Определение. Функция $f(x)\in C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ называется нормальной, если из каждой бесконечной последовательности ее сдвигов $\left\{f(x+h_n)\right\}(h_n\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ можно выделить равномерно сходящуюся на всей действительной оси подпоследовательность. Иными словами, функция $f(x)$ нормальная, если семейство функции $\{f(x+h)\}(-\mathrm{\infty }<h<\mathrm{\infty })$ компактно в смысле равномерной сходимости.

Всякая нормальная функция $f(x)$, очевидно, ограничена. Действительно, если существует последовательность $\left\{x_n\right\}$ такая, что $\left|f\left(x_n\right)\right|\to \mathrm{\infty }$, то из последовательности $\left\{f(x+x_n)\right\}$ нельзя выбрать сходящуюся при $x=0$, а следовательно и на ( $-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ ), подпоследовательность.

Пользуясь понятием нормальности, Бохнер (см. [72]) дал другое определение п. п. функции, полезное для приложений.

Теорема Бохнера. Непрерывная функция является почти периодической тогда и только тогда, когда она нормальная.

Доказательство (см. [67]). 1) Докажем сначала необходимость этого условия, т. е. мы предположим, что функция $f(x)$ почти периодическая, и докажем, что она нормальная.
Рассмотрим произвольную последовательность
$$f(x+h_1),f(x+h_q),\dots ,f(x+h_n),\dots ,$$

где $h_n(n=1,2,\dots )$ — действительные числа. Так как функция $f(x)$ ограничена ( $\mathrm{\S }7$ ), то эта последовательность также ограничена. На числовой оси $-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }$ возьмем счетное всюду плотное множество точек $x_1,x_2,\dots$ (например, множество рациональных чисел). Из ограниченной числовой последовательности
$$f(x_1+h_1),f(x_1+h_2),\dots ,f(x_1+h_n),\dots$$

выберем сходящуюся подпоследовательность
$$f(x_1+h_{11}),f(x_1+h_{19}),\dots ,f(x_1+h_{1n}),\dots$$

Далее, из ограниченной числовой последовательности
$$f(x_2+h_{11}),f(x_2+h_{12}),\dots ,f(x_2+h_{1n}),\dots$$

выберем сходящуюся подпоследовательность
$$f(x_9+h_{21}),f(x_2+h_{22}),\dots ,f(x_2+h_{2n}),\dots$$

Этот процесс продолжаем неограниченно. Тогда диагональная функциональная последовательность
$$f(x+h_{11}),f(x+h_z),\dots ,f(x+h_{nn}),\dots$$

будет сходиться в каждой точке $x_m(m=1,2,\dots )$ нашего всюду плотного множества.
Действительно, согласно построению члены последовательности
$$f(x_m+h_{11}),f(x_m+h_{2\mathrm{z}}),\dots ,f(x_m+h_{nn}),\dots$$

при $n⩾m$ входят в состав сходящейся последовательности
$$f(x_m+h_{m1}),f(x_m+h_{m2}),\dots ,f(x_m+h_{mn}),\dots$$

и, значит, последовательность (15.2) сходится.
Докажем, что диагональная последовательность (15.1) сходится равномерно на всей действительной оси ( $-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ ). Пусть $\epsilon >0$ произвольно. Согласно определению п. п. функции существует число $l=l\left(\frac{\epsilon }{5}\right)$ такое, что каждый отрезок $[a,a+l]$ длины $l$ содержит хотя бы один почти-период $\tau ={\tau }_f\left(\frac{\epsilon }{5}\right)$. Далее, пусть $\delta =\delta \left(\frac{\epsilon }{5}\right)$ — положительное число, определяемое на основе равномерной непрерывности функции $f(x)$. На отрезке $[0,l]$ из точек всюду плотного множества $\left\{x_m\right\}$ построим конечную $\delta$-сеть:
$${\xi }_1=x_{m_1},{\xi }_2=x_{m_2},\dots ,{\xi }_s=x_{m_s},$$

где
$$0<{\xi }_{j_{+1}}-{\xi }_j<\delta (j=1,2,\dots ,s-1;{\xi }_1<\delta ,{\xi }_s>l-\delta ).$$

Так как диагональная последовательность (15.1) сходится в точках ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots ,{\xi }_s$ и число их конечно, то равномерно для совокупности этих точек выполнен критерий Коши, т. е. существует $N=N\left(\frac{\epsilon }{5}\right)$ такое, что
$$|f({\xi }_j+h_{pp})-f({\xi }_j+h_{qq})|<\frac{\epsilon }{5}(j=1,2,\dots ,s),$$

