Определение 1. Числовое множество $\mathrm{\Xi }=\{\xi \}$ называется относительно плотным на действительной оси — $-<<<+\mathrm{\infty }$, если существует число $l>0$ такое, чо каждый отрезок ${}^1$ ) $a⩽x⩽a+l$ длины $l$ содержит хотя бы один элемент нашего множества, т. е. при любом $а$ имеем
$$[a,a+l]\cap \mathrm{\Xi }eq0.$$

Пример. Множество $0,\pm 1,\pm 2,\dots$, очевидно, является относительно плотным множеством. Здесь можно принять $l=1$.
Множество $0,\pm 1^2,\pm 2^2,\dots$ не является относительно плотным, так как
$$\underset{k}{sup}|(k+1{)}^2-k^2|=\mathrm{\infty }.$$

Рассмотрим комплекснозначную функцию
$$f(x)=\phi (x)+i\psi (x)\in C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty }),$$

где $\phi (x)=\mathrm{Re}f(x),\psi (x)=\mathrm{Im}f(x)$.
Определение 2. Число $\tau ={\tau }_f(\epsilon )$ называется почти периодом функции $f(x)$ с точностью до в (короче: ее в-почти периодом или в-смещением), если для любого $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ имеет место неравенство
$$|f(x+\tau )-f(x)|<\epsilon .$$

Очевидно, период функции есть ее почти период для любого
$\epsilon >0$. Нетрудно показать, что 1) 0 есть почти период для любого $\epsilon >0;2$ ) если т есть $\epsilon$-почти период функции $f(x)$, то — есть также в-почти период этой функции; 3) сумма и разность $\epsilon$-почти периодов этой функции егть также почти период ее с точностью до $2\epsilon$.
1) В опрсделении 1 вместо замкнутого отрезка можно брать открытый интсрвал.

Определение 3 (см. [66]). Комплекснозначная функция $f(x)\in C(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ называется почти периодической в смысле Бора ${}^1)$, если для любого $\epsilon >0$ существует относительно плотное множество почти периодов $\tau$ функцик $f(x)$ с точностью до $\epsilon$, т. е. существует положительное число $l=l$ (s) такое, что любой отрезок $[a,a+l]$ содержит по меньшей мере одно число $\tau$, для которого выполнено неравенство
$$|f(x+\tau )-f(x)|<\epsilon \text{ при }-\mathrm{\infty }<x<+\mathrm{\infty }.$$

Основы теории почти периодических функций были заложены датским математиком Г. Бором [66]. Основные теоремы о почти периодических функциях изложены, например, в [66] и [67].

Из определения следует, чтс всякая непрерывная периодическая функция, определениая на оси, является почти периодической.

Обратное утверждение не верно, почти периодическая функция может не быть периодической (см. дальше).
Замечание. Две точки
$$x\text{ и }{x}^{\prime }=x+\tau ,$$

отличающиеся на $\epsilon$-почти период функции $f(x)$, назовем є-конгр $y$ энтными.

Если функция $f(x)$ почти периодическая, то для каждой точки $x\in (-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ на любом отрезке $[a,a+l]$, где $l=l(\epsilon )$, найдется $\epsilon$-конгруэнтная ей точка $x^{\prime }\in [a,a+l]$.

Действительно, в силу определения почти периодической функции $f(x)$ на отрезке $[-x+a,-x+a+l]$ существует ее $\epsilon$-почти период $\tau$, т. е.
$$-x+a⩽\tau ⩽-x+a+l\text{. }$$

Отсюда, полагая $x^{\prime }=x+\tau$, получим
$$a⩽x^{\prime }⩽a+l\text{. }$$

Отметим некоторые элементарные свойства почти периодических функций (сокращенно — п. п. функций).
1. Если $f(x)-$ п. п. функция, то $\alpha f(x)+\beta (\alpha ,\beta —$ комплексные числа) и $f(ax+b)$ ( $a,b$ — действительные числа) также п. п. функции.
2. Если $f(x)$ — п. п. функцхя, то $\mathrm{Re}f(x),\mathrm{lm}f(x),|f(x)|$ и $\overline{f(x)}$ также почти периодические функции.
1) Некоторые авторы здесь придерживаются терминологии жравномерная почти периодическая функция (см. [67]), чтобы отличить почти периодические функции от обобщенных почти џериодических функций. Так как в нашем курсе обобщенные почти периодические функции не затра. гиваются, то мы сохраним термин «пчти периодическая функцяв,

Например, если $\tau$ есть в-почти период п. п. функции $f(x)$, то для ее модуля $\mid f(x)$ !, очевидно, справедливо неравенство
$$||f(x+\tau )|-|f(x)||⩽|f(x+\tau )-f(x)|<\epsilon$$

и, следсвательно, $f(x)$ есть также п. п. функция.
Укажем более общее свойство.
Теорема. Если $E$ — множество значений почти периодической функции $f(x)$ и $F(y)$ — функция, равномерно непрерьвная на $E$, то функция $F(f(x))$ — почти периодчческая. что
$$\begin{array}{c}|F\left(y^{\prime }\right)-F\left(y^{\prime \prime }\right)|<\epsilon \text{ при }|y^{\prime }-y^{\prime \prime }|<\hat{\delta }\\ (y^{\prime },y^{\prime \prime }\in E).\end{array}$$

Тогда, если $\tau =\tau$, (ᄒ), то в силу (1.2) имеем
$$|F(f(x-+\tau ))-F(f(x))|<\epsilon \text{ при }-\mathrm{\infty }<x<\mathrm{\infty }.$$

Таким образом, г есть $\epsilon$-почти период функции $F(f(x))$, что и доказывает ее почти периодичность.