Пусть
\[
\frac{d y}{d t}=A(t) y+f(t),
\]
где $A(t)$ и $\boldsymbol{f}(t)$ – непрерывные $(n \times n)$ – и $(n \times 1)$ – матрицы с общим периодом $\omega,(\omega>0)$.
Теорема 1. Если однородная периодическая система
\[
\frac{d \boldsymbol{x}}{d t}=A(t) \boldsymbol{x}
\]
не имеет нетривиальных ю-периодических решений, т.е. все мультипликаторы ее отличны от единицы ( $p_{j}
eq 1$ ), то соответствующая неоднородная периодическая система имеет единственное периодическое решение периода ш.
Доказательство (см. [29]). Используя метод Лагранжа, из уравнения (3.23.1) имеем
\[
y(t)=X(t) y(0)+\int_{0}^{t} X(t) X^{-1}(\tau) f(\tau) d \tau,
\]
где $X(t)$ – нормированная при $t=0$ фундаментальная матрица однородной системы (3.23.2). В силу теоремы единственности решение $\boldsymbol{y}(t)$ будет $\omega$-периодическим тогда и только тогда, когда
\[
y(\omega)=\boldsymbol{y}(0) .
\]
Отсюда на основании формулы (3.23.3) для $\omega$-периодического решения $\boldsymbol{y}(t)$ будем иметь
\[
y(0)=X(\omega) y(0)+X(\omega) \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t,
\]
или
\[
[E-X(\omega)] y(0)=X(\omega) \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t .
\]
Так как в силу условия теоремы вековое уравнение
\[
\operatorname{det}[\rho E-X(\omega)]=0
\]
не имеет корня $p=1$, то
\[
\operatorname{det}[E-X(\omega)]
eq 0
\]
и, следовательно, существует
\[
[E-X(\omega)]^{-1} .
\]
Таким образом, получаем
\[
y(0)=[E-X(\omega)]^{-1} X(\omega) \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t .
\]
На основании формулы (3.23.3) находим периодическое решение
\[
\boldsymbol{y}(t)=X(t)[E-X(\omega)]^{-1}\left\{\int_{0}^{t} X^{-1}(\sigma) \boldsymbol{f}(\tau) d \tau+X(\omega) \int_{t}^{\omega} X^{-1}(\tau) \boldsymbol{f}(\tau) d \tau\right\} .
\]
То, что $\omega$-периодическое решение $\omega$ единственно, вытекает из того обстоятельства, что разность двух различных $\omega$-периодических решений неоднородного уравнения (3.23.1) является нетривиальным (1-периодическим решением однородного уравнения (3.23.2), а последнее в нашем случае исключается.
3амечание. Периодическое решение $y(t)$ неоднородной системы (3.23.1) может быть записано в виде (см. [29])
\[
\boldsymbol{y}(t)=\int_{0}^{\omega} G(t, \tau) \boldsymbol{f}(\tau) d \tau,
\]
где
\[
G(t, \tau)=X(t)[E-X(\omega)]^{1} X^{-1}(\tau)
\]
при $0 \leqslant \tau \leqslant t \leqslant \omega$ и
\[
G(t, \tau)=X(t+\omega)[E-X(\omega)]^{-1} X^{-1}(\tau)
\]
при $0 \leqslant t<\tau \leqslant \omega$.
Действительно, из формулы (3.23.5) получаем
\[
\begin{aligned}
y(t)=\int_{0}^{t} X(t)[E-X(\omega)]^{-1} X^{-1}(\tau) & \boldsymbol{f}(\tau) d \tau+ \\
& +\int_{i}^{\omega} X(t)[E-X(\omega)]^{-1} X(\omega) f(\tau) d \tau .
\end{aligned}
\]
Отсюда, учитывая, что
\[
[E-X(\omega)]^{-1} X(\omega)=X(\omega)[E-X(\omega)]^{-1}
\]
и
\[
X(t) X(\omega)=X(t+\omega),
\]
будем иметь формулу (3.23.6).
Нетрудно проверить, что функция $G(t, \tau)$, определяемая формулами (3.23.7) и (3.23.7′), обладает следующими свойствами:
1) $G(\tau+0, \tau)-G(\tau-0, \tau)=E$
2) $G(0, \tau)=G(\omega, \tau)$
3) $\dot{G}_{t}(t, \tau)=A(t) G(t, \tau) \quad(t
eq \tau)$
при $0 \leqslant \tau \leqslant t \leqslant \omega$. Эти свойства однозначно определяют функцию $G(t, \tau)$.
