Определение 1. Матричный ряд
\[
U_{1}+U_{2}+\ldots+U_{p}+\ldots
\]

будем называть абсолотно сходлщимся, если сходится ряд норм его членов
\[
\left\|U_{1}\right\|+\left\|U_{2}\right\|+\ldots+\left\|U_{p}\right\|+\ldots
\]

где норма понимается в смьсле 1-II норм (см. \& 4).

Теорема. Абсолютно сходящийся матричный ряд есть ряд сходящийся.
Доказательство. Іуусть
\[
U_{p}=\left(U_{j k}^{(p)}\right) \quad(p=1,2, \ldots)
\]

Из определения сходимости матричного ряда следует, что
\[
\sum_{p=1}^{\infty} U_{p}=\left(\sum_{p=1}^{\infty} U_{i k}^{(p)}\right) .
\]

Так как для всех $j$ и $k$ справедливы неравенства
\[
\left|U_{j k}^{(p)}\right| \leqslant\left\|U_{p}\right\|,
\]

то на основании признака сравғения скалярных рядов все ряды $\sum_{p=1}^{\infty} U_{j k}^{(p ;}$ абсолютно сходящиеся. Следовательно, матричный ряд (1.8.1) также сходится.

Следствие (признак сравнения). Если матричный ряд (1.8.1) абсолютно сходящийся и выполнены неравенства
\[
\left\|V_{p}\right\| \leqslant\left\|U_{p}\right\| \quad(p=1,2, \ldots),
\]

мо матричный ряд
\[
V_{1}+V_{2}+\ldots+V_{p}+\ldots
\]

пакже абсолютно сходящийся.
Пусть
\[
F_{p}(X)=\left(f_{j k}^{(p)}(X)\right) \quad(p=1,2, \ldots)
\]
— матричные функции одного и того же типа $m \times n$, где переменная матрица $X \in D$.
Определение 2. Функциональный матричный ряд
\[
\sum_{p=1}^{\infty} F_{p}(X)
\]

называется равномерно сходящимся в области $D$, если в этой области сходятся равномерно все скалярные ряды
\[
\sum_{p=1}^{\infty} f_{j k}^{(p)}(X) \quad(j=1, \ldots, m ; \quad k=1, \ldots, n) .
\]

Нетрудно убедиться, что справедлив обобщенный при знак Вейерштрасса: если ряд норм
\[
\sum_{p=1}^{\infty}\left\|f_{p}(X)\right\|
\]

мажорируется в области $[$ ) сходящимся числовым рядом
\[
\sum_{p=1}^{\infty} c_{i}
\]
(т. е. $\| F_{p}\left(X \leqslant c_{p}, \quad p=1,2, \ldots\right)$, то ряд (1.8.2) сходнтся абсолютно и равномерно в области $D$.