Согласно теории Флоке для ю-периодической системы (3.15.1) существует фундаментальная матрица вида
\[
X(t)=\Phi(t) \dot{e}^{. s t}
\]
где $\Phi(t)$ – $\omega$-периодическая матрица и $\Lambda$ – постоянная матрица. Пусть $\lambda_{1}, \ldots, \lambda_{m}(m \leqslant n)$ – характеристические показатели сн. стемы, т. е. собственные значения матрицы А. Приведем матрицу А к канонической форме Жордана
\[
\Lambda=S \cdot \operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right] S,
\]
где $S$ – неособенная постоянная матрица и $J_{p}\left(\lambda_{p}\right)(p=1, \ldots, m)$ соответствующие клетки Жордана. Из формулы (3.17.1) получаем
\[
X(t)=\Phi(t) S^{-1} \operatorname{diag}\left[e^{t J_{1}\left(\lambda_{1}\right)}, \ldots, e^{t J_{m}\left(\lambda_{m}\right.}\right] S .
\]
Так как произведение фундаментальной матрицы на неособенную постоянную матрицу есть также фундаментальная матрица, то периодическая система (3.15.1) допускает фундаментальную матрицу вида
\[
Y(t)=\Psi(t) \operatorname{diag}\left[e^{t t_{1}\left(\lambda_{1}\right)}, \ldots, e^{\left.t J_{m}{ }^{(\lambda} m^{\prime}\right]}\right]
\]
где
\[
\Psi(t)=\Phi(t) S^{-1}
\]
– неособенная непрерывная матрица периода $\omega$. Пусть $Y(t)=\left[y_{j k}(t)\right]$ и $\Psi(t)=\left[\psi_{j k}(t)\right]$. Полагая
\[
Y_{1}(t)=\Psi(t) \operatorname{diag}\left[e^{t J_{1}\left(\lambda_{1}\right)}, 0, \ldots, 0\right],
\]
где
и
получим соответствующие корню $\lambda_{1}$ частные решения:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{y}^{(1)}=\left[\begin{array}{l}
\psi_{11}(t) \\
\psi_{n 1}(t)
\end{array}\right] e^{\lambda_{1} t}, \\
\boldsymbol{y}^{(2)}=\left[\begin{array}{c}
\frac{t}{1 !} \psi_{11}(t)+\psi_{12}(t) \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\frac{t}{1 !} \psi_{n 1}(t)+\psi_{n 2}(t)
\end{array}\right] e^{\lambda_{1} t}, \\
\boldsymbol{y}^{\left(e_{1}\right)}=\left[\begin{array}{c}
\frac{t^{e_{1}-1}}{\left(e_{1}-1\right) !} \psi_{11}(t)+\ldots+\psi_{1 e_{1}}(t) \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
\frac{t^{e_{1}-1}}{\left(e_{1}-1\right) !} \psi_{n 1}(t)+\cdots+\psi_{n e_{1}}(t)
\end{array}\right] e^{\lambda_{1}(t)} . \\
\end{array}
\]
Систему решений $\boldsymbol{y}^{(1)}, \ldots, \boldsymbol{y}^{\left.e_{1}\right)}$ можно записать более просто. Пусть
\[
\boldsymbol{\Psi}^{(j)}(t)=\left[\begin{array}{c}
\psi_{1 j}(t) \\
\cdots \cdots \\
\psi_{n j}(t)
\end{array}\right]
\]
и
\[
P^{(1)}(t)=\frac{t^{e_{1}-1}}{\left(e_{1}-1\right) !} \boldsymbol{\Psi}^{(1)}(t)+\ldots+\frac{t}{1 !} \boldsymbol{\Psi}^{\left(e_{1}-1\right)}(t)+\psi^{\left(e_{1}\right)}(t) .
