Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
Как было доказано выше (§2), предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов есть функция почти периодическая. Справедливо и обратное положение, что всякую п. п. функцию $f(x)$ можно рассматривать как предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов, т. е. п. п. функции допускают равномерную аппроксимацию тригонометрическими полиномами с любой степенью точности. Оригинальное доказательство этой теоремы аппроксимации Бора, опирающееся лишь на определение п. п. функции, было дано Н. Н. Боголюбовым (см. [70]). Мы здесь приведем доказательство Н. Винера (см. [71], [67]), основанное на применении равенства Парсеваля (§13). Теорема аппроксимации. Eсли ‘ $f(x)$ — почти периодическая функция, то для всякого в>0 существует конечный тригонометрический полином. удовлетворяющий неравенству где в качестве $\lambda_{n}$ могут быть взяты показатели Фурье функции $f(x)$. Функция $g(x)$ — почти периодическая. при любом действительном $h$ имеем . Отсюда, так как функция $f(x)$ ограничена и равномерно непрерывна на ( $-\infty, \infty$ ), то $g(h) \rightarrow g(0)=0$ при $h \rightarrow 0$ и, следовательно, $g(x)$ также ограничена и равномерно непрерывна на $(-\infty, \infty)$. Кроме того, из неравенства (14.1) вытекает, что всякий $\varepsilon$-почти период функции $f(x)$ является є-почти периодом функции $g(x)$ и, таким образом, эта функция почти периодическая. Пусть $\varepsilon>0$ произвольно. Рассмотрим функцию Положим тогда, очевидно, $\psi(x)$ — п. п. функция и Рассмотрим функцию Используя равенство (14.2), имеем Но согласно определению функция $\psi(x-t)=\frac{1}{\mu} \varphi(g(x-t))$ ова, что если $\psi(x-t) Отсюда при $u=0$ будем иметь Таким образом, из неравенства (14.3) получаем Для п. п. функции $f(x)$ рассмотрим ее ряд Фурье Обозначая через $\eta$ произвольно малое положительное число, на основании неравенства Бесселя (§8) выберем. $N=N(\eta)$ так, чтобы Пусть и Так как то, используя равенство Парсеваля, получим Положим Очевидно, $P_{\mathrm{g}}(t)$ есть тригонометрический полином, причем $\lambda_{n}$ показатели Фурье функции $f(x)$. Отсюда, применяя известное неравенство Коши-Буняковского (§8) и используя неравенство (14.5), получаем если выбрать Из неравенств (14.4) и (14.6) находим Теорема аппроксимации доказана.
|
1 |
Оглавление
|