Пусть дана действительная нелинейная дифференциальная система
\[
\frac{d y}{d t}=Y(t, y),
\]

где $\boldsymbol{Y} \in C_{t y}^{0.11}(\Omega)$ и $\Omega=\{a<t<\infty, y \in G\}$ (а-число или символ – $\infty, \bar{G}$– открытое множество действительного евклидова $n$-мерного пространства $\left.\mathscr{R}_{y}^{n}\right)$. Тогда для каждой точки $\left(t_{0}, y_{0}\right) \in \mathcal{Q}$ справедлива локальная теорема существования и единственности решения $y=y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)$ системы (4.1.1) с начальными условиями: $y\left(t_{0} ; t_{0}, y_{0}\right)=\boldsymbol{y}_{0}$. В этой главе мы ограничимся рассмотрением лишь действительных решений.

Пусть $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)\left(t_{0} \leqslant t<\infty ; t_{0}>a\right)$ – решение системы (4.1.1) (невозмущенное движение), устойчивость которого требуется исследовать, причем $H$-окрестность этого решения такова, что $U_{H}(\eta(t)) \subset$ $\subset G$ при $t \in\left[t_{0}, \infty\right)$, где
\[
U_{H}(\eta(t))=\left\{t_{0} \leqslant t<\infty,\|\boldsymbol{y}-\eta(t)\|<H \leqslant \infty\right\} .
\]

Положим
\[
\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}-\boldsymbol{\eta}(t),
\]
т. е. $\boldsymbol{x}$ есть отклонение решения $\boldsymbol{y}$ от решения $\eta(t)$. Так как
\[
\dot{\boldsymbol{\eta}}(t) \equiv \boldsymbol{Y}(t, \boldsymbol{\eta}(t)),
\]

то для $\boldsymbol{x}$ получаем дифференциальное уравнение
\[
\frac{d x}{d t}=X(t, x),
\]

где
\[
\begin{array}{c}
\boldsymbol{X}(t, \boldsymbol{x})=[\boldsymbol{Y}(t, \boldsymbol{x}+\boldsymbol{\eta}(t))-\boldsymbol{Y}(t, \boldsymbol{\eta}(t))] \in C_{t \boldsymbol{x}}^{\prime 0,1}(Z), \\
Z=\{a<t<\infty,\|\boldsymbol{x}\|<H\},
\end{array}
\]

причем, очевидно,
\[
X(t, 0) \equiv 0 .
\]

Следовательно, система (4.1.3) имеет тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$, которое в пространстве $\mathscr{R}_{y}^{n}$ соответствует данному решению $\eta=\eta(t)$ (рис. 28, а и б). Систему (4.1.3) будем называть приведенной (по Ляпунову она называется системой уравнений возмуценного движения).
Рис. 28.
Таким образом, исследование устойчивости решения $\eta=\eta(t)$ в пространстве $\mathscr{R}_{y}^{n}$ сводится к исследованию устойчивости тривиального решения (положения равновесия) $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ в пространстве $\mathscr{R}_{\boldsymbol{x}}^{n}$.