Как было доказано выше (§2), предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов есть функция почти периодическая. Справедливо и обратное положение, что всякую п. п. функцию $f(x)$ можно рассматривать как предел равномерно сходящейся последовательности тригонометрических полиномов, т. е. п. п. функции допускают равномерную аппроксимацию тригонометрическими полиномами с любой степенью точности. Оригинальное доказательство этой теоремы аппроксимации Бора, опирающееся лишь на определение п. п. функции, было дано Н. Н. Боголюбовым (см. [70]). Мы здесь приведем доказательство Н. Винера (см. [71], [67]), основанное на применении равенства Парсеваля (§13).

Теорема аппроксимации. Eсли ‘ $f(x)$ – почти периодическая функция, то для всякого в>0 существует конечный тригонометрический полином.
\[
P_{\varepsilon}(x)=\sum_{n=1}^{N(\xi)} c_{n}(\varepsilon) e^{i \lambda_{n} x},
\]

удовлетворяющий неравенству
\[
\sup _{x}\left|f(x)-P_{\varepsilon}(x)\right| \leqslant \varepsilon,
\]

где в качестве $\lambda_{n}$ могут быть взяты показатели Фурье функции $f(x)$.
Доказательство. Пусть
\[
g(x)=\sup _{t}|f(x+t)-f(t)| .
\]

Функция $g(x)$ – почти периодическая.
В самом деле, учитывая, что
\[
\left|\sup _{t} \varphi(t)-\sup _{t} \psi(t)\right| \leqslant \sup _{t}|\varphi(t)-\psi(t)|,
\]

при любом действительном $h$ имеем .
\[
\begin{array}{l}
|g(x+h)-g(x)|=\left|\sup _{t}\right| f(x+h+t)-f(t) \mid- \\
\quad-\sup _{t}|f(x+t)-f(t)| \mid \leqslant \\
\leqslant \sup _{t}|f(x+h+t)-f(t)|-|f(x+t)-f(t)| \leqslant \\
\quad \leqslant \sup _{t}|f(x+h+t)-f(x+t)|,
\end{array}
\]
т. е.
\[
|g(x+h)-g(x)| \leqslant g(h) .
\]

Отсюда, так как функция $f(x)$ ограничена и равномерно непрерывна на ( $-\infty, \infty$ ), то $g(h) \rightarrow g(0)=0$ при $h \rightarrow 0$ и, следовательно, $g(x)$ также ограничена и равномерно непрерывна на $(-\infty, \infty)$. Кроме того, из неравенства (14.1) вытекает, что всякий $\varepsilon$-почти период функции $f(x)$ является є-почти периодом функции $g(x)$ и, таким образом, эта функция почти периодическая.

Пусть $\varepsilon>0$ произвольно. Рассмотрим функцию
\[
\varphi(y)=\left\{\begin{array}{cl}
1-\frac{2 y}{\varepsilon} & \text { при } 0 \leqslant y \leqslant \frac{\varepsilon}{2}, \\
0 . & \text { при } y>\frac{\varepsilon}{2}
\end{array}\right.
\]
(рис. 64).
Так как функция $\varphi(y)$ равномерно непрерывна на $[0, \infty)$, то сложная функция $\varphi(g(x))$ является почти периодической (см. $\S 1$ ). Функция $\varphi(g(x))$ неотрицательна, и так как $\varphi(g(0))=\varphi(0)=1$, то $\varphi(g(x))
eq 0$. Поэтому ее среднее значение
\[
\underset{x}{M}\{\varphi(g(x))\}=\mu>0 .
\]

Положим
\[
\psi(x)=\frac{1}{\mu} \varphi(g(x)) ;
\]

тогда, очевидно, $\psi(x)$ – п. п. функция и
\[
M_{x}\{\psi(x)\}=\frac{1}{\mu} M_{x}\{\varphi(g(x))\}=1 .
\]

Рассмотрим функцию
\[
f_{\varepsilon}(x)=\underset{t}{M}\{f(t) \psi(x-t)\} .
\]

