В дальнейшем будет выгодно использовать две леммы об интегральных неравенствах (см. [6], [18]).

Лемма Гронуолла-Беллмана. Пусть $u(t) \geqslant 0 \quad u$ $f(t) \geqslant 0$ при $t \geqslant t_{0} u \quad u(t), \quad f(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$, причем при $t \geqslant t_{0}$ выполнено неравенство
\[
u(t) \leqslant c+\int_{t_{0}}^{t} j\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]

где с-положительная постоянная. $B$ таком случае при $t \geqslant t_{0}$ имеем
\[
u(t) \leqslant c \exp \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Доказательство. Из неравенства (2.11.1) получаем
\[
\frac{u(t)}{c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1}} \leqslant 1
\]

и
\[
\frac{f(t) u(t)}{c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1}} \leqslant f(t) .
\]

Так как
\[
\frac{d}{d t}\left[c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]=f(t) u(t),
\]

то, интегрируя неравенство (2.11.3) в пределах от $t_{0}$ до $t$, будем иметь
\[
\ln \left[c+\int_{0}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]-\ln c \leqslant \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Отсюда, используя неравенство (2.11.1), получаем
\[
u(t) \leqslant c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1} \leqslant c \exp \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]

что и требовалось доказать.
Замечание. Переходя в формулах (2.11.1) и (2.11.2) к пределу при $c \rightarrow+0$, убеждаемся, что лемма остается верной, если постоянная $c=0$.

Обобщение леммы Гронуолла-Беллмана. Пусть непрерывная положительная функция $и(t)$ для любых значений $t, \tau \in(a, b)$ удовлетворяет интегральному неравенству
\[
u(t) \leqslant u(\tau)+\int_{\tau}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right)\left|d t_{1}\right|,
\]

где $f(t) \in C(a, b)$ и $f(t) \geqslant 0$ при $a<t<b$. Тогда при $a<t_{0} \leqslant$ $\leqslant t<b$ справедлива двусторонняя оценка
\[
u\left(t_{0}\right) \exp \left[-\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] \leqslant u(t) \leqslant u\left(t_{0}\right) \exp \left[\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] .
\]

Доказательство. Из неравенства (2.11.4) при $t \geqslant \tau$ имеем
\[
u(t) \leqslant u(\tau)+\int_{\tau}^{t} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Отсюда на основании леммы Гронуолла – Беллмана получаем
\[
u(t) \leqslant u(\tau) \exp \left[\int_{\tau}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] .
\]

Аналогично из неравенства (2.11.4) при $t \leqslant \tau$ находим
\[
u(t) \leqslant u(\tau)+\int_{t}^{\tau} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Отсюда, используя метод доказательства леммы Гронуолла – Беллмана, будем иметь
\[
\frac{u(t)}{u(\tau)+\int_{t}^{\tau} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1}} \leqslant 1
\]

и
\[
\frac{-f(t) u(t)}{u(\tau)+\int_{t}^{\tau} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1}} \geqslant-f(t) .
\]

Интегрируя последнее неравенство в пределах от $t$ до $\tau$, получим
\[
\ln u(\tau)-\ln \left[u(\tau)+\int_{t}^{\tau} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] \geqslant-\int_{t}^{\tau} f\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]
т. е.
\[
u(t) \leqslant u(\tau)+\int_{t}^{\tau} f\left(t_{1}\right) u\left(t_{1}\right) d t_{1} \leqslant u(\tau) \exp \int_{i}^{\tau} f\left(t_{1}\right) d t_{1}
\]

Заменяя теперь $t$ на $\tau$ и $\tau$ на $t$, из последнего неравенства при $t \geqslant \tau$ находим
\[
u(\tau) \leqslant u(t) \exp \int_{\tau}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}
\]

и, следовательно,
\[
u(t) \geqslant u(\tau) \exp \left[-\int_{\tau}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] .
\]

Полагая $\tau=t_{0}$ в неравенствах (2.11.6) и (2.11.7), получим оценку (2.11.5).

Приведем еще одну лемму, обобщающую лемму ГронуоллаБеллмана.

