В дальнейшем будет выгодно использовать две леммы об интегральных неравенствах (см. [6], [18]).

Лемма Гронуолла-Беллмана. Пусть $u(t)⩾0u$ $f(t)⩾0$ при $t⩾t_{0}uu(t),f(t)\in C[t_0,\mathrm{\infty })$, причем при $t⩾t_0$ выполнено неравенство
$$u(t)⩽c+{\int }_{t_0}^{t}j\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1,$$

где с-положительная постоянная. $B$ таком случае при $t⩾t_0$ имеем
$$u(t)⩽c\exp {\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Доказательство. Из неравенства (2.11.1) получаем
$$\frac{u(t)}{c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1}⩽1$$

и
$$\frac{f(t)u(t)}{c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1}⩽f(t).$$

Так как
$$\frac{d}{dt}[c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1]=f(t)u(t),$$

то, интегрируя неравенство (2.11.3) в пределах от $t_0$ до $t$, будем иметь
$$\ln [c+{\int }_0^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1]-\ln c⩽{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Отсюда, используя неравенство (2.11.1), получаем
$$u(t)⩽c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1⩽c\exp {\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1,$$

что и требовалось доказать.
Замечание. Переходя в формулах (2.11.1) и (2.11.2) к пределу при $c\to +0$, убеждаемся, что лемма остается верной, если постоянная $c=0$.

Обобщение леммы Гронуолла-Беллмана. Пусть непрерывная положительная функция $и(t)$ для любых значений $t,\tau \in (a,b)$ удовлетворяет интегральному неравенству
$$u(t)⩽u(\tau )+{\int }_{\tau }^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)\left|d{t}_1\right|,$$

где $f(t)\in C(a,b)$ и $f(t)⩾0$ при $a<t<b$. Тогда при $a<t_0⩽$ $⩽t<b$ справедлива двусторонняя оценка
$$u\left(t_0\right)\exp [-{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1]⩽u(t)⩽u\left(t_0\right)\exp \left[{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1\right].$$

Доказательство. Из неравенства (2.11.4) при $t⩾\tau$ имеем
$$u(t)⩽u(\tau )+{\int }_{\tau }^{t}f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Отсюда на основании леммы Гронуолла — Беллмана получаем
$$u(t)⩽u(\tau )\exp \left[{\int }_{\tau }^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1\right].$$

Аналогично из неравенства (2.11.4) при $t⩽\tau$ находим
$$u(t)⩽u(\tau )+{\int }_t^{\tau }f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Отсюда, используя метод доказательства леммы Гронуолла — Беллмана, будем иметь
$$\frac{u(t)}{u(\tau )+{\int }_t^{\tau }f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1}⩽1$$

и
$$\frac{-f(t)u(t)}{u(\tau )+{\int }_t^{\tau }f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1}⩾-f(t).$$

Интегрируя последнее неравенство в пределах от $t$ до $\tau$, получим
$$\ln u(\tau )-\ln [u(\tau )+{\int }_t^{\tau }f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1]⩾-{\int }_t^{\tau }f\left(t_1\right)d{t}_1,$$
т. е.
$$u(t)⩽u(\tau )+{\int }_t^{\tau }f\left(t_1\right)u\left(t_1\right)d{t}_1⩽u(\tau )\exp {\int }_i^{\tau }f\left(t_1\right)d{t}_1$$

Заменяя теперь $t$ на $\tau$ и $\tau$ на $t$, из последнего неравенства при $t⩾\tau$ находим
$$u(\tau )⩽u(t)\exp {\int }_{\tau }^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1$$

и, следовательно,
$$u(t)⩾u(\tau )\exp [-{\int }_{\tau }^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1].$$

Полагая $\tau =t_0$ в неравенствах (2.11.6) и (2.11.7), получим оценку (2.11.5).

Приведем еще одну лемму, обобщающую лемму ГронуоллаБеллмана.

