Рассмотрим полином
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n} \quad(n \geqslant 1),
\]

где $z=x+i y-$ комплексное число и $a_{0}, a_{1}, \ldots, a_{n}$ – действительные или комплексные коэффициенты.

Определение. Полином $f(z)$ степени $n \geqslant 1$ называется полиномом Гурвица, если все его корни (нули) $z_{1}, z_{2}, \ldots, z_{n}$ обладают отрицательными вещественными частями
\[
\operatorname{Re} z_{j}<0 \quad(j=1, \ldots, n),
\]
т. е. все корни $z_{j}$ расположены в левой комплексной полуплоскости.

В дальнейшем мы будем предполагать, что коэффициенты $a_{0}$, $a_{1}, \ldots, a_{n}$ полинома $f(z)(2.9 .1)$ действительны, причем
\[
a_{0}>0, \quad a_{n}
eq 0 .
\]

Такой, очевидно, не имеющий нулевых корней полином для краткости будем называть стандартным полиномом степени $n(n \geqslant 1)$. Установим простое необходимое условие для полинома Гурвица.
Теорема. Если стандартный полином является полиномом Гурвица, то все его коэффициенты положительны.
Доказательство. Пусть
\[
z_{j}=-\alpha_{j} \pm i \beta_{j} \quad(j=1, \ldots, p)
\]
– комплексные корни ( $\beta_{j}
eq 0$ ) полинома Гурвица $f(z)$ (2.9.1) и
\[
z_{k}=-\gamma_{k} \quad(k=1, \ldots, q)
\]
– действительные корни этого полинома. В силу определения полинома Гурвица имеем
\[
a_{j}>0, \quad \gamma_{k}>0 .
\]

Обозначим через $\sigma_{j}(j=1, \ldots, p)$ кратность корня $z_{j}=-\alpha_{j}+i \beta_{j}$; тогда, так как коэффициенты полинома (2.9.1) действительны, то сопряженный корень $\bar{z}_{j}=-\alpha_{j}-i \beta_{j}$ имеет ту же кратность $\sigma_{j}$. Пусть кратность действительного корня $\gamma_{k}\left(k=1, \ldots, q\right.$ ) есть $s_{k}$. Очевидно,
\[
\sum_{j=1}^{p} 2 \sigma_{j}+\sum_{k=1}^{q} s_{k}=n .
\]

Пользуясь известным разложением полинома $f(z)$ на линейные множители, имеем следующее тождество:
\[
f(z) \equiv a_{n} \prod_{j=1}^{n}\left(z+\alpha_{j}-i \beta_{j}\right)^{\sigma}{ }^{j}\left(z+\alpha_{j}+i \beta_{j}\right)^{\sigma} \prod_{k=1}^{q}\left(z+\gamma_{k}\right)^{s_{k}},
\]

или
\[
f(z) \equiv a_{n} \prod_{j=1}^{p}\left(z^{2}+2 \alpha_{j} z-\alpha_{i}^{2}+\beta_{j}^{2}\right)^{\sigma} \prod_{k=\infty 1}^{4}\left(z+\gamma_{k}\right)^{s_{k}} .
\]

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной $z$ в правой и левой частях тождества (2.9.5), получаем, что все коэффициенты полинома $f(z)$ имеют одинаковые знаки. А так как в силу условия (2.9.2) $a_{0}>0$, то
\[
a_{1}>0, a_{2}>0, \ldots, a_{n}>0 .
\]

Теорема доказана.
3амечание. Легко показать, что для стандартного полинома второй степени
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+a_{2} z^{2}
\]

условие теоремы является достаточным, т. е. если
\[
a_{0}>0, \quad a_{1}>0, \quad a_{2}>0,
\]

то полином (2.9.7) будет полиномом Гурвица.
Для стандартного полинома степени выше второй из положительности его коэффициентов в общем случае не вытекает, что этот полином есть полином Гурвица.
Поим р. Полином
\[
f(z)=30+4 z+z^{8}+z^{3}
\]

имеет лишь положительные коэффициенты, но не является полиномом Гурвица, так как его корни есть $z_{1}=-3, z_{2}=1+3 i, z_{3}=1-3 i$.

