Tеорема Ляпунова-Пуанкаре. Ecли матрица $A(t)$ линейной гамильтоновой системы
$$\frac{dx}{dt}=\int A(t)x$$

ю-периодическая, то характеристическое уравнение
$$f(\rho )\equiv \det [\rho E-X(\omega ))=0,$$

где $X(\omega )$ — матрица монодромии, является возвратным.
Доказательство. Приведем простое доказательство теоремы, принадлежащее Гельфанду и Лидскому (см. [34]).

На основании леммы и замечания к ней (§20) для фундаментальной матрицы $X(t)(X(0)=E)$ справедливо соотношение
$$X^T(t)JX(t)=C.$$

Полагая $t=0$ и учитывая, что $X^T(0)=X(0)=E$, получим
$$C=J\text{. }$$
1) То есть разность $n-\delta$ делится без остатка на 2 ,

Таким образом,
$$X^T(t)JX(t)=J$$

и, следовательно,
$$X^T(t)=J{X}^{-1}(t)J^{-1}\text{. }$$

В частности,
$$X^T(\omega )=J{X}^{-1}(\omega )J^{-1}.$$

Отсюда, учитывая, что
$$\det J=\det J^{-1}=1\text{, }$$

при $\rho eq0$ имеем
$$\begin{array}{rl}f\left(\frac{1}{\rho }\right)& =\det [\frac{1}{\rho }E-X(\omega )]=\frac{1}{{\rho }^{2n}}\det [E-\rho X(\omega )]=\\ & =\frac{1}{{\rho }^{2n}}\det [E-\rho X^T(\omega )]=\frac{1}{{\rho }^{2n}}\det [JE{J}^{-1}-\rho J{X}^{-1}(\omega )J^{-1}]=\\ & =\frac{1}{{\rho }^{2n}}\det J\cdot \det [E-\rho X^{-1}(\omega )]\cdot \det J^{-1}=\\ & =\frac{1}{{\rho }^{2n}}\det X^{-1}(\omega )\cdot \det [\rho E-X(\omega )].\end{array}$$

Ho
$$\det X(\omega )=\det X(\theta )\cdot \exp {\int }_0^{\omega }\mathrm{Sp}JA(t)dt=1,$$

поэтому
$$\det X^{-1}(\omega )=1\text{. }$$

Таким образом,
$${\rho }^{2n}f\left(\frac{1}{\rho }\right)\equiv f(\rho )$$

и, значит ( $\mathrm{\$}21$ ), характеристическое уравнение (3.22.2) является возвратным.

Следствие 1. Для гамильтоновой системы (3.22.1) мультипликаторы ${\rho }_s$ и $\frac{1}{{\rho }_s}\left(\left|{\rho }_s\right|eq1\right)$ имеют одинаковую кратность.

Следствие 2. Если характеристическое уравнение (3.22.2) имеет корень $\rho =1$ или $\rho =-1$, то эти корни четной кратности.

Из теоремы Ляпунова-Пуанкаре вытекает, что гамильтонова линейная система не может быть асимптотически устойчивой ( $\mathrm{\$}15$ ).

Теорема. Линейная гамильнона система с периодическими. коэффициентами устойчива тогда и только тогда, когда все ее мультипликаторы рј расположены на единичной окружности $|p|=1$ и имеют простые элементарные делители.

Рассмотрим систему (см. [29]):
$$\frac{d^2\mathit{x}}{d{t}^2}+B(t)\mathit{x}=\mathbf{0},$$

где $B(t)-(n\times n)$-матрица периодическая и симметрическая:
$$B(t+\omega )\equiv B(t),B^T(t)\equiv B(t)(\omega >0).$$

Запишем матричное уравнение (3.22.4) в виде системы:
$$\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=y,\\ \frac{dy}{dt}=-B(t)x,\end{array}\}$$

или
$$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]=JA(t)\left[\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right]$$

где
$$A(t)=\left[\begin{array}{cc}B(t)& 0\\ 0& E_n\end{array}\right].$$

Так как матрица $A(t)$ симметрическая, т. е. $A^T(t)=A(t)$, имеем теорему: характеристическое уравнение для периодической системы (3.22.5) возвратное.