Рассмотрим систему
\[
\frac{d y}{d t}=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}),
\]

где $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \in C_{t \boldsymbol{y}}^{00,1)}\left(I_{t} \times \mathscr{R}_{y}^{n}\right)$ и $I_{1}=\{-\infty<t<+\infty\}$.
Определение. Обобщая определение В. А. Плисса (см. [47]), будем говорить, что система (4.16.1) обладает свойством конвергенции, если
1) все решения $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ определены при $t_{0} \leqslant t<\infty$;
2) существует единственное решение $\boldsymbol{\eta}(t)\left(t \in I_{t}\right)$, определенное и ограниченное на всей оси, т. е.
\[
\sup _{t}\|\boldsymbol{\eta}(t)\|<\infty
\]
3) решение $\boldsymbol{\eta}(t)$ асимптотически устойчиво в целом при $t \rightarrow+\infty$ (см. §7), т. е. для любого решения $y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)$ имеем
\[
\lim _{t \rightarrow \infty}\left[\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)-\boldsymbol{\eta}(t)\right]=0 .
\]

Можно сказать, что в некотором смысле $\boldsymbol{\eta}(t)$ является предельным режимом системы (4.16.1).

Очевидно, если система (4.16.1) обладает свойством конвергенции, то все ее решения $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ предельно (финально) ограничены при $t \rightarrow+\infty$ (см. §17), т. е. существует положительное число $R$ такое, что
\[
\left\|\boldsymbol{y}\left(t ; t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right\|<R \text { при } t>t_{0}+T\left(t_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right) .
\]

B частности, например, можно принять
\[
R=\sup _{t}\|\boldsymbol{\eta}(t)\|+1 .
\]

Замечание. Если правая часть $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y})$ конвергентной системы (4.16.1) ю-периодична по $t$, то ограниченное решение $\boldsymbol{\eta}(t)$. также $\omega$-периодично по $t$.
Действительно, пусть
\[
f(t+\omega, y) \equiv f(t, y) .
\]

Рассмотрим вектор-функцию $\eta(t+\omega)$. Имеем
\[
\frac{d}{d t}[\boldsymbol{\eta}(t+\omega)]=\dot{\eta}(t+\omega)=\boldsymbol{f}(t+\omega, \boldsymbol{\eta}(t+\omega))=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{\eta}(t+\omega)) .
\]

Таким образом, $\boldsymbol{\eta}(t+\omega)$ также является решением системы (4.16.1) и притом ограниченным на $I_{t}$. А так как система с конвергенций обладает единственным ограниченным на $I_{t}$ решением, то
\[
\eta(t-f-0) \equiv \boldsymbol{\eta}(t)
\]

Jемма 1. Пусть
\[
\frac{d y}{d t}=A y+f(t),
\]

где $A$-постоянная $(n \times n)$-матрица и $(n \times 1)$-матрица $\boldsymbol{f}(t) \in$ $\in C(\cdots \infty,-\infty \infty)$.
Ecлu
1) все характеристические корни $\lambda_{j}(A)$ матриць $A$ имеют отрицательные действительные части
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(A)<0 \quad(j=1, \ldots, n) ;
\]
2) вектор-функция $f(t)$ ограничена на $I_{t}=(-\infty,+\infty)$ :
\[
\sup _{t} f(t) \|=M<\infty,
\]

то система (4.16.2) обладает сяойством конвергенции, причем
\[
\boldsymbol{\eta}(t)=\int_{-\infty}^{t} e^{A(t-\tau)} \boldsymbol{f}(\tau) d \tau
\]

представляет собой единственное ограниченное на $I_{i}$ решение системы (4.16.2).
Доказательство. Из условия (4.16.3) имеем
\[
\left\|e^{A t}\right\| \leqslant N e^{-\alpha t} \quad \text { при } \quad t \geqslant 0,
\]

где $N>0$ и $0<\alpha<-\max \operatorname{Re} \lambda_{j}(A)$. Отсюда получаем
\[
\|\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant N \int_{-\infty}^{t} e^{-\alpha(t \cdot \tau)}\|\boldsymbol{f}(\tau)\| d \tau \leq M N e^{\alpha t} \frac{e^{\alpha t}}{\alpha}=\frac{M N}{\alpha}<\infty .
\]

Следовательно, интеграл (4.16.4) сходится и функция $\eta(t)$ ограничена, причем
\[
\sup _{t}\|\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant=\frac{N}{\alpha} \sup \|\boldsymbol{f}(t)\| .
\]

Дифферениируя формулу (4.16.4) по параметру $t$, получим
\[
\dot{\boldsymbol{\eta}}(t)=\boldsymbol{f}(t)+A \int_{-\infty}^{t} e^{A(t-\tau)} \boldsymbol{f}(\tau) d \tau \equiv \boldsymbol{f}(t)+A \boldsymbol{\eta}(t) .
\]

и, таким образом, $(t)$ является решением системы (4.16.2).