Обозначим для краткости через $H_{n}(n=1,2, \ldots)$ совокупность всех стандартных полиномов Гурвица степени $n$, и пусть
\[
H=\bigcup_{n=1}^{\infty} H_{n}
\]
– множество всех стандартных полиномов Гурвица.

Для вывода необходимых и достаточных условий для отношения $f(z) \in H$ введем понятие присоединенных полиномов (ср. [15]).
Определение. Полином
\[
F(z)=S f(z),
\]

где
\[
F(z)=(1+\alpha z) f(z)+f(-z)
\]

будем называть присоединенным к полиному $f(z)$.
Лемма 1. Полином, присоединенный к стандартному полиному Гурвица, есть стандартный полином Гурвица, т. е. если
\[
f(z) \in H_{n}, \quad \text { то } \quad F(z)=S f(z) \in H_{n+1} .
\]

Доказательство. Рассмотрим полином
\[
\Phi_{\mu}(z)=(1+\alpha z) f(z)+\mu f(-z),
\]

где действительный параметр $\mu$ пробегает отрезок $0 \leqslant \mu \leqslant 1$, причем
\[
\Phi_{1}(z)=\Gamma(z) .
\]

Покажем, что корни $z_{j}(\mu)(j=1,2, \ldots, n+1)$ полинома $\Phi_{\mu}(z)$ при $\mu \in[0,1]$ расположены в левой полуплоскости $\operatorname{Re} z<0$, т. е. полином $\Phi_{i \mu}(z)$ есть полином Гурвица.
Действительно, прежде всего, полагая

где
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n},
\]

будем иметь
\[
\begin{array}{c}
\quad a_{0}>0, a_{1}>0, \ldots, a_{n}>0, \\
\Phi_{\mu}(z)=b_{0}(\mu)+b_{1}(\mu) z+\ldots+b_{n}(\mu) z^{n}+\alpha a_{n} z^{n+1},
\end{array}
\]

где $b_{
u}(\mu)(
u=0,1, \ldots, n)$ – линейные функции параметра $\mu$. Отсюда, учитывая, что $\alpha a_{n}>0$, получаем
\[
\left|\Phi_{\mu}(z)\right|>0 \quad \text { при } \quad|z| \geqslant R, \quad \mu \in[0,1],
\]

где $R$ достаточно велико и не зависит от $\mu$.
Следовательно, корни $z_{j}(\mu)$ заключены внутри достаточно большого конечного круга $|z|<R$ (рис. 11) и, значит, являются ограниченными непрерывными функциями параметра $\mu$. При $\mu=0$ полином $\Phi_{\mu}(z)$ имеет корни, лежащие в левой полуплоскости, т.е.
\[
\Phi_{0}(z) \in H_{n+1} .
\]

Пусть теперь при некотором $\hat{\mu} \in[0,1]$ полином $\Phi_{\hat{\mu}}(z)$ не является полиномом Гурвица. Тогда по меньшей мере одна из кривых $z_{j}=z_{j}$ ( $\mu$ ! покинет левую полуплоскость и, следовательно, при некотором значении $\hat{\mu}$ пересечет отрезок мнимой оси $[-R i, R i]$ (рис. 11). Иными слова-
Рис. 11.
ми, при $\hat{\mu} \in(0,1]$ полином $\Phi_{\hat{\mu}}(z)$ имеет мнимый корень $\beta i$, т. е.