\]
Обозначим через $D$ операцию днфференцирования по $t$ при условии, что $\psi_{j k}(t)$ постоянные, т. е.
\[
\begin{array}{l}
D P^{(1)}(t)=\frac{t^{e_{1}-2}}{\left(e_{1}-2\right) !} \boldsymbol{\psi}^{(1)}(t)+\ldots+\boldsymbol{\psi}^{\left(e_{1}-1\right)}(t), \\
\text {. . . . . . . . . . . . . . . . . . . } \\
D^{e_{1}-1} \boldsymbol{P}^{(1)}(t)=\boldsymbol{\psi}^{(1)}(t) . \\
\end{array}
\]
Тогда группу частных решений: соответствующих клетке Жордана $J_{1}\left(\lambda_{1}\right)$, можно записать следующим образом (ср. [14]):
\[
\begin{array}{l}
y^{(1)}=e^{\lambda_{1} t} D^{e_{1}-1} \boldsymbol{P}^{(1)}(t), \\
y^{(2)}=e^{\lambda_{2} t} D^{e_{1}-2} \boldsymbol{P}^{(1)}(t), \\
\cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot \\
y^{\left(e_{1}\right)}=e^{\lambda_{1} t} \boldsymbol{P}^{(1)}(t),
\end{array}
\]
где $\boldsymbol{P}^{(1)}(t)$ – матричный полином типа $n \times 1$ от $t$ степени $e_{1}-1$, коэффициенты которого ()-периодические матрицы-столбцы.
Аналогичную форму имеют группы частных решений, соответствующие остальным клеткам Жордана $J_{p}\left(\lambda_{p}\right)(p=2, \ldots, m)$.
Из формулы (3.17.5) вытекает, что для каждого характеристического показателя $\lambda$ однородной периодической системы существует ее нормальное решение вида
\[
\boldsymbol{y}=e^{i t} \boldsymbol{\Psi}(t) \text {, }
\]
где $\boldsymbol{\psi}(t)$ – непрерывно дифференируемая $\omega$-периодическая векторфункция.
В частности, если все мультипликаторы $p_{1}, \ldots$, іл периодической системы простые, то существует ее фундаментальная система нормальных решений, имеющая вид
\[
\left.\begin{array}{c}
y_{1}=e^{\lambda_{1} t^{\prime}} \psi_{1}(t), \\
\cdot \cdot \cdot \\
y_{n}=e^{n^{t}} \dot{\psi}_{n}(t),
\end{array}\right\}
\]
где $\psi_{j}(t)(j=1, \ldots, n)$ – непрерывно дифференцируемые ю-периодические вектор-функции и $\lambda_{j}=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} \rho_{j}(j=1, \ldots, n)$.
Пример. Рассмотрим скалярное уравнение
\[
\ddot{x}+p(t) \dot{x}+q(t) x=0,
\]
где $p(t)$ и $q(t)$ – непрерывные $\omega$-периодические функции. Голагая $y=\dot{x}$, получим пинейную периодическую систему
\[
\left.\begin{array}{l}
\frac{d x}{d t}=y, \\
\frac{d y}{d t}=-q(t) x-p(t) y .
\end{array}\right\}
\]
Пусть $\rho_{1}$ и $\rho_{2}$ – мультипликаторы системы (3.17.7) и
\[
\lambda_{j}=\frac{1}{\omega} \operatorname{Ln} \rho_{j} \quad(j=1,2) .
\]
Так как
\[
\rho_{1} \rho_{2}=\exp \left[-\int_{0}^{\omega} p(t) d t\right]
\]
то можно принять
\[
\lambda_{2}=-\lambda_{1}-\frac{1}{\omega} \int_{0}^{\omega} p(t) d t .
\]
Если $p_{1}
eq \rho_{2}$ или же $p_{1}=p_{2}$, но им отвечают простые элементарные делители, то уравнение (3.17.6) будет иметь фундаментальную систему решений:
\[
x_{1}=\psi_{1}(t) e^{\lambda_{1} t}, \quad \dot{x}_{2}=\psi_{2}(t) e^{\lambda_{2} t},
\]
где $\psi_{1}(t)$ и $\psi_{2}(t)$ – непрерывно дифференцируемые ш-периодические функции.
Если $p_{1}=p_{2}$ и соответствующий элементарный делитель не является простым, то уравнение (3.17.6) допускает фундаментальную систему решений:
\[
x_{1}=\psi_{1}(t) e^{\lambda_{1} t}, x_{2}=\left[t \psi_{1}(t)+\psi_{2}(t)\right] e^{\lambda_{1} t},
\]
где $\psi_{1}(t)$ и $\psi_{2}(t)$ – – -периодические функции класса $C^{1}$ и
\[
\lambda_{1}=-\frac{1}{2 \omega} \int_{0}^{\omega} p(t) d t .
\]
