1. Показать, что верхняя треугольная матрица
\[
\mathrm{T}=\left[\begin{array}{llll}
0 & \gamma_{12} & \ldots & \gamma_{1 n} \\
0 & 0 & \ldots & \gamma_{2 n} \\
\cdots & \ldots & \cdots & \ldots \\
0 & 0 & \ldots & \gamma_{n-1}, n \\
0 & 0 & \ldots & 0
\end{array}\right]
\]

с нулевой диагональю нильпотентна, т. е.
\[
\Gamma^{n}=O,
\]

где $n$ — порядок матрицы.
2. Пусть $T$ — верхняя треугольная матрица вида
\[
T=\alpha E+I \quad(x
eq 0),
\]

где $\mathrm{\Gamma}$-сумма косых рядов от 1 -го до $(n-1)$-ro.
Показать, что
\[
T^{-1}=\alpha^{-1} E-\alpha^{-2} \Gamma+\alpha^{-3} \Gamma^{2}+\ldots+(-1)^{n-1} \alpha^{-n} \Gamma^{n-1} .
\]
3. Пусть $E-A$ — неособенная матрица. Показать, что
\[
(E-A)^{-1} A=A(E-A)^{-1} .
\]
4. Показать, что если
\[
A=\operatorname{diag}\left[J_{1}\left(\lambda_{1}\right), \ldots, J_{m}\left(\lambda_{m}\right)\right],
\]

то
\[
\begin{array}{c}
A^{-1}=\operatorname{diag}\left[-J_{1}\left(-\frac{1}{\lambda_{1}}\right), \ldots,-J_{m}\left(-\frac{1}{\lambda_{m}}\right)\right] \\
\left(\lambda_{q}
eq 0, q=1, \ldots, m\right) .
\end{array}
\]
5. Доказать, что для всех квадратных матриц $X$ определены аналитичес кие функции
\[
\sin X=X-\frac{1}{3 !} X^{3}+\frac{1}{5 !} X^{5}-\ldots
\]

и
\[
\cos X=E-\frac{1}{2 !} X^{2}+\frac{1}{4 !} X^{4}-\cdots
\]

Найти $\sin J(\alpha)$, где $J(\alpha)$ — клетка Жордана.

6. Пусть $\Gamma$ — сумма косых рядов от 1 -го до ( $n-1$ )-го. Показать, что
\[
e^{\Gamma}=E+\Gamma+\frac{1}{2 !} \Gamma^{2}+\cdots+\frac{1}{(n-1) !} \Gamma^{n-1}
\]

и
\[
\operatorname{Ln}(E+\Gamma)=\Gamma-\frac{1}{2} \Gamma^{2}+\ldots+\frac{(-1)^{n}}{n-1} \Gamma^{n-1} .
\]
7. Пусть
\[
A=\left[\begin{array}{cccccc}
S & E_{2} & 0 & \ldots & 0 & 0 \\
0 & S & E_{2} & \ldots & 0 & 0 \\
\cdots & \cdots & \cdots & \ldots & \cdots \\
0 & 0 & 0 & \ldots & S & E_{2} \\
0 & 0 & 0 & \ldots & 0 & S
\end{array}\right]
\]
— матрица типа $2 p \times 2 p$, где
\[
S=\left[\begin{array}{cc}
\alpha & -\beta \\
\beta & \alpha
\end{array}\right]
\]

и $E_{2}$ — единичная матрица второго порядка. Показать, что

где
\[
e^{t S}=e^{\alpha t}\left[\begin{array}{rr}
\cos \beta t & -\sin \beta t \\
\sin \beta t & \cos \beta t
\end{array}\right] .
\]
8. Пользуясь формулой Сильвестра, найти $e^{X}$, если
\[
X=\left[\begin{array}{ll}
2 & 1 \\
4 & 2
\end{array}\right] .
\]
9. Для матриц второго порядка $X$ найти представление аналитической функции $F(X)$ в виде полинома в следующих случаях: 1) неравных характеристических корней $\lambda_{1}
eq \lambda_{2}$ и 2) равных $\lambda_{1}=\lambda_{9}$.
10. Найти $\operatorname{Ln} A$, если
\[
A=\left[\begin{array}{rr}
\cos \alpha & -\sin \alpha \\
\sin \alpha & \cos \alpha
\end{array}\right]
\]
( $\alpha$ действительно).