Отсюда
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{\hat{\mu}}(\beta i) \equiv(1+\alpha \beta i) f(\beta i)+\hat{\mu} f(-\beta i)=0 . \\
|1+\alpha \beta i||f(\beta i)|=\hat{\mu}|f(-\beta i)| .
\end{array}
\]

Так как значения полинома $f(z)$ с действительными коэффициентами в сопряженных точках $z$ и $\bar{z}$ комплексно сопряжены, т. е.
\[
f(\bar{z})=\overline{f(z)},
\]

то, учитывая, что коэффициенты полинома $f(z)$ действительны и что полином $f(z)$ есть полином Гурвица, будем иметь
\[
|f(-\beta i)|=|f(\overline{\beta i})|=|\widehat{f(\beta i)}|=\mid f(\beta i),
eq 0 .
\]

Сокращая равенство (2.9.9) на равные, отличные от нуля величины $|f(\beta i)|$ и $|f(-\beta i)|$, получим
\[
|1+a \beta i|=\hat{\mu} \text {, }
\]
T. e.
\[
1+\alpha^{\mathrm{s}} \beta^{2}=\hat{\mu}^{2} \text {. }
\]

Так как
\[
\Phi_{\mu}(0)=(1+\mu) a_{0}
eq 0,
\]

то $\beta
eq 0$ и поэтому равенство (2.9.10) невозможно при $\hat{\mu} \in[0,1]$. Итак,
\[
F(z)=\Phi_{1}(z) \in H_{n+1} .
\]

Лемма 2. Для всякого стандартного полинома Гурвица степени $n+1$ существует стандартный полином Гурвца степени $n(n \geqslant 1)$, по отношению к которому данный полином является присоединенным, т. е. если $F(z) \in H_{n+1}$, то существуют $\alpha>0$ и $f(z) \in H_{n}$ такие, что
\[
F(z)=S f(z) \equiv(1+\alpha z) f(z)+f(-z) .
\]

Доказательство. Из функционального уравнения имеем
\[
F(-z)=(1-\alpha z) f(-z)+f(z) .
\]

Исключая $f(-z)$ из уравнений (2.9.11) и (2.9.12), получия
\[
\alpha^{2} z^{2} f(z)=-(1-\alpha z) F(z)+F(-z) .
\]

Пусть
\[
F(z)=A_{0}+A_{1} z+\cdots+A_{n+1} z^{n+1}
\]

и
\[
F(-z)=A_{0}-A_{1} z+\ldots+(-1)^{n+1} A_{n+1} z^{n+1},
\]

где $A_{k}>0(k=0,1, \ldots, n+1)$.
Если выбрать
\[
\alpha=\frac{2 A_{1}}{A_{0}}>0,
\]

то функция $f(z)$, определяемая формулой (2.9.13), очевидно, бу, дет полиномом $n$-й степени. Легко проверить, что
\[
S f(z)=F(z) .
\]

Докажем, что $f(z) \in H_{n}$. Рассмотрим полином
\[
\begin{array}{c}
\Phi_{\mu}(z)=-(1-\alpha z) F(z)+\mu F(-z) \equiv-(1-\mu) A_{0}+(1-\mu) A_{1} z+ \\
\quad+\left[\alpha A_{1}-(1-\mu) A_{2}\right] z^{2}+\cdots+\left\{\alpha A_{n-1}-\left[1-\mu(-1)^{n}\right] A_{n}\right\} z^{n}+ \\
\quad+\left\{\alpha A_{n}-\left[1-\mu(-1)^{n+1}\right] A_{n+1}\right\} z^{n+1}+\alpha A_{n+1} z^{n+2},
\end{array}
\]

