Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике Теорема. Интеграл почти периодической функции $f(x)$ является функцией почти периодчческой тогда и только тогда, если он ограничен, т. е. если Замечание. Эта теорема была доказана рижским математиком Болем (см. [68]) для более узкого класса почти периодических функций с конечным базисом частот (так называемых квазипериодических функций) и обобщена Бором (см. [66]) на общий случай п. п. функций. Доказательство. Так как п. п. функция ограничена (§2), то необходимость условия теоремы тривнальна. Докажем достаточность условия теоремы, причем, очевидно, можно предполагать, что функции $f(x)$ и $F(x)$ вещественны, 1) Очевндно, $F(x) \in C(-\infty,+\infty)$. Пусгь $F(x)$ ограничена и причем можно допустить, что $m<M$. сительно плотное множество пар точек $\left\{x_{1}, x_{2}\right\}$, реализующих колебание функции с точностью до є. Действительно, по свойству нижней и верхней граней функции существует пара точек $\left(z_{1}, z_{2}\right) \subset(-\infty, \infty)$ такая, что где $\varepsilon>0$ произвольно (рис. 57), и пусть Рассмотрим пару сдвинутых точек где $\tau=\tau_{f}\left(\frac{\varepsilon}{4 d}\right)$ и $\left|x_{1}-x_{2}\right|=d$. В силу почти периодичности функции $f(x)$, точки $\tau$, а следовательно и точки $x=z+\tau$, образуют относительно плотное множество, и, следовательно, существует число $l=l_{f}\left(\frac{\varepsilon}{4 d}\right)$ такое, что всякий отрезок $[a, a+l]$ будет содержать точку $x$, конгруэнтную $z$. Поэтому на любом отрезке $[a, a+L]$ длины $L=l+d$ будет содержаться пара точек $\left\{x_{1}, x_{2}\right\}$ и, таким образом, эти пары точек образуют относительно плотное множество. Далее, имеем Отсюда Так как числа $M-F\left(x_{9}\right)$ и $F\left(x_{1}\right)-m$ неотрицательны, то из неравенства (5.3) получаем Для оценки снизу выберем на отрезке $\left[x-\frac{L}{2}, x+\frac{L}{2}\right]$ точку $x_{1}$, для которой выполнено второе из неравенств (5.4): причем, очевидно, $\left|x-x_{1}\right| \leqslant \frac{L}{2}$. Тогда получим Аналогично для оценки сверху выберем на отрезке $\left[x-\frac{L}{2}, x+\frac{L}{2}\right]$ точку $x_{2}$, для которой выполнено первое из неравенств (5.4): где $\left|x-\dot{x}_{2}\right| \leqslant \frac{L}{2}$. Имеем Из односторонних оценок (5.5) и (5.6) находим для любого $x \in(-\infty, \infty)$. где а-постоянная, $\varphi(t)$ – ограниченная функция, то $\varphi(t)$ – почти периодическая функция.
|
1 |
Оглавление
|