Определение 1. Числовое множество $\Xi=\{\xi\}$ называется относительно плотным на действительной оси – $-<<<+\infty$, если существует число $l>0$ такое, чо каждый отрезок ${ }^{1}$ ) $a \leqslant x \leqslant a+l$ длины $l$ содержит хотя бы один элемент нашего множества, т. е. при любом $а$ имеем
\[
[a, a+l] \cap \Xi
eq 0 .
\]

Пример. Множество $0, \pm 1, \pm 2, \ldots$, очевидно, является относительно плотным множеством. Здесь можно принять $l=1$.
Множество $0, \pm 1^{2}, \pm 2^{2}, \ldots$ не является относительно плотным, так как
\[
\sup _{k}\left|(k+1)^{2}-k^{2}\right|=\infty .
\]

Рассмотрим комплекснозначную функцию
\[
f(x)=\varphi(x)+i \psi(x) \in C(-\infty, \infty),
\]

где $\varphi(x)=\operatorname{Re} f(x), \psi(x)=\operatorname{Im} f(x)$.
Определение 2. Число $\tau=\tau_{f}(\varepsilon)$ называется почти периодом функции $f(x)$ с точностью до в (короче: ее в-почти периодом или в-смещением), если для любого $x \in(-\infty, \infty)$ имеет место неравенство
\[
|f(x+\tau)-f(x)|<\varepsilon .
\]

Очевидно, период функции есть ее почти период для любого
$\varepsilon>0$. Нетрудно показать, что 1) 0 есть почти период для любого $\varepsilon>0 ; 2$ ) если т есть $\varepsilon$-почти период функции $f(x)$, то – есть также в-почти период этой функции; 3) сумма и разность $\varepsilon$-почти периодов этой функции егть также почти период ее с точностью до $2 \varepsilon$.
1) В опрсделении 1 вместо замкнутого отрезка можно брать открытый интсрвал.

Определение 3 (см. [66]). Комплекснозначная функция $f(x) \in C(-\infty, \infty)$ называется почти периодической в смысле Бора $\left.{ }^{1}\right)$, если для любого $\varepsilon>0$ существует относительно плотное множество почти периодов $\tau$ функцик $f(x)$ с точностью до $\varepsilon$, т. е. существует положительное число $l=l$ (s) такое, что любой отрезок $[a, a+l]$ содержит по меньшей мере одно число $\tau$, для которого выполнено неравенство
\[
|f(x+\tau)-f(x)|<\varepsilon \text { при }-\infty<x<+\infty .
\]

Основы теории почти периодических функций были заложены датским математиком Г. Бором [66]. Основные теоремы о почти периодических функциях изложены, например, в [66] и [67].

Из определения следует, чтс всякая непрерывная периодическая функция, определениая на оси, является почти периодической.

Обратное утверждение не верно, почти периодическая функция может не быть периодической (см. дальше).
Замечание. Две точки
\[
x \text { и } x^{\prime}=x+\tau,
\]

отличающиеся на $\varepsilon$-почти период функции $f(x)$, назовем є-конгр $y$ энтными.

Если функция $f(x)$ почти периодическая, то для каждой точки $x \in(-\infty, \infty)$ на любом отрезке $[a, a+l]$, где $l=l(\varepsilon)$, найдется $\varepsilon$-конгруэнтная ей точка $x^{\prime} \in[a, a+l]$.

Действительно, в силу определения почти периодической функции $f(x)$ на отрезке $[-x+a,-x+a+l]$ существует ее $\varepsilon$-почти период $\tau$, т. е.
\[
-x+a \leqslant \tau \leqslant-x+a+l \text {. }
\]

Отсюда, полагая $x^{\prime}=x+\tau$, получим
\[
a \leqslant x^{\prime} \leqslant a+l \text {. }
\]

Отметим некоторые элементарные свойства почти периодических функций (сокращенно – п. п. функций).
1. Если $f(x)-$ п. п. функция, то $\alpha f(x)+\beta(\alpha, \beta–$ комплексные числа) и $f(a x+b)$ ( $a, b$ – действительные числа) также п. п. функции.
2. Если $f(x)$ – п. п. функцхя, то $\operatorname{Re} f(x), \operatorname{lm} f(x),|f(x)|$ и $\overline{f(x)}$ также почти периодические функции.
1) Некоторые авторы здесь придерживаются терминологии жравномерная почти периодическая функция (см. [67]), чтобы отличить почти периодические функции от обобщенных почти џериодических функций. Так как в нашем курсе обобщенные почти периодические функции не затра. гиваются, то мы сохраним термин «пчти периодическая функцяв,

Например, если $\tau$ есть в-почти период п. п. функции $f(x)$, то для ее модуля $\mid f(x)$ !, очевидно, справедливо неравенство
\[
|| f(x+\tau)|-| f(x)|| \leqslant|f(x+\tau)-f(x)|<\varepsilon
\]

и, следсвательно, $f(x)$ есть также п. п. функция.
Укажем более общее свойство.
Теорема. Если $E$ – множество значений почти периодической функции $f(x)$ и $F(y)$ – функция, равномерно непрерьвная на $E$, то функция $F(f(x))$ – почти периодчческая. что
\[
\begin{array}{c}
\left|F\left(y^{\prime}\right)-F\left(y^{\prime \prime}\right)\right|<\varepsilon \text { при }\left|y^{\prime}-y^{\prime \prime}\right|<\hat{\delta} \\
\left(y^{\prime}, y^{\prime \prime} \in E\right) .
\end{array}
\]

Тогда, если $\tau=\tau$, (ᄒ), то в силу (1.2) имеем
\[
|F(f(x-+\tau))-F(f(x))|<\varepsilon \text { при }-\infty<x<\infty .
\]

Таким образом, г есть $\varepsilon$-почти период функции $F(f(x))$, что и доказывает ее почти периодичность.