где постоянная $\alpha$ определяется по формуле (2.9.14) и параметр $\mu$ пробегает отрезок $[0,1]$. Корни этого полинома $z_{j}=z_{j}(\mu)$ ( $j=1$, $2, \ldots, n+2$ ) являются ограниченными непрерывными функциями параметра $\mu$ на отрезке $[0,1]$. При $\mu=0$ один из корней $z_{n+8}=$ $=\frac{1}{\alpha}$ находится в правой полуплоскости $\operatorname{Re} z>0$, а все остальные корни $z_{j}(j<n+2)$ – в левой $\operatorname{Re} z<0$. Такое расположение корней сохраняется при $\mu \in[0,1)$. Действительно, если бы один из корней $z_{j}$ перешел из одной полуплоскости в другую, то кривая $z_{j}=z_{j}(\mu)$ должна была бы пересечь мнимую ось и при некотором $\hat{\mu} \in(0,1)$ полином $\Phi_{\hat{\mu}}(z)$ имел бы мнимый корень $\beta i$, т. е.
\[
-(1–\alpha \beta i) F(\beta i)+\hat{\mu} F(-\beta i)=0,
\]

и, следовательно,
\[
|1-\alpha \beta i||F(\beta i)|=\hat{\mu} \mid F-\beta i) \mid,
\]

причем $\beta
eq 0$, так как
\[
\Phi_{\mu}(0)=-A_{0}(1-\mu)
eq 0 \text { при } \mu
eq 1 .
\]

Отсюда, учитывая, что $F(z)$ – полином Гурвица, и рассуждая аналогично тому, как в лемме 1 , будем иметь
\[
|F(\beta i)|=|F(-\beta i)|
eq 0 .
\]

Поэтому из неравенства (2.9.16) выводим
\[
|1-\alpha \beta i|=\hat{\mu} \text {, }
\]
т. е.
\[
1+\alpha^{23^{2}}=\hat{\mu^{2}},
\]

что невозможно при $\alpha>0$ и действительном $\beta
eq 0$.
Из формулы (2.9.15) вытекает, что при $\mu=1$ полином $\Phi_{\mu}(z)$ имеет двукратный нулевой корень. Пусть корни $z_{p}(\mu) \rightarrow 0$ и $z_{q}(\mu) \rightarrow 0$ при $\mu \rightarrow 1-0$. На основании известных соотношений между корнями и коэффициентами полинома при $0 \leqslant \mu<1$ получаем
\[
\sum_{j=1}^{n+2} \frac{1}{z_{j}(\mu)}=\frac{A_{1}}{A_{0}},
\]

или, переходя к действительным частям, находим
\[
\sum_{j=1}^{n+2} \operatorname{Re} \frac{1}{z_{j}(\mu)}=\frac{A_{1}}{A_{0}} .
\]

Отсюда следует, что один из корней $z_{p}(\mu)$ и $z_{q}(\mu)$ при $0 \leqslant \mu<1$ должен иметь положительную вещественную часть, так как в противном случае, при $\iota \rightarrow 1-0$, левая часть равенства (2.9.17) стремилась бы к- $\infty$, а правая оставалась ограниченной и положительной, что, очевидно, невозможно. А так как $z_{n+2}(\mu)$ есть единственный корень с положительной вещественной частью при $0 \leqslant \mu<1$, то, полагая
\[
\operatorname{Re} z_{p}(\mu)>0, \quad \lim _{\mu \rightarrow 1-0} z_{p}(\mu)=0,
\]

получаем $p=n+2$. Без нарушения общности рассуждения можно принять $q=n+1$ и, следовательно,
\[
\lim _{\mu \rightarrow 1-0} z_{n+1}(\mu)=0 .
\]

Тогда, учитывая, что
\[
\alpha A_{1}-(1-\mu) A_{2} \rightarrow \alpha A_{1}
eq 0
\]

при $\mu \rightarrow 1-0$, будем иметь
\[
\lim _{\mu \rightarrow 1-0} z_{j}(\mu)=c_{j}, \quad \operatorname{Re} c_{j}<0(j=1, \ldots, n) .
\]

Так как на основании формул (2.9.13) и (2.9.15) при $\mu=1$ имеем
\[
\Phi_{1}(z)=\alpha^{2} z^{2} f(z),
\]

то $c_{j}(j=1, \ldots, n)$ являются корнями многочлена $f(z)$ и, следовательно,
\[
f(z) \in H_{n} .
\]