если только $p,q>N$.
Пусть теперь $x$ — любая точка-из $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ и $x^{\prime }\in [0,l]$ есть $\frac{\epsilon }{5}$-конгруэнтная ей точка (§1), г. е. $x^{\prime }=x+\tau \left(\frac{\epsilon }{5}\right)$ : Обозначая через ${\xi }_k(k\in [1,s])$ ближайшую к $x^{\prime }$ точку $\delta$-сети, при $p,q>N$ будем иметь
$$\begin{array}{l}|f(x+h_{pp})-f(x+h_{qq})|⩽|f(x+h_{pp})-f(x^{\prime }+h_{pp})|+\\ +|f(x^{\prime }+h_{pp})-f({\xi }_k+h_{pp})|+|f({\xi }_k+h_{pp})-f({\xi }_k+h_{qq})|+\\ +|f({\xi }_k+h_{qq})-f(x^{\prime }+h_{qq})|+\\ +|f(x^{\prime }+h_{qq})-f(x+h_{qq})|<\frac{\epsilon }{5}+\frac{\epsilon }{5}+\frac{\epsilon }{5}+\frac{\epsilon }{5}+\frac{\epsilon }{5}=\epsilon .\end{array}$$

Так как число $N$ не зависит от $\epsilon$, то отсюда следует, что последовательность $\left\{f(x+h_{nn})\right\}$ равномерно сходится на $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ и, таким образом, $f(x)$ есть нормальная функция.
Заметим, что предельная функция
$$\phi (x)=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}f(x+h_{nn}),$$

очевидно ( $\mathrm{\$}4$ ), является почти периодической.
2) Докажем теперь достаточность условий теоремы, т. е. предположим, что $f(x)\in C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ и является нормальной; требуется доказать, что $f(x)$ — п. п. функция.

Предположим противное. Пусть $f(x)$ не есть п. п. функция. Тогда суцествует ${\epsilon }_0>0$, для когорого нельзя подобрать соответствующую длину $l\left({\epsilon }_0\right)$, т. е. для любого $l>0$ найдется отрезок $[h-l;h+l]$ длины $2l$ такой, что для каждой точки $\xi \in [h-l$, $h+l]$ имеем
$$\underset{x}{sup}|f(x+\xi )-f(x)|⩾{\epsilon }_0\text{. }$$

Для краткости такие отрезки будем называть «особыми». Построим последовательность особых отрезков $[h_n-l_n,h_n+l_n](n=1,2,\dots )$ таких, что
$$l_n⩾\underset{m<n}{max}\left|h_m\right|$$

$(n=2,3,\dots )$, где $l_1$ произвольно. Так как при $m<n$ имеем

то
$$\begin{array}{c}|h_n-(h_n-h_n)|=\left|h_m\right|⩽l_n,\\ h_n-h_m\in [h_n-l_n,h_n+l_n],\end{array}$$

если $m<n$.
Рассмотрим функциональную последовательность
$$f(x+h_1),f(x+h_2),\dots ,f(x+h_n),\dots ,$$

где $h_1,h_2,\dots ,h_n,\dots$ — центры наших особых отрезков. Для любой ее подпоследовательности
$$f(x+h_{p_1}),f(x+h_{p_3}),\dots ,f(x+h_{p_n}),\dots$$

при $p_m<p_n$ имеем
$$\begin{array}{rl}\underset{x}{sup}|f(x+h_{p_n})-f(x+h_{p_m})|& =\\ & =\underset{x}{sup}|f(x+h_{p_n}-h_{p_m})-f(x)|⩾{\epsilon }_0,\end{array}$$

так как $h_{p_n}-h_{p_m}$ принадлежит особому отрезку
$$[h_{p_n}-l_{p_n},h_{p_n}+l_{p_n}].$$

Следовательно, подпоследовательность $\left\{f(x+h_{p_n})\right\}$ несходится равномерно на ( $-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }$ ) и, значит, функция $f(x)$, вопреки предположению, не является нормальной функцией. Полученное противоречие и доказывает достаточность условия теоремы.

Замечание. Так как нормальность функции является необходимым и достаточным услозием почти периодичности ее, то это свойство можно принять за определение п. п. функции. Пользуясь свойством нормальности, получаем простое доказательство почти периодичности суммы или произведения конечного числа п. п. функций.