Лемма Бихари (см. [18]). Пусть $u(t) \geqslant 0 u f(t) \geqslant 0 n p u$ $t \geqslant t_{0}$, причем $u(t), f(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)$ и имеет место неравенство
\[
u(t) \leqslant c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) \Phi\left(u\left(t_{1}\right)\right) d t_{1},
\]

где с-положительная постоянная и $\Phi(u)$ – положительная непрерывная неубывающая функция при $0<u<\bar{u}(\bar{u} \leqslant \infty)$, и пусть
\[
\Psi(u)=\int_{c}^{u} \frac{d u_{1}}{\Phi\left(u_{1}\right)} \quad(0<u<\bar{u}) .
\]

Тогда, если
\[
\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}<\Psi(\bar{u}-0) \quad\left(t_{0} \leqslant t<\infty\right),
\]

то при $t_{0} \leqslant t<\infty$ справедливо неравенство
\[
u(t) \leqslant \Psi^{-1}\left[\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right],
\]

где $\Psi^{-1}(u)$ – функция, обратная $\Psi(u)$.
В частности, если $\bar{u}=\infty$ и $\Psi(\infty)=\infty$, то неравенство (2.11.11) выполнено без всяких ограничений.

Доказательство. В силу возрастания функции $\Phi(u)$ из неравенства (2.11.8) получаем
\[
\Phi(u(t)) \leqslant \Phi\left[c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) \Phi\left(u\left(t_{1}\right)\right) d t_{1}\right] .
\]

Отсюда
\[
\frac{f(t) \Phi(u(t))}{\Phi\left[c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) \Phi\left(u\left(t_{1}\right)\right) d t_{1}\right]} \leqslant f(t) .
\]

Интегрируя неравенство (2.11.12) по $t$ в пределах от $t_{0}$ до $t$, при $t \geqslant t_{0}$ будем иметь
\[
\int_{t_{0}}^{t} \frac{f(t) \Phi(u(t)) d t}{\Phi\left[c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) \Phi\left(u\left(t_{1}\right)\right) d t_{1}\right]} \leqslant \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Пусть
\[
w(t)=c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) \Phi\left(u\left(t_{1}\right)\right) d t_{1},
\]

тогда
\[
w^{\prime}(t)=f(t) \Phi(u(t)) .
\]

Следовательно, формула (2.11.13) принимает вид
\[
\int_{t_{0}}^{t} \frac{w^{\prime}(t) d t}{\Phi[w(t)]}=\int_{w\left(t_{0}\right)}^{w(t)} \frac{d w}{\Phi(w)} \leqslant \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Отсюда на основании формулы (2.11.9), учитывая, что $w\left(t_{0}\right)=$ $=c>0$ и $\omega(t) \geqslant c>0$, будем иметь
\[
\Psi(w(t))-\Psi\left(w\left(t_{0}\right)\right) \leqslant \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]

или, так как $\Psi\left(w\left(t_{0}\right)\right)=\Psi(c)=0$, то
\[
\Psi(w(t)) \leqslant \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Ввиду того, что
\[
\Psi^{\prime}(u)=\frac{1}{\Phi(u)}>0 \text { при } 0<u<\bar{u},
\]

функция $v=\Psi(u)$ имеет однозначную непрерывную монотонно возрастающую обратную функцию $u=\Psi^{-1}(v)$, определенную в области $\Psi(+0)<v<\Psi(\bar{u}-0)$, где $\Psi(+0)<0$. Поэтому, если
выполнено неравенство (2.11.10), то из неравенства (2.11.14) получаем
\[
c+\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) \Phi\left(u\left(t_{1}\right)\right) d t_{1}=w(t) \leqslant \Psi^{-1}\left[\int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right] .
\]

Отсюда в силу неравенства (2.11.8) вытекает искомое неравенство (2.11.11).

Следствие 1. Если $\Phi(u)=u$, то имеем неравенство Гронуолла-Беллмана (2.11.2).

Следствие 2. Если $\Phi(u)=u^{m}(m>0, m
eq 1)$, m. е. выполнено неравенство
\[
u(t) \leqslant c+\int_{t_{0}}^{t^{\prime}} f\left(t_{1}\right)\left[u\left(t_{1}\right)\right]^{m} d t_{1} \quad n p u \quad t \geqslant t_{0},
\]
mo
\[
u(t) \leqslant\left[c^{1-m}+(1-m) \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]^{\frac{1}{1-m}} \quad \text { npu } 0<m<1
\]
$u$
\[
u(t) \leqslant \frac{c}{\left[1-(m-1) c^{m-1} \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}\right]^{\frac{1}{m-1}}}
\]
$n p u \quad m>1 u \int_{t_{0}}^{t} f\left(t_{1}\right) d t_{1}<\frac{1}{(m-1) c^{m-1}} \quad\left(t_{0} \leqslant t\right)$.