Замечание. Если
\[
F(z)=A_{0}+A_{1} z+\ldots+A_{n+1} z^{n+1}
\]

есть стандартный полином степени $n+1$, причем $A_{0}>0$ и $A_{1}>0$, то на основании формул (2.9.13) и (2.9.14) получаем, что существует стандартный полином $f(z)$ степени $n$ такой, что
\[
S f(z)=F(z) .
\]

Из лемм 1 и 2 следует, что множество всех стандартных полиномов Гурвица $H$ можно построить, исходя из совокупности стандартных полиномов $H_{1}$ первой степени и последовательного применения операции присоединения $S$. А именно
\[
\begin{array}{l}
H_{2}=S H_{1}, \\
H_{3}=S H_{2}=S^{2} H_{1}, \\
\text {. . . . . . . }
\end{array}
\]

и
\[
H=\bigcup_{p=0}^{\infty} S^{p} H_{1} .
\]

Рассмотрим стандартный полином
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n},
\]

где $a_{0}>0, a_{n}
eq 0(n \geqslant 1)$.
Составим ( $n \times n$ )-матрицу Гурвица

где принято $a_{s}=0$ при $s<0$ и $s>n$.
Теорема Гурвища. Для того чтобы стандартный полином (2.9.19) являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы были положительны все главные диагональные миноры
\[
\left.\begin{array}{c}
\Delta_{1}=a_{1}>0 \\
\Delta_{2}=\left|\begin{array}{ll}
a_{1} & a_{0} \\
a_{3} & a_{2}
\end{array}\right|>0 \\
\cdot \cdot \cdot \\
\Delta_{n}=a_{n} \Delta_{n-1}
\end{array}\right\}
\]

его матрицы Гурвица $M_{f}$ (условие Гурвица).
Доказательство. 1) Докажем сначала необходимость условий Гурвица (2.9.21), т. е. покажем, что если $f(z) \in H_{n}$, то условия Гурвица $(2.9 .21)$ выполнены. Для доказательства применим метод математической индукции (см. также [15]).
При $n=1$ имеем
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z
\]

причем если $f(z) \in H_{1}$, то $a_{0}>0$ и $a_{1}
eq 0$. Так как корень $z_{1}=$ $=-a_{0} / a_{1}<0$, то условие Гурвица
\[
\Delta_{1}=a_{1}>u
\]

выполнено.
Пусть теперь для всех полиномов $f(z) \in H_{n}$ теорема справедлива и $F(z) \in H_{n+1}$. На основании леммы 2 полином $F(z)$ можно рассматривать как присоединенный для некоторого стандартного полинома $f(z) \in H_{n}$, т. е.
\[
F(z)=(1+2 c z) f(z)+f(-z),
\]

где
\[
\alpha=2 c>0 \text {. }
\]

Положим
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\cdots+a_{n} z^{n},
\]

где
\[
a_{0}>0, a_{1}>0, \ldots, a_{n}>0 \text {; }
\]

тогда
\[
F(z)=2 \sum_{k=0}^{n+1}\left[c a_{k-1}+\frac{1+(-1)^{k}}{2} a_{k}\right] z^{k},
\]

где $a_{-1}=a_{n+1}=0$.
Составляя главный диагональный минор $k$-го порядка матрицы Гурвица полинома $F(z)$, будем иметь
\[
D_{1}=2 c a_{0}>0
\]

I
\[
\begin{array}{l}
(k=1, \ldots, n) \text {. } \\
\end{array}
\]

Отсюда, вынося за знак определителя общие множители $c$ элементов нечетных столбцов (первого, третьего и т. д.); а затем вычитая из элементов четных столбцов (второго, четвертого и т. д.) соответствующие оставшиеся элементы нечетных и вынося за знак определителя общие множители $c$ преобразованных элементов четных столбцов, находим
\[
\begin{array}{l}
(k=1, \ldots, n), \\
\end{array}
\]

где $\Delta_{k}$ – главные диагональные миноры матрицы Гурвица $M_{f}$ полинома $f(z)$.