То, что ограниченное решение системы (4.16.2) единственно, следует из того обстоятельства, что разность двух ограниченных решений неоднородной системы (4.16.2) является ограниченным решением соответствующей однородной системы
\[
d \boldsymbol{x}=A \boldsymbol{x},
\]

не имекцей нетривиальных решений, ограниченных на всей оси $I_{t}$. Действительно, если $\eta_{1}(t)$ – другое решение неоднородной системы (4.16.2), ограниченное на оси $I_{t}$, то при любом $t_{1} \in I_{t}$ имеем
\[
\eta_{1}(t)-\eta(t)=e^{\left.A t t-t_{0}\right)}\left[\eta_{1}\left(t_{0}\right)-\eta\left(t_{0}\right)\right] .
\]

Отсюда
\[
\left\|\boldsymbol{\eta}_{\mathbf{t}}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)\right\| \leq N e^{-a\left(t-t_{0}\right)}\left\|\boldsymbol{\eta}_{1}\left(t_{0}\right)-\eta\left(t_{0}\right)\right\| .
\]

Так как
\[
\sup _{t_{0}}\left\|\boldsymbol{\eta}_{1}\left(t_{0}\right)-\boldsymbol{\eta}\left(t_{0}\right)\right\|<\infty,
\]

то, фиксируя $t$ и переходя к пределу при $t_{0} \rightarrow-\infty$ в неравенстве (4.16.5), получим
\[
\left|\eta_{1}(t)-\eta(t)\right| \leqslant 0
\]
T. e.
\[
\eta_{1}(t) \equiv \eta(t),
\]

и, таким образом, других, кроме $\eta(t)$, ограниченных на $I_{t}$ peшений система (4.16.2) не имеет.

Если $\boldsymbol{y}(t)$ – любое решение неоднородной системы (14.6.2), то, учитывая, что разность $y(t)-\eta(t)$ удовлетворяет однородной системе (4.16.4), получим
\[
y(t)-\eta(t)=e^{A\left(t-t_{0} !\right.}\left[y\left(t_{0}\right)-\eta\left(t_{0}\right)\right] ;
\]

отсюда
\[
\|\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant N e^{-a\left(t-t_{0}\right)}\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)-\boldsymbol{\eta}\left(t_{0}\right)\right\|
\]

при $t \geqslant t_{0}$ и, следовательно,
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y(t)-\boldsymbol{\eta}(t) \|=0 .
\]

Такиы образом, $\boldsymbol{\eta}(t)$ устойчива в целом при $t \rightarrow+\infty$ и, значит, система (4.16.2) конвергентна.

Приєедем одно достаточное условие конвергентности нелинейной системы. Для этого нам понадобятся две леммы, представляющие такжке самостоятельный интерес.

Лемма 2 (см. [48]). Пусть $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}) \in C^{1}\left(\mathscr{\mathscr { R }}_{x}^{2}\right)$-действительная вектор-функция,
\[
J_{s}(\boldsymbol{x})=\frac{1}{2}\left\{\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})+\left[\boldsymbol{f}^{\prime}(\boldsymbol{x})\right]^{T}\right\} \equiv \frac{1}{2}\left(\frac{\partial f_{j}}{\partial x_{k}}+\frac{\partial f_{k}}{\partial x_{j}}\right)
\]
– симметризованная матрица Якоби (см. гл. 1, \& 10), $a \lambda(\boldsymbol{x}) u$ $\Lambda(x)$ – ее наименьший и наибольший характеристические корни. Тогда для скалярного произведения $(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{h})$ справедлива оценка:
\[
\lambda_{m}(h, h) \leqslant(f(x+h)-f(x), h) \leqslant \Lambda_{M}(h, h),
\]

где
\[
\lambda_{m}=\inf _{t \in\{0,1\}} \lambda(x+t h)
\]