Используя равенство (14.2), имеем
\[
\begin{array}{l}
\left|f(x)-f_{\mathrm{E}}(x)\right|=\mid f(x) \underset{t}{M}\{\psi(x-t)\}- \\
-\underset{t}{M}\{f(t) \psi(x-t)\} \mid\left.=\mid M_{t}\{\mid f(x)-f(t)] \psi(x-t)\right\} \mid \leqslant \\
\leqslant \underset{t}{M}\{|f(x)-f(t)| \cdot \psi(x-t)\} .
\end{array}
\]

Но согласно определению функция $\psi(x-t)=\frac{1}{\mu} \varphi(g(x-t))$ ова, что если $\psi(x-t)
eq 0$, то
\[
\begin{aligned}
x-t)=\sup _{u}|f(x-t+u)-f(u)| & = \\
& =\sup _{u}|f(x+u)-f(t+u)|<\frac{\varepsilon}{2} .
\end{aligned}
\]

Отсюда при $u=0$ будем иметь
\[
|f(x)-f(t)|<\frac{\varepsilon}{2} .
\]

Таким образом, из неравенства (14.3) получаем
\[
\left|f(x)-f_{\varepsilon}(x)\right|<\frac{\varepsilon}{2}{ }_{t}^{M}\{\psi(x-t)\}=\frac{\varepsilon}{2} .
\]

Для п. п. функции $f(x)$ рассмотрим ее ряд Фурье
\[
f(x) \propto \sum_{n} A_{n} e^{i \lambda_{n} x} .
\]

Обозначая через $\eta$ произвольно малое положительное число, на основании неравенства Бесселя (§8) выберем. $N=N(\eta)$ так, чтобы
\[
\sum_{n=N+1}^{\infty}\left|A_{n}\right|^{2}<\eta
\]

Пусть
\[
S_{N}(x)=\sum_{n=1}^{N} A_{n} e^{i \lambda} n^{x}
\]

и
\[
f(x)=S_{N}(x)+R_{N}(x) .
\]

Так как
\[
R_{N}(x) \propto \sum_{n=N+1}^{\infty} A_{n} e^{i n x},
\]

то, используя равенство Парсеваля, получим
\[
M\left\{\left|R_{N}(x)\right|^{2}\right\}=\sum_{n=N+1}^{\infty}\left|A_{n}\right|^{2}<\eta .
\]

Положим
\[
P_{\varepsilon}(x)=M_{t}\left\{S_{N}(t) \psi(x-t)\right\} \equiv \sum_{n=1}^{N} A_{n} M\left\{\psi(t) e^{-i \lambda} n^{t}\right\} \cdot e^{t \lambda} n^{x} .
\]

Очевидно, $P_{\mathrm{g}}(t)$ есть тригонометрический полином, причем $\lambda_{n}$ показатели Фурье функции $f(x)$.
Имеем
\[
\begin{aligned}
f_{\mathrm{s}}(x)-P_{\mathrm{s}}(x)= & \mathrm{M}_{t}\{f(t) \psi(x-t)\}-\underset{t}{M}\left\{S_{N}(t) \psi(x-t)\right\}= \\
& =M_{t}^{M}\left\{R_{N}(t) \psi(x-t)\right\} .
\end{aligned}
\]

Отсюда, применяя известное неравенство Коши-Буняковского (§8) и используя неравенство (14.5), получаем
\[
\begin{aligned}
\left|f_{\mathrm{\varepsilon}}(x)-P_{\varepsilon}(x)\right| \leqslant \sqrt{\mathrm{M}_{t}\left\{\left|R_{N}(t)\right|^{2}\right\}} & \sqrt{\mathrm{M}_{t}\left\{\psi^{2}(x-t)\right\}}< \\
& <\sqrt{\eta} \sqrt{\mathrm{M}_{t}\left\{\psi^{2}(t)\right\}}<\frac{\varepsilon}{2},
\end{aligned}
\]

если выбрать
\[
\eta<\frac{\varepsilon^{2}}{4 \underset{t}{4 M}\left\{\psi^{2}(t)\right\}} .
\]

Из неравенств (14.4) и (14.6) находим
\[
\left|f(x)-P_{\varepsilon}(x)\right|<\varepsilon \text { при }-\infty<x<+\infty .
\]

Теорема аппроксимации доказана.