Так как для полинома $f(z) \in H_{n}$ согласно индукционному предположению выполнены условия Гурвица, то
\[
\Delta_{k}>0 \quad(k=1, \ldots, n) .
\]

Поэтому, учитывая, что $a_{0}>0$, имеем
\[
D_{k+1}>0 \quad(k=0,1, \ldots, n),
\]

что и требовалось доказать.

2) Докажем теперь достаточность условий Гурвица, т. е. покажем, что если для стандартного полинома $f(z)$ выполнены условия Гурвица, то $f(z) \in H_{n}$.
Для $n=1$ теорема, очевидно, справедлива, так как если
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z,
\]

где $a_{0}>0$ и $\Delta_{1}=a_{1}>0$, то корень полинома
\[
z_{1}=-\frac{a_{0}}{a_{1}}<0 .
\]

Пусть теперь теорема верна для всех полиномов $f(z) \in H_{n}$ и
\[
F(z)=A_{0}+A_{1} z+\ldots+A_{n+1} z^{n+1}
\]
– некоторый стандартный полином степени $n+1$, для которого выполнены условия Гурвица:
\[
A_{0}>0, D_{1}=A_{1}>0, \ldots, D_{n+1}>0 .
\]

В силу замечания к лемме 2 этот полином можно рассматривать как присоединенный к некоторому стандартному полиному
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n}
\]
$\left(a_{0}>0, \quad a_{n}
eq 0\right)$ степени $n$. Так же как при доказательстве первой части теоремы, получаем, что главные диагональные миноры $\Delta_{k}$ матрицы Гурвица $M_{f}$ удовлетворяют соотношениям
\[
D_{k+1}=\alpha^{k+1} a_{0} \Delta_{k}>0 \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]

где $\alpha>0$. Отсюда
\[
\Delta_{k}>0 \quad(k=1,2, \ldots, n),
\]
т. е. для полинома $f(z)$ выполнены условия Гурвица. А так как по предположению теорема верна для всех стандартных полиномов степени $n$, то $f(z) \in H_{n}$. Таким образом, полином $F(z)$ является присоединенным к стандартному полиному Гурвица $f(z)$, и, следовательно, на основании леммы 1 имеем
\[
F(z) \in H_{n+1} .
\]

Теорема доказана полностью.
Замечтин 1. Если
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n}
\]

есть стандартный полином Гурвица, то имеем
\[
f(z)=z^{n} g\left(\frac{1}{z}\right),
\]

где
\[
g(z)=a_{0} z^{n}+a_{1} z^{n-1}+\ldots+a_{n}
\]
– также стандартный полином Гурвица, и обратно.

Действительно, если $z_{j}(j=1, \ldots, n)$– корни полинома (2.9.23) и $\operatorname{Re} z_{j}<0$, то $\frac{1}{z_{j}}(j=1, \ldots, n)$ – корни полинома (2.9.24)
\[
\operatorname{Re} \frac{1}{z_{j}}=\frac{\operatorname{Re} z_{j}}{\left|z_{j}\right|^{2}}<0
\]
(рис. 12). Поэтому условия Гурвица для полинома можно записывать также в виде
\[
\left.\begin{array}{l}
\tilde{\Delta}_{0}=a_{n}>0, \\
\tilde{\Delta}_{1}=a_{n-1}>0, \\
\tilde{\Delta}_{2}=\left|\begin{array}{ll}
a_{n-1} & a_{n} \\
a_{n-3} & a_{n-2}
\end{array}\right|>0, \\
\tilde{\Delta}_{n}=a_{0} \tilde{\Delta}_{n-1} \cdot \cdot \cdot \cdot
\end{array}\right\}
\]

