так как эти последовательности равномерно ограничены и равностепенно непрерывны, то по теореме Арцеля (гл. V, § 2) из них можно выделить подпоследовательности, сходящиеся равномерно на каждом копечном интервале $\alpha<t<\beta$. Чтобы не усложнять обозначений, мы будем предполагать, что сами эти последовательности сходятся, т. е. существуют
\[
\eta_{1}(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} \xi\left(t+t_{s}^{\prime}+\lambda_{s}\right)
\]

и
\[
\eta_{2}(t)=\lim _{s \rightarrow \infty} \xi\left(t+t_{s}^{\prime}+\mu_{s}\right) .
\]

Вектор-функции $\eta_{1}(t)$ и $\boldsymbol{\eta}_{2}(t)$ являются, соответственно, решениями присоединенных систем
\[
\frac{d y}{d t}=g_{1}(t, y)
\]

и
\[
\frac{d y}{d t}=g_{2}(t, y) \text {, }
\]

где
\[
g_{1}(t, y)=\lim _{s \rightarrow \infty} f\left(t+t_{s}^{\prime}+\lambda_{s}, y\right)
\]

и
\[
g_{2}(t, y)=\lim _{s \rightarrow \infty} f\left(t+t_{s}^{\prime}+\mu_{s}, y\right),
\]

причем опять предполагается, что в случае надобности выбрана равномерно сходящаяся на $I_{t} \times \bar{B}_{x}$ подпоследовательность.

Покажем, что пределы (21.5) и (21.6) совпадают. Действительно, так как согласно нашему выбору последовательность $\left\{\boldsymbol{f}\left(t+k_{p}, \boldsymbol{x}\right)\right\}$ сходится равномерно на $I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$ и $\left\{\lambda_{s}\right\}$, $\left\{\mu_{s}\right\}$ суть подпоследовательности последовательности $\left\{k_{p}\right\}$, то
\[
\lim _{s \rightarrow \infty} f\left(t+\lambda_{s}, y\right)=\lim _{s \rightarrow \infty} f\left(t+\mu_{s}, y\right)=\boldsymbol{g}(t, y)
\]

и
\[
\left\|\boldsymbol{f}\left(t+\lambda_{s}, y\right)-f\left(t+\mu_{s}, y\right)\right\|<\varepsilon
\]

при $s \geqslant N(\varepsilon)$ и $(t, y) \in I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$. Отсюда
\[
\begin{array}{l}
\left\|\boldsymbol{g}_{1}(t, y)-g_{2}(t, y)\right\| \leqslant\left\|\boldsymbol{g}_{1}(t, \boldsymbol{y})-\boldsymbol{f}\left(t+t_{s}^{\prime}+\lambda_{s}, \boldsymbol{y}\right)\right\|+ \\
+\left\|\boldsymbol{f}\left(t+t_{s}^{\prime}+\lambda_{s}, \boldsymbol{y}\right)-\boldsymbol{f}\left(t+t_{\mathrm{s}}^{\prime}+\mu_{s}, \boldsymbol{y}\right)\right\|+ \\
+\left\|\boldsymbol{f}\left(t+t_{s}^{\prime}+\mu_{s}, \boldsymbol{y}\right)-\boldsymbol{g}_{2}(t, \boldsymbol{y})\right\| \leqslant 3 \varepsilon
\end{array}
\]

если $s \geqslant N(\varepsilon)$ и $(t, \boldsymbol{y}) \in I_{t} \times \bar{B}_{\boldsymbol{x}}$.
Следовательно,
\[
g_{1}(t, y) \equiv g_{2}(t, y) \quad \text { при }(t, y) \in I_{t} \times \bar{B}_{x} .
\]

Таким образом, $\boldsymbol{\eta}_{1}(t)$ и $\boldsymbol{\eta}_{\mathbf{z}}(t)$ являются ограниченными решениями одной и той же присоединенной системы $S_{t+h}$ в области $I_{t} \times \bar{B}_{x}$. Так как
\[
\boldsymbol{\eta}_{1}(0)=\lim _{s \rightarrow \infty} \xi\left(t_{s}^{\prime}+\lambda_{s}\right)=\boldsymbol{u}
\]

и
\[
\boldsymbol{\eta}_{2}(0)=\lim _{s \rightarrow \infty} \xi\left(t_{s}^{\prime}+\mu_{s}\right)=\boldsymbol{v},
\]

причем на основании неравенства (21.4) имеем
\[
\frac{\gamma}{2} \leqslant\left\|\eta_{1}(0)-\eta_{2}(0)\right\| \leqslant \frac{p}{2},
\]

то эти решения различны. Поэтому в силу выбора числа р должно быть выполнено неравенство
\[
\inf _{t}\left\|\boldsymbol{\eta}_{1}(t)-\boldsymbol{\eta}_{2}(t)\right\| \geqslant p>0 .
\]

Однако это противоречит нераве:ству. (21.7).
Теорема доказана.

Следствие. Ecл.i noчmи периодинеская система $S_{t}$ имеет единстеенное ограниченное реиение $\xi(t)$ исе системь ее $H$-класса $\left\{S_{t+h}\right\}$ также обладают единственными ограниченньии решениями, то есе эми ограниеннье решения почти периодичекие.
Рассмотрим линейную однорсдную систему
\[
\frac{d x}{d t}=P(t) x,
\]

где $P(t)$ – почти периодическая матрица, и пусть
\[
\frac{d \tilde{x}}{d t}=\tilde{P}(t) \tilde{\boldsymbol{x}}, \quad\left(\Sigma_{t+h}\right)
\]

где
\[
P\left(t+h_{p}\right) \underset{t}{\rightrightarrows} \tilde{P}(t)
\]
– eе $H$-класс.

Теорема Фавара (см. [77], [67]). Если каждая присоединенная система $\Sigma_{t+h}$ не имеет ораниченных нетривиальных решений, то для любой неоднородной системы
\[
\frac{d y}{d t}=P(t) y+f(t)
\]

где $f(t)$ – почти периодическая вектор-функция, ее огранчченное решение, если оно сущеспвует, является почти периодическим.
Доказательство. $H$-класс системы $S_{t}$ имеет вид
\[
\frac{d \tilde{y}}{d t}=\tilde{P}(t) \tilde{y}+\tilde{f}(t)
\]

где
\[
P\left(t+h_{p}\right) \underset{t}{\rightarrow} \tilde{P}(t)
\]

и
\[
f\left(t+h_{p}\right) \underset{t}{\rightarrow} \tilde{f}(t)
\]

Так как разность двух решений неоднородной системы $S_{t+h}$ представляет собой решение однородной системы $\Sigma_{t+h}$, то в силу условий теоремы любая систеиа $S_{t+t}$ имеет единственное ограниченное решение. Отсюда на основании следствия к теореме Америо получаем, что ограниченное решение системы $S_{i}$, если оно существует, является почти периодическим.

Замечание. В условиях теоремы единственные ограпиченные решения присосдиненных систем $S_{t+h}$ также будут почти периодичесінім.