Если однородная система (3.23.2) имеет нетривиальные $\omega$-периодические решения (резонансный случай), то соответствующая неоднородная система (3.23.1) допускает $\omega$-периодическое решение не всегда.
Теорема 2. Пусть линейная однородная ю-периодическая система (3.23.1) допускает $k$ линейно независимых ю-периодических решений $\varphi_{1}(t), \ldots, \varphi_{k}(t) \quad(1 \leqslant k \leqslant n)$. Тогда
1) сопряженная система
\[
\frac{d \xi}{d t}=-A^{*}(t) \xi
\]
имеет также $k$ линейно независимых ю-периодических решений $\boldsymbol{\psi}_{1}(t), \ldots, \boldsymbol{\Psi}_{k}(t)$
2) соответствующая неоднородная система (3.23.1) имеет ю-периодические решения тогда и только тогда, когда выполнены условия ортогональности
\[
\int_{0}^{\omega}\left(\boldsymbol{\psi}_{s}(t), \boldsymbol{f}(t)\right) d t=0 \quad(s=1, \ldots, k),
\]
независимых ю-периодических решений $\boldsymbol{\psi}_{1}(t), \ldots, \boldsymbol{\Psi}_{k}(t)$ сопряженной системы (3.23.8).
2) Докажем сначала необходимость условий (3.23.9). Пусть $\boldsymbol{y}(t)$ – некоторое $\omega$-периодическое решение неоднородной системы (3.23.1). Из условий $\omega$-периодичности (см. формулу (3.23.4)) следует, что начальное значение $\boldsymbol{y}_{0}=\boldsymbol{y}(0)$ удовлетворяет условию
\[
[E-X(\omega)] y_{0}=X(\omega) \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t .
\]
Пусть $\Psi_{s}(t)(s=1, \ldots, n)$ – некоторое $\omega$-периодическое нетривиальное решение сопряженной системы (3.23.8). Тогда
\[
[E-X(\omega)]^{*} \boldsymbol{\Psi}_{s}(0)=\mathbf{0}
\]
и, следовательно,
\[
\begin{aligned}
0 & =\left([E-X(\omega)]^{*} \Psi_{s}(0), y_{0}\right)= \\
& =\left(\boldsymbol{\Psi}_{s}(0),[E-X(\omega)] y_{0}\right)=\left(\boldsymbol{\Psi}_{s}(0), X(\omega) \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t\right)= \\
& =\left([X(\omega)]^{*} \Psi_{s}(0), \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t\right)=\left(\boldsymbol{\Psi}_{s}(0), \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t\right)= \\
& =\int_{0}^{\omega}\left(\Psi_{s}(0), X^{-1}(t) f(t)\right) d t=\int_{0}^{\omega}\left(\left[X^{-1}(t)\right]^{*} \Psi_{s}(0), f(t)\right) d t .
\end{aligned}
\]
Ho
\[
\left[X^{-1}(t)\right]^{*} \boldsymbol{\Psi}_{s}(0)=\Xi(t) \boldsymbol{\psi}_{s}(0)=\boldsymbol{\Psi}_{s}(t)
\]
поэтому
\[
\int_{0}^{\infty}\left(\psi_{s}(t), f(t)\right) d t=0 \quad(s=1, \ldots, k) .
\]
3) Докажем теперь достаточность условий (3.23.9). Пусть условия (3.23.9) выполнены. Тогда, если $\xi_{0}$ – собственный вектор матрицы $[X(\omega)]^{*}$, отвечающий единичному мультипликатору $p=1$, т. е.
\[
[X(\omega)]^{*} \xi_{0}=\xi_{0},
\]
то
\[
\Xi(t) \xi_{0}=\sum_{s=1}^{k} c_{s} \Psi_{s}(t)
\]
независимых ()-периодических решений $\boldsymbol{\Psi}_{1}(t), \ldots, \boldsymbol{\Psi}_{k}(t)$ сопряженной системы (3.23.8).
2) Докажем сначала необходимость условий (3.23.9). Пусть $\boldsymbol{y}(t)$ – некоторое $\omega$-периодическое решение неоднородной следует, что начальное значение $y_{\theta}=y(0)$ удовлетворяет условию
\[
[E-X(\omega)] y_{0}=X(\omega) \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t .