и
\[
\Lambda_{M}=\sup _{t \in[0,1]} \Lambda(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h}) .
\]

Доказательство. Полагая
\[
\boldsymbol{\xi}=\boldsymbol{x}+\boldsymbol{t h} \quad(0 \leqslant t \leqslant 1),
\]

имеем
\[
\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})=\int_{0}^{1} \frac{d}{d t}[\boldsymbol{f}(\xi)] d t=\int_{0}^{1} \boldsymbol{f}^{\prime}(\xi) \boldsymbol{h} d t .
\]

Отсюда
\[
(\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}+\boldsymbol{h})-\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x}), \boldsymbol{h})=\left(\int_{0}^{1} \boldsymbol{f}^{\prime}(\xi) h d t, \boldsymbol{h}\right)=\int_{i}^{1}\left(\boldsymbol{f}^{\prime}(\xi) \boldsymbol{h}, \boldsymbol{h}\right) d t .
\]

Так как
\[
\left(\boldsymbol{f}^{\prime}(\xi) \boldsymbol{h}, \boldsymbol{h}\right)=\left(J_{s}(\xi) \boldsymbol{h}, \boldsymbol{h}\right),
\]

то, очевидно (гл. I, §5), имеем
\[
\left(\boldsymbol{f}^{\prime}(\xi) \boldsymbol{h}, \boldsymbol{h}\right) \geqslant \lambda(\xi)(\boldsymbol{h}, \boldsymbol{h}) \geqslant \lambda_{m}(\boldsymbol{h}, \boldsymbol{h})
\]

и
\[
\left(f^{\prime}(\xi) h, h\right) \leqslant \Lambda(\xi)(h, h) \leqslant \Lambda_{M}(h, h) .
\]

Поэтому из формулы (4.16.7) вытекает неравенство (4.16.6). Лемма 3 (см. [48], [49]). Пусть
\[
\frac{d y}{d t}=f(t, y) \text {, }
\]

где $\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \in C_{\text {ty }}^{(0,1)}\left(I_{t} \times \mathscr{R}_{y}^{n}\right)$ и выполнено свойство единственности решений, причем при $\boldsymbol{y}_{0} \|=R$ июбом $t_{0} \in I_{t}$ все решения $\boldsymbol{y}\left(t ; \boldsymbol{t}_{0}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ входят внутрь цилиндра $Z\{-\infty<t<+\infty ;\|\boldsymbol{y}\| \leqslant R\}$ при 603растающем $t$ (рис. 45 ), m. $е$.
\[
\frac{d}{d t}\left(\|\boldsymbol{y}\|^{\mathbf{2}}\right)<0 \text { npu }\|\boldsymbol{y}\|=R
\]

в силу системы (4.16.8). Тогда существует по меньшей мере одно
Рис. 45.

решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)$ системы (4.15.8), определенное для всех $t \in I_{t}$ и целиком содержащееся в цилиндре $Z$ :
\[
\|\boldsymbol{\eta}(t)\|<R \text {, }
\]
м. е. ограниченное на всей оси – $-\infty<<+\infty$.

Доказательство. Рассмотрим последовательность трубок $T_{p}$ решений $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{p}, \boldsymbol{y}_{0}\right)$, определяемых начальными условиями: $t_{p}=-p(p=0,1,2, \ldots), \boldsymbol{y}_{0} \in S_{0}$, где $S_{0}=\{\|\boldsymbol{y}\| \leqslant R\}$. Так как решения $\boldsymbol{y}\left(t ; t_{p}, \boldsymbol{y}_{0}\right) \in T_{p}$ при $t_{p}=-p$ входят в цилиндр $Z$ и остаются в нем, то они бесконечно продолжаемы вправо, т. е. имеют смысл при – $p \leqslant t<\infty$.