Лемма Бихари (см. [18]). Пусть $u(t)⩾0uf(t)⩾0npu$ $t⩾t_0$, причем $u(t),f(t)\in C[t_0,\mathrm{\infty })$ и имеет место неравенство
$$u(t)⩽c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)\mathrm{\Phi }\left(u\left(t_1\right)\right)d{t}_1,$$

где с-положительная постоянная и $\mathrm{\Phi }(u)$ — положительная непрерывная неубывающая функция при $0<u<\overline{u}(\overline{u}⩽\mathrm{\infty })$, и пусть
$$\mathrm{\Psi }(u)={\int }_c^u\frac{d{u}_1}{\mathrm{\Phi }\left(u_1\right)}(0<u<\overline{u}).$$

Тогда, если
$${\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1<\mathrm{\Psi }(\overline{u}-0)(t_0⩽t<\mathrm{\infty }),$$

то при $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$ справедливо неравенство
$$u(t)⩽{\mathrm{\Psi }}^{-1}\left[{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1\right],$$

где ${\mathrm{\Psi }}^{-1}(u)$ — функция, обратная $\mathrm{\Psi }(u)$.
В частности, если $\overline{u}=\mathrm{\infty }$ и $\mathrm{\Psi }(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty }$, то неравенство (2.11.11) выполнено без всяких ограничений.

Доказательство. В силу возрастания функции $\mathrm{\Phi }(u)$ из неравенства (2.11.8) получаем
$$\mathrm{\Phi }(u(t))⩽\mathrm{\Phi }[c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)\mathrm{\Phi }\left(u\left(t_1\right)\right)d{t}_1].$$

Отсюда
$$\frac{f(t)\mathrm{\Phi }(u(t))}{\mathrm{\Phi }[c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)\mathrm{\Phi }\left(u\left(t_1\right)\right)d{t}_1]}⩽f(t).$$

Интегрируя неравенство (2.11.12) по $t$ в пределах от $t_0$ до $t$, при $t⩾t_0$ будем иметь
$${\int }_{t_0}^t\frac{f(t)\mathrm{\Phi }(u(t))dt}{\mathrm{\Phi }[c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)\mathrm{\Phi }\left(u\left(t_1\right)\right)d{t}_1]}⩽{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Пусть
$$w(t)=c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)\mathrm{\Phi }\left(u\left(t_1\right)\right)d{t}_1,$$

тогда
$$w^{\prime }(t)=f(t)\mathrm{\Phi }(u(t)).$$

Следовательно, формула (2.11.13) принимает вид
$${\int }_{t_0}^t\frac{w^{\prime }(t)dt}{\mathrm{\Phi }[w(t)]}={\int }_{w\left(t_0\right)}^{w(t)}\frac{dw}{\mathrm{\Phi }(w)}⩽{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Отсюда на основании формулы (2.11.9), учитывая, что $w\left(t_0\right)=$ $=c>0$ и $\omega (t)⩾c>0$, будем иметь
$$\mathrm{\Psi }(w(t))-\mathrm{\Psi }\left(w\left(t_0\right)\right)⩽{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1,$$

или, так как $\mathrm{\Psi }\left(w\left(t_0\right)\right)=\mathrm{\Psi }(c)=0$, то
$$\mathrm{\Psi }(w(t))⩽{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Ввиду того, что
$${\mathrm{\Psi }}^{\prime }(u)=\frac{1}{\mathrm{\Phi }(u)}>0\text{ при }0<u<\overline{u},$$

функция $v=\mathrm{\Psi }(u)$ имеет однозначную непрерывную монотонно возрастающую обратную функцию $u={\mathrm{\Psi }}^{-1}(v)$, определенную в области $\mathrm{\Psi }(+0)<v<\mathrm{\Psi }(\overline{u}-0)$, где $\mathrm{\Psi }(+0)<0$. Поэтому, если
выполнено неравенство (2.11.10), то из неравенства (2.11.14) получаем
$$c+{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)\mathrm{\Phi }\left(u\left(t_1\right)\right)d{t}_1=w(t)⩽{\mathrm{\Psi }}^{-1}\left[{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1\right].$$

Отсюда в силу неравенства (2.11.8) вытекает искомое неравенство (2.11.11).

Следствие 1. Если $\mathrm{\Phi }(u)=u$, то имеем неравенство Гронуолла-Беллмана (2.11.2).

Следствие 2. Если $\mathrm{\Phi }(u)=u^m(m>0,meq1)$, m. е. выполнено неравенство
$$u(t)⩽c+{\int }_{t_0}^{t^{\prime }}f\left(t_1\right){\left[u\left(t_1\right)\right]}^{m}d{t}_{1}nput⩾t_0,$$
mo
$$u(t)⩽{[c^{1-m}+(1-m){\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1]}^{\frac{1}{1-m}}\text{ npu }0<m<1$$
$u$
$$u(t)⩽\frac{c}{{[1-(m-1)c^{m-1}{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1]}^{\frac{1}{m-1}}}$$
$npum>1u{\int }_{t_0}^{t}f\left(t_1\right)d{t}_1<\frac{1}{(m-1)c^{m-1}}(t_0⩽t)$.