Теорема. Интеграл
\[
F(x)=\int_{x_{0}}^{x} f(t) d t
\]

почти периодической функции $f(x)$ является функцией почти периодчческой тогда и только тогда, если он ограничен, т. е. если
\[
\sup _{-\infty<x<\infty}|F(x)|<\infty .
\]

Замечание. Эта теорема была доказана рижским математиком Болем (см. [68]) для более узкого класса почти периодических функций с конечным базисом частот (так называемых квазипериодических функций) и обобщена Бором (см. [66]) на общий случай п. п. функций.

Доказательство. Так как п. п. функция ограничена (§2), то необходимость условия теоремы тривнальна.

Докажем достаточность условия теоремы, причем, очевидно, можно предполагать, что функции $f(x)$ и $F(x)$ вещественны,

1) Очевндно, $F(x) \in C(-\infty,+\infty)$. Пусгь $F(x)$ ограничена и
\[
m=\inf _{x} F(x), \quad M=\sup _{x} F(x),
\]

причем можно допустить, что $m<M$. сительно плотное множество пар точек $\left\{x_{1}, x_{2}\right\}$, реализующих колебание функции
\[
\underset{-\infty<x<+\infty}{\operatorname{Osc}} F(x)=M-m
\]

с точностью до є. Действительно, по свойству нижней и верхней
Рис. 57.

граней функции существует пара точек $\left(z_{1}, z_{2}\right) \subset(-\infty, \infty)$ такая, что
\[
F\left(z_{1}\right)<m+\frac{\varepsilon}{8}, \quad F\left(z_{\mathrm{g}}\right)>M-\frac{\varepsilon}{8},
\]

где $\varepsilon>0$ произвольно (рис. 57), и пусть
\[
d=\left|z_{1}-z_{9}\right|, \quad z=\min \left(z_{1}, z_{2}\right) .
\]

Рассмотрим пару сдвинутых точек
\[
x_{1}=z_{1}+\tau, \quad x_{2}=z_{3}+\tau,
\]

где $\tau=\tau_{f}\left(\frac{\varepsilon}{4 d}\right)$ и $\left|x_{1}-x_{2}\right|=d$. В силу почти периодичности функции $f(x)$, точки $\tau$, а следовательно и точки $x=z+\tau$, образуют относительно плотное множество, и, следовательно, существует число $l=l_{f}\left(\frac{\varepsilon}{4 d}\right)$ такое, что всякий отрезок $[a, a+l]$ будет содержать точку $x$, конгруэнтную $z$. Поэтому на любом отрезке $[a, a+L]$ длины $L=l+d$ будет содержаться пара точек $\left\{x_{1}, x_{2}\right\}$

и, таким образом, эти пары точек образуют относительно плотное множество. Далее, имеем
\[
\begin{array}{l}
F\left(x_{2}\right)-F\left(x_{1}\right)= \\
=\left[F\left(z_{2}\right)+\int_{z_{2}}^{z_{2}+\tau} f(t) d t\right]-\left[F\left(z_{1}\right)+\int_{z_{1}}^{z_{1}+\tau} f(t) d t\right]= \\
=F\left(z_{2}\right)-F\left(z_{1}\right)+\int_{z_{1}}^{z_{2}}[f(t+\tau)-f(t)] d t . \\
\end{array}
\]

Отсюда
\[
F\left(x_{2}\right)-F\left(x_{1}\right)>M-\frac{\varepsilon}{8}-\left(m+\frac{\varepsilon}{8}\right)-d \cdot \frac{\varepsilon}{4 d}=M-m-\frac{\varepsilon}{2},
\]
T. e.
\[
\left[M-F\left(x_{2}\right)\right]+\left[F\left(x_{1}\right)-m\right]<\frac{\varepsilon}{2} .
\]

Так как числа $M-F\left(x_{9}\right)$ и $F\left(x_{1}\right)-m$ неотрицательны, то из неравенства (5.3) получаем
\[
M-F\left(x_{2}\right)<\frac{\varepsilon}{2}, \quad F\left(x_{1}\right)-m<\frac{\varepsilon}{2},
\]
т. е. пара точек $\left\{x_{1}, x_{2}\right\}$ реализует колебание функции $\operatorname{osc} f(x)=$ длины $L$, зависящей только от $\varepsilon$, найдется по меньшей мере одна такая пара точек.
2) Пусть теперь $\tau=\tau_{f}\left(\frac{\varepsilon}{L}\right)$. Оценим снизу и сверху разность
\[
F(x+\tau)-F(x) .
\]

Для оценки снизу выберем на отрезке $\left[x-\frac{L}{2}, x+\frac{L}{2}\right]$ точку $x_{1}$, для которой выполнено второе из неравенств (5.4):
\[
F\left(x_{1}\right)<m+\frac{\varepsilon}{2},
\]

причем, очевидно, $\left|x-x_{1}\right| \leqslant \frac{L}{2}$. Тогда получим
\[
\begin{aligned}
F(x+\tau)- & F(x)= \\
= & \left.F\left(x_{1}+\tau\right)+\int_{x_{1}+\tau}^{x+\tau} f(t) d t\right]-\left[F\left(x_{1}\right)+\int_{x_{1}}^{x} f(t) d t\right]= \\
=F\left(x_{1}+\tau\right)- & F\left(x_{1}\right)+\int_{x_{1}}^{x}[f(t+\tau)-f(t)] d t> \\
& >m-\left(m+\frac{\varepsilon}{2}\right)-\frac{L}{2} \cdot \frac{\varepsilon}{L}=-\varepsilon .
\end{aligned}
\]

Аналогично для оценки сверху выберем на отрезке $\left[x-\frac{L}{2}, x+\frac{L}{2}\right]$ точку $x_{2}$, для которой выполнено первое из неравенств (5.4):
\[
F\left(x_{\mathrm{q}}\right)>M-\frac{\varepsilon}{2},
\]

где $\left|x-\dot{x}_{2}\right| \leqslant \frac{L}{2}$. Имеем
\[
\begin{array}{l}
F(x+\tau)-F(x)= \\
=\left[F\left(x_{2}+\tau\right)+\int_{x_{2}+\tau}^{x+\tau} f(t) d t\right]-\left[F\left(x_{2}\right)+\int_{x_{2}}^{x} f(t) d t\right]= \\
=F\left(x_{2}+\tau\right)-F\left(x_{2}\right)+\int_{x_{2}}^{x}[f(t+\tau)-f(t)] d t< \\
<M-\left(M-\frac{\varepsilon}{2}\right)+\frac{L}{2} \cdot \frac{\varepsilon}{L}=\varepsilon .
\end{array}
\]

Из односторонних оценок (5.5) и (5.6) находим
\[
|F(x+\tau)-F(x)|<\varepsilon
\]

для любого $x \in(-\infty, \infty)$.
Теорема доказана.
Следствие. Если $f(x)$ — почти периодическая функция и
\[
\int_{x_{0}}^{x} f(t) d t=a x+\varphi(t)
\]

где а-постоянная, $\varphi(t)$ — ограниченная функция, то $\varphi(t)$ — почти периодическая функция.