Пусть $S_{p}=\left\{\boldsymbol{y}\left(0 ;-p, \boldsymbol{y}_{0}\right)\right\}(p=0,1,2, \ldots)$ – сечение трубки $T_{p}$ начальной гиперплоскостью $t=0$. В силу свойства интегральной непрерывности (гл. II, § 1) множества $S_{p}$ замкнуты. Так как решения $y\left(t ;-p, y_{0}\right)$ при $t \geqslant-p$ содержатся внутри цилиндра $Z$, To
\[
\left\|y\left(-p+1 ;-p, y_{0}\right)\right\|<R
\]

и, следовательно, на основании свойства единственности, значения $y\left(-p+1 ;-p, \boldsymbol{y}_{0}\right)$ составляют часть начальных значений $t_{0}=-(p-1),\left\|\boldsymbol{y}_{0}\right\| \leqslant R$ трубки $T_{p-1}$. Поэтому для каждого $p \geqslant 1$ трубка $T_{p}$ целиком содержится з трубке $T_{p-1}$, и поэтому для системы замкнутых множеств $\left\{S_{p}\right\}$ будем иметь
\[
S_{0} \supset S_{1} \supset \ldots \supset S_{p-1} \supset S_{p} \supset \ldots
\]

Следовательно, на основании принципа вложенных сфер для системы $\left\{S_{p}\right\}$ суцествует обцая точка
\[
\eta_{0} \in \bigcap_{p=0}^{\infty} S_{p},
\]

где $\left\|\boldsymbol{\eta}_{0}\right\|<R$. Рассмотрим решіение
\[
\eta(t)=y\left(t ; 0, \eta_{0}\right) .
\]

Так как $\eta_{0} \in S_{p} \quad(p=1,2, \ldots)$, то существует решение $y\left(t ;-p, \boldsymbol{\eta}_{p}\right)\left(t \geqslant p,\left\|\boldsymbol{\eta}_{p}\right\| \leqslant R\right)$ такое, что $\boldsymbol{y}\left(0 ;-p, \boldsymbol{\eta}_{p}\right)=\boldsymbol{\eta}_{c}$. В силу свойства единственности имеем
\[
\boldsymbol{y}\left(t ; 0, \boldsymbol{\eta}_{0}\right) \equiv \boldsymbol{y}\left(t ;-p, \boldsymbol{\eta}_{p}\right)
\]

и, следовательно, $\boldsymbol{y}\left(t ; 0, \boldsymbol{\eta}_{0}\right.$ ) определено при – $p \leqslant t<\infty$. Отсюда ввиду произвольности натуральюого числа $p$ получаем, что решение $\boldsymbol{\eta}(t)=\boldsymbol{y}\left(t ; 0, \boldsymbol{\eta}_{0}\right)$ имеет смысл на всей оси $-\infty<t<+\infty$, причем
\[
\sup _{t}\|\eta(t)\| \leqslant R .
\]

Лемма доказана.
Теорема (см. [481). Пусть дана действительная система
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d t}=\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \text {, }
\]

где
\[
\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y}) \in C_{t \underline{y}}^{(1)}\left(I_{t} \times \mathscr{R}_{\mathbf{y}}^{n}\right),
\]

причем
\[
J_{s}(t, y)=\frac{1}{2}\left\{f_{y}^{\prime}(t, y)+\left[f_{y}^{\prime}(t, y)\right]^{T}\right\}
\]
– симметризованная матрица якоби.
Если
1) $\sup _{t} \mid \boldsymbol{f}(t, 0) \|=k<\infty$;
2) наибольший характеристический корень $\Lambda(t, y)$ симметрической матрицы $J_{s}(t, y)$ для всех $t$ и $\boldsymbol{y}$ уовлетворяет неравенству
\[
\Lambda(t, y) \leqslant-\alpha<0,
\]

где х– полож ительное число, то система (4.16.9) обладает сеойством конвергенции.

Доказатсльство. Положим
\[
V(y)=\frac{1}{2} y=\frac{1}{2}(y, y) .
\]

На основании системы (4.16.9) имеем
\[
\frac{d V}{d t}=\left(\frac{d \boldsymbol{y}}{d t}, \boldsymbol{y}\right)=(f(t, \boldsymbol{y}), \boldsymbol{y}) .
\]

Отсюда
\[
\frac{d V}{d t}=(\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{y})-\boldsymbol{f}(t, 0), \boldsymbol{y})+(\boldsymbol{f}(t, 0), \boldsymbol{y}) .
\]

Применяя лемму 2 и используя неравенство (4.16.10), получим
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-x\left(\boldsymbol{y}, \boldsymbol{y}_{j}+\mid(\boldsymbol{f}(t, 0), \boldsymbol{y}) .\right.
\]

Далее, в силу неравенства Коши (гл. I, §5) и условия 1) имеем
\[
|(\boldsymbol{f}(t, 0), \boldsymbol{y})| \leqslant\|\boldsymbol{f}(t, 0)\| \boldsymbol{y}\|\leqslant k\| \boldsymbol{y} \| .
\]