\]
Пусть $\boldsymbol{\Psi}_{s}(t)(s=1, \ldots, n)$ – некоторое $\omega$-периодическое нетривиальное решение сопряженной системы (3.23.8). Тогда
\[
[E-X(\omega)]^{*} \Psi_{s}(0)=0
\]
и, следовательно,
\[
\begin{array}{l}
0=\left([E-X(\omega)]^{*} \boldsymbol{\Psi}_{s}(0), \boldsymbol{y}_{0}\right)= \\
=\left(\boldsymbol{\psi}_{s}(0),[E-X(\omega)] \boldsymbol{y}_{0}\right)=\left(\boldsymbol{\psi}_{s}(0), X(\omega) \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t\right)= \\
=\left([X(\omega)]^{*} \boldsymbol{\Psi}_{s}(0), \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t\right)=\left(\boldsymbol{\Psi}_{s}(0), \int_{0}^{\omega} X^{-1}(t) f(t) d t\right)= \\
=\int_{0}^{\omega}\left(\boldsymbol{\Psi}_{s}(0), X^{-1}(t) f(t)\right) d t=\int_{0}^{\omega}\left(\left[X^{-1}(t)\right]^{*} \Psi_{s}(0), f(t)\right) d t .
\end{array}
\]
Ho
\[
\left[X^{-1}(t)\right]^{*} \boldsymbol{\psi}_{s}(0)=\Xi(t) \Psi_{s}(0)=\boldsymbol{\psi}_{s}(t)
\]
поэтому
\[
\int_{0}^{\omega}\left(\psi_{s}(t), f(t)\right) d t=0 \quad(s=1, \ldots, k) .
\]
3) Докажем теперь достаточность условий (3.23.9). Пусть условия (3.23.9) выполнены. Тогда, если $\xi_{0}$ – собственный вектор матрицы $[X(\omega)]^{*}$, отвечающий единичному мультипликатору $p=1$, т. e.
\[
[X(\omega)]^{*} \xi_{0}=\xi_{0},
\]
то
\[
\Xi(t) \xi_{0}=\sum_{s=1}^{k} c_{s} \Psi_{s}(t)
\]
и, следовательно,
\[
\begin{array}{c}
0=\int_{0}^{\omega}\left(\Xi(t) \xi_{0}, f(t)\right) d t=\int_{0}^{\omega}\left(\xi_{0}, \Xi^{*}(t) f(t)\right) d t= \\
=\int_{0}^{\omega}\left(\xi_{0}, X^{-1}(t) f(t)\right) d t=\int_{0}^{\omega}\left([X(\omega)]^{*} \xi_{0}, X^{-1}(t) f(t)\right) d t= \\
=\int_{0}^{\omega}\left(\xi_{0}, X(\omega) X^{-1}(t) f(t)\right) d t=\left(\xi_{0}, \int_{0}^{\omega} X(\omega) X^{-1}(t) f(t) d t\right) .
\end{array}
\]
Таким образом, система
\[
[X(\omega)-E]^{*} \xi_{0}=0
\]
эквивалентна системе
\[
\left.\begin{array}{r}
{[X(\omega)-E]^{*} \xi_{0}=0} \\
\left(\xi_{0}, \int_{0}^{\omega} X(\omega) X^{-1}(t) f(t) d t\right)=0
\end{array}\right\}
\]
и, значит, ранги матриц этих систем одинаковы. Отсюда, учитывая, что матрица системы (3.23.14) отличается от матрицы системы (3.23.13) лишь на вектор-строку $\left[\int_{0}^{\omega} X(\omega) X^{-1}(t) f(t) d t\right]$ *, для ранга системы (3.23.12) будем иметь следующее выражение:
\[
\begin{array}{l}
\text { ранг } \left.\quad X(\omega)-E\left|\int_{\theta}^{\omega} X(\omega) X^{-1}(t) f(t) d t\right|\right)= \\
=\operatorname{parr} \sqrt{\frac{[X(\omega)-E]^{*}}{\left[\int_{0}^{\omega} X(\omega) X^{-1}(t) f(t) d t\right]^{*}}}= \\
=\operatorname{paнг}\left([X(\omega)-E]^{*}\right)= \\
=\operatorname{paнг}(X(\omega)-E)=n-k \text {. } \\
\end{array}
\]
Следовательно, в силу теоремы Кронекера- Қапелли (гл. I, $\S 5$ ) система (3.23.12), определяющая начальные условия (-периодических решений неоднородной системы (3.23.1), совместна и имеет $k$ линейно независимых решений.
