Определение. Под нормой матрицы $A=\left[a_{j k}\right]$ понимается неотрицательное число $\|A\|$, удовлетворяющее следующим условиям (аксиомам):
1) $\|O\|=0$, и обратно, если $\|A\|=0$, то $A=O$;
2) $\alpha A\|=|\alpha|\| A \|$, где $\alpha$ – любое комплексное число;
3) $\|A+B\| \leqslant\|A\|+\|B\|$, где $A$ и $B-$ любые матрицы, допускающие сложение;
4) $\|A B\| \leqslant\|A\|\|B\|$, где $A$ и $B$-любые матрицы, допускающие умножение.
Из 2) и 3) вытекает
\[
\|A-B\| \leqslant\|A\|+\|B\| .
\]

В дальнейшем мы будем использовать три нормы:
\[
\begin{array}{c}
\|A\|_{\mathrm{I}}=\max _{j} \sum_{k}\left|a_{j k}\right| ; \\
\|A\|_{\mathrm{l}}=\max _{k} \sum_{j}\left|a_{j k}\right| ; \\
\|A\|_{\mathrm{II}}=\left\{\sum_{j, k}\left|a_{j k}\right|^{2}\right\}^{\frac{1}{2}} \equiv\left(\mathrm{Sp} A^{*} A\right)^{\frac{1}{2}}
\end{array}
\]
(евклидова норма).
Для вектора-столбца
\[
\boldsymbol{x}=\left[\begin{array}{c}
x_{1} \\
\vdots \\
x_{n}
\end{array}\right]
\]

эти нормы имеют, соответственно, следующие значения:
\[
\begin{array}{c}
\|\boldsymbol{x}\|_{\mathrm{I}}=\max _{i}\left|x_{j}\right| ; \\
\|\boldsymbol{x}\|_{\mathrm{H}}=\sum_{i}\left|x_{j}\right| \\
\|\boldsymbol{x}\|_{1 \mathrm{I}}=\sqrt{\sum_{i}\left|x_{i}\right|^{2}} .
\end{array}
\]

В дальнейшем, если некоторое соотношение окажется выполненным для любой нормы I – III, то значок при норме будет опускаться.

Нетрудно проверить [3], что для приведенных норм выполнены аксиомы 1) – 4). Кроме того, имеет место следуюшее свойство:
5) $\forall\left|a_{j k}\right| \leqslant\|A\|$.
Отметим, что если $A=\left[a_{11}\right]$ есть $(1 \times 1)$-матрица, то
\[
\|A\|=\left|a_{11}\right| \text {. }
\]

Отметим еще одно полезное свойство нормы:
\[
|\|A\|-\|B\|| \leqslant\|A-B\| .
\]

Действительно,
\[
\|A\|=\|B+(A-B)\| \leqslant\|B\|+\|A-B\|,
\]
т. e.
\[
\|A\|-\|B\| \leqslant\|A-B\| \text {. }
\]

Аналогично имеем
\[
\|B\|-\|A\| \leqslant\|B-A\|=\|A-B\| .
\]

Из неравенств (1.4.2) и (1.4.3) вытекает неравенство (1.4.1).

Введем понятие абсолютной величины (модуля) матрицы $A=$ $=\left[a_{j k}\right]$, полагая
\[
|A| \equiv \bmod A=\left[\left|a_{j k}\right|\right] .
\]

Для норм I – III, очевидно, имеем
\[
\|A\|=\mid \bmod A \| \text {. }
\]

Для матриц $A=\left[a_{j k}\right]$ и $B=\left[b_{j k}\right]$ одинакового типа можно ввести понятие неравенства
\[
A \leqslant B
\]

в том случае, если $\forall a_{j k} \leqslant b_{j k}$; ч частности, $A \geqslant 0$, если $\forall a_{j k} \geqslant 0$.
Из формул для норм I – III вытекает: если выполнено неравенство (1.4.4)
\[
\bmod A \leqslant \bmod B,
\]

то справедливо свойство монотонности нормы
\[
\|A\| \leqslant\|B\| \text {. }
\]