Tеорема Ляпунова-Пуанкаре. Ecли матрица $A(t)$ линейной гамильтоновой системы
\[
\frac{d x}{d t}=\int A(t) x
\]
ю-периодическая, то характеристическое уравнение
\[
f(\rho) \equiv \operatorname{det}[\rho E-X(\omega))=0,
\]
где $X(\omega)$ – матрица монодромии, является возвратным.
Доказательство. Приведем простое доказательство теоремы, принадлежащее Гельфанду и Лидскому (см. [34]).
На основании леммы и замечания к ней (§20) для фундаментальной матрицы $X(t)(X(0)=E)$ справедливо соотношение
\[
X^{T}(t) J X(t)=C .
\]
Полагая $t=0$ и учитывая, что $X^{T}(0)=X(0)=E$, получим
\[
C=J \text {. }
\]
1) То есть разность $n-\delta$ делится без остатка на 2 ,
Таким образом,
\[
X^{T}(t) J X(t)=J
\]
и, следовательно,
\[
X^{T}(t)=J X^{-1}(t) J^{-1} \text {. }
\]
В частности,
\[
X^{T}(\omega)=J X^{-1}(\omega) J^{-1} .
\]
Отсюда, учитывая, что
\[
\operatorname{det} J=\operatorname{det} J^{-1}=1 \text {, }
\]
при $\rho
eq 0$ имеем
\[
\begin{aligned}
f\left(\frac{1}{\rho}\right) & =\operatorname{det}\left[\frac{1}{\rho} E-X(\omega)\right]=\frac{1}{\rho^{2 n}} \operatorname{det}[E-\rho X(\omega)]= \\
& =\frac{1}{\rho^{2 n}} \operatorname{det}\left[E-\rho X^{T}(\omega)\right]=\frac{1}{\rho^{2 n}} \operatorname{det}\left[J E J^{-1}-\rho J X^{-1}(\omega) J^{-1}\right]= \\
& =\frac{1}{\rho^{2 n}} \operatorname{det} J \cdot \operatorname{det}\left[E-\rho X^{-1}(\omega)\right] \cdot \operatorname{det} J^{-1}= \\
& =\frac{1}{\rho^{2 n}} \operatorname{det} X^{-1}(\omega) \cdot \operatorname{det}[\rho E-X(\omega)] .
\end{aligned}
\]
Ho
\[
\operatorname{det} X(\omega)=\operatorname{det} X(\theta) \cdot \exp \int_{0}^{\omega} \mathrm{Sp} J A(t) d t=1,
\]
поэтому
\[
\operatorname{det} X^{-1}(\omega)=1 \text {. }
\]
Таким образом,
\[
\rho^{2 n} f\left(\frac{1}{\rho}\right) \equiv f(\rho)
\]
и, значит ( $\$ 21$ ), характеристическое уравнение (3.22.2) является возвратным.
Следствие 1. Для гамильтоновой системы (3.22.1) мультипликаторы $\rho_{s}$ и $\frac{1}{\rho_{s}}\left(\left|\rho_{s}\right|
eq 1\right)$ имеют одинаковую кратность.
Следствие 2. Если характеристическое уравнение (3.22.2) имеет корень $\rho=1$ или $\rho=-1$, то эти корни четной кратности.
Из теоремы Ляпунова-Пуанкаре вытекает, что гамильтонова линейная система не может быть асимптотически устойчивой ( $\$ 15$ ).
Теорема. Линейная гамильнона система с периодическими. коэффициентами устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы рј расположены на единичной окружности $|p|=1$ и имеют простые элементарные делители.
Рассмотрим систему (см. [29]):
\[
\frac{d^{2} \boldsymbol{x}}{d t^{2}}+B(t) \boldsymbol{x}=\mathbf{0},
\]
где $B(t)-(n \times n)$-матрица периодическая и симметрическая:
\[
B(t+\omega) \equiv B(t), \quad B^{T}(t) \equiv B(t) \quad(\omega>0) .
\]
Запишем матричное уравнение (3.22.4) в виде системы:
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y, \\
\frac{d y}{d t}=-B(t) x,
\end{array}\right\}
\]
или
\[
\frac{d}{d t}\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=J A(t)\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]
\]
где
\[
A(t)=\left[\begin{array}{cc}
B(t) & 0 \\
0 & E_{n}
\end{array}\right] .
\]
Так как матрица $A(t)$ симметрическая, т. е. $A^{T}(t)=A(t)$, имеем теорему: характеристическое уравнение для периодической системы (3.22.5) возвратное.