Таким образом,
\[
\frac{d V}{d t} \leqslant-\alpha\|\boldsymbol{y}\|^{2}+k\|\boldsymbol{y}\| \leqslant 0,
\]

если
\[
\|y\| \geqslant \frac{k}{\alpha}=R \text {. }
\]

Следовательно, все решения $y\left(t ; t_{0}, y_{0}\right)$ при $\left\|y_{0}\right\|=R$ входят внутрь цилиндра $Z=\{-\infty<t<+\infty,\|\boldsymbol{y}\| \leqslant R\}$ и по лемме 3 существует решение $\boldsymbol{\eta}=\boldsymbol{\eta}(t)$ системы (4.1-6.9), определенное и ограниченное на $I_{t}=\{-\infty<t<+\infty\}$, причем
\[
\sup _{t}\|\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant R \text {. }
\]

Пусть $\boldsymbol{y}(t)$-любое решение системы (4.16.9), определяемое начальным условием: $y\left(t_{0}\right)=y_{0}$. Положим
\[
x=y(i)-\eta(t)
\]

и
\[
V(x)=\frac{1}{2}\|x\|^{2} \equiv \frac{1}{2}(x, x) .
\]

Так как
\[
\frac{d x}{d t}=\boldsymbol{f}(t, y)-\boldsymbol{f}(t, \boldsymbol{\eta})
\]

то на основании леммы 2 имеем
\[
\frac{d V}{d t}=(f(t, y)-f(t, \eta), x) \leqslant-\alpha(x, x)=-2 \alpha V .
\]

Отсюда при $t \geqslant t_{0}$ получаем
\[
V[\boldsymbol{x}(t)] \leqslant V\left[\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\right] e^{-2 a\left(t-t_{0}\right)},
\]
т. e.
\[
\|\boldsymbol{y}(t)-\boldsymbol{\eta}(t)\| \leqslant\left\|\boldsymbol{y}\left(t_{0}\right)-\boldsymbol{\eta}\left(t_{0}\right)\right\| e^{-\alpha\left(t-t_{0}\right)} \text { при } t \geqslant t_{0} .
\]

Следовательно, $\boldsymbol{\eta}(t)$ асимптотически устойчиво в целом (§7), причем устойчивость экспоненциальная (§ 8). Из неравенства (4.16.11) следует также единственность ограниченного на оси $I_{t}$ решения $\boldsymbol{\eta}(t)$ (ср. конец доказательства леммы). Таким образом, система (4.16.9) – конвергентна.
Следствие 1. Пусть
\[
\frac{d \boldsymbol{y}}{d t}=\boldsymbol{f}(t)+\boldsymbol{g}(\boldsymbol{y}),
\]

где $\boldsymbol{f}(t) \in C\left(I_{t}\right)$ и $\boldsymbol{g}(y) \in \mathscr{\mathscr { Z }}_{\boldsymbol{y}}^{n}, \quad$ причем $\quad J(\boldsymbol{y})=\boldsymbol{g}^{\prime}(\boldsymbol{y})-$ матрица Якоби.
Если
1) $\sup \| f(t) \mid<\infty$;
2) наибольший из характеристических корней $\Lambda(\boldsymbol{y})$ симметризованной матрицы Якоби
\[
J_{s}(y)=\frac{1}{2}\left[J(y)+J^{T}(y)\right]
\]

удовлетворяет неравенству
\[
\Lambda(y) \leqslant-\alpha<0\left(y \in \mathscr{R}_{y}^{n}\right),
\]

где а-положительная постоянная,
то система (4.16.12) обладает свойством конвергенции.
Следствие 2. Пусть
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+f(t),
\]

где $A(t), f(t) \in C\left(I_{t}\right)$.
Если
1) $\sup \|\boldsymbol{f}(t)\|<\infty$;
2) наибольший из характеристических корней $\Lambda(t)$ симметризованной матрицы
\[
A_{s}(t)=\frac{1}{2}\left[A(t)+A^{I}(t)\right]
\]

удовлетворяет неравенству
\[
\Lambda(t) \leqslant-\alpha<0\left(t \in I_{t}\right),
\]

где а-положительная постоянная, то система (4.16.13) обладает свойством конвергенции.