Теорема доказана.
Существование $\omega$-периодических решений линейной периодической системы связано с наличием ограниченных решений ее. Теорема Массера. Если линейная неоднородная ю-периодическая система (3.23.1) имеет ограниченное решение $\hat{y}(t)(t \geqslant 0)$, то у этой системы существует ю-периодическое решение.
Доказательство. Используя метод вариации произвольной постоянной, ограниченное рещение $\hat{\boldsymbol{y}}(t)$ неоднородной системы (3.23.1) можно представить в следующем виде:
\[
\hat{y}(t)=X(t) \hat{y}_{0}+\int_{0}^{t} X(t) X^{-1}(\tau) f(\tau) d \tau,
\]
где $\hat{y}_{0}=\hat{\boldsymbol{y}}(0)$ и $X(t)(X(t)=E)$ – нормированная фундаментальная матрица однородной системы (3.23.2). Отсюда
\[
\hat{y}(\omega)=X(\omega) \hat{y}_{0}+\boldsymbol{b},
\]
где
\[
\boldsymbol{b}=\int_{0}^{\infty} X(\omega) X^{-1}(\tau) f(\tau) d \tau
\]
Так как ввиду периодичности системы (3.23.1) $\hat{y}(t+\omega)$ есть также решение этой системы, то, используя начальное условие
\[
\left.\hat{y}(t+\omega)\right|_{i=0}=\hat{y}(\omega),
\]
будем иметь
\[
\hat{y}(2 \omega)=X(\omega) \hat{y}(\omega)+\boldsymbol{b}=X^{2}(\omega) \hat{y}_{0}+[X(\omega)+E] \boldsymbol{b}
\]
или, в более общем виде,
\[
\begin{array}{c}
\hat{y}(m \omega)=X^{m}(\omega) \hat{y}_{0}+\sum_{k=0}^{m-1} X^{k}(\omega) \boldsymbol{b} \\
(m=1,2, \ldots) .
\end{array}
\]
Пусть система (3.23.1) не имеет $\omega$-периодического решения. Тогда линейная алгебраическая система
\[
[E-X(\omega)] \boldsymbol{y}_{0}=\boldsymbol{b},
\]
реализующая условие периодичности, несовместна и, в частности,
\[
\operatorname{det}[E-X(\omega)]=0 .
\]
Отсюда в силу известной теоремы алгебры выводим, что существует ненулевой вектор $c$, являющийся решением сопряженной алгебраической системы
\[
[E-X(\omega)]^{*} c=0,
\]
причем этот вектор не ортогонален к правой части системы (3.23.17), т. е.
\[
(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c})
eq 0 \text {. }
\]
Из уравнения (3.23.18) получаем
\[
c=[X(\omega)]^{*} c
\]
и, значит,
\[
\boldsymbol{c}=\left[X^{k}(\omega)\right]^{*} c \quad(k=0,1,2, \ldots) .
\]
Умножая равенство (3.23.16) справа на $c$, будем иметь
\[
(\hat{\boldsymbol{y}}(m \omega), \boldsymbol{c})=\left(X^{m}(\omega) \hat{y}_{0}, c\right)+\sum_{k=0}^{m-1}\left(X^{k}(\omega) \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}\right) .
\]
Отсюда, учитывая соотношение (3.23.20), находим
\[
\begin{array}{l}
(\hat{y}(m \omega), c)=\left(\hat{y}_{0},\left[X^{m}(\omega)\right]^{*} c\right)+\sum_{k=0}^{n-1}\left(\boldsymbol{b},\left[X^{k}(\omega)\right]^{*} c\right)= \\
=\left(\hat{\boldsymbol{y}}_{0}, \boldsymbol{c}\right)+m(\boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}) \rightarrow \infty \text { при } m \rightarrow \infty, \\
\end{array}
\]
что противоречит ограниченности решения $\hat{y}(t)$.
Следовательно, в наших условиях система (3.23.17) совместна и, таким образом, существует по меньшей мере одно $\omega$-периоди ческое решение неоднородной системы (3.23.1).
Следствие. Если неоднородная линейная ю-периодиеская система не имеет ю-периодических решеннй, то все решения этой системы не ограничены как на полуоси $t \geqslant 0$, так и на полуоси $t \leqslant 0$.