Рис. 12.
3амечание 2. Пусेть
\[
\frac{d x}{d t}=A x
\]
– линейная однородная система с постоянной действительной матрицей $A=\left[a_{j k}\right]$ и
\[
\operatorname{det}(\lambda E-A)=0
\]
– характеристическое уравнение матрицы $A$. В раскрытом виде уравнение $(2.9 .27$ ) имеет вид
\[
\lambda^{n}-A_{1} \lambda^{n-1}+A_{2} \lambda^{n-2}+\cdots+(-1)^{n} A_{n}=0,
\]

где
\[
\begin{array}{c}
A_{1}=\sum_{\alpha} a_{\alpha \alpha}=\operatorname{Sp} A, \\
A_{2}=\sum_{\alpha<\beta}\left|\begin{array}{ll}
a_{\alpha \alpha} & a_{\alpha \beta} \\
a_{\beta \alpha} & a_{\beta \beta}
\end{array}\right|, \\
\dot{A}_{n}=\operatorname{det} A .
\end{array}
\]

Для асимптотической устойчивости системы (2.9.26) необходимо выполнение следующих условий:
\[
-A_{1}>0, \quad A_{2}>0, \ldots,(-1)^{n} A_{n}>0 .
\]

В частности, должно быть
\[
\text { Sp } A<0, \quad(-1)^{n} \operatorname{det} A>0 .
\]

Если система (2.9.26) – второго порядка ( $n=2$ ), то условия (2.9.28) также достаточны для ее асимптотической устойчивости.

В общем случае для асимптотической устойчивости системы (2.9.26) необходимо и достаточно выполнение условий Гурвица:
\[
\begin{array}{l}
\tilde{\Delta}_{1}=-A_{1}>0, \\
\tilde{\Delta}_{2}=\left|\begin{array}{cc}
-A_{1} & 1 \\
-A_{3} & A_{2}
\end{array}\right|=-A_{1} A_{2}+A_{3}>0, \\
\tilde{\Delta}_{n}=(-1)^{n} A_{n} \tilde{\Delta}_{n-1}>0 \cdots \cdots
\end{array}
\]

Пример 1. Для полинома
\[
f(z)=z^{3}+p z^{2}+q z+r,
\]

где $p, q, r$ действительны, условия Гурвица суть
\[
\begin{aligned}
r & >0 \\
\Delta_{1} & =q>0, \\
\Delta_{2} & =\left|\begin{array}{cc}
q & r \\
1 & p
\end{array}\right|>0, \\
\Delta_{3} & =1 \cdot \Delta_{2}>0, \\
q>0, & 0<r<p q .
\end{aligned}
\]

Таким образом, в пространстве коэффициентов область $O p q r$ полиномов Гурвица ограничена положительной частью координатной плоскости $r=0$ и гиперболическим параболоидом $r=p q$ (рис. 13).
т. e.
\[
\begin{array}{c}
r>0 \\
\Delta_{1}=q>0, \\
\Delta_{2}=\left|\begin{array}{cc}
q & r \\
1 & p
\end{array}\right|>0, \\
\Delta_{3}=1 \cdot \Delta_{2}>0, \\
q>0,0<r<p q .
\end{array}
\]

Характеристическое уравнение для системы (2.9.29) имеет вид
\[
\left|\begin{array}{ccc}
\lambda+1 & -\alpha & .0 \\
-\beta & \lambda+1 & -\alpha \\
0 & -\beta & \lambda+1
\end{array}\right|=0,
\]

или
\[
(\lambda+1)\left[\lambda^{2}+2 \lambda+(1-2 \alpha \beta)\right]=0 .
\]

Отсюда асимптотическая устойчивость будет иметь место, если
т. е. (рис. 14)
\[
\begin{array}{c}
1-2 \alpha \beta>0, \\
\alpha \beta<\frac{1}{2} .
\end{array}
\]

Замечание. Чтобы стандартный полином
\[
f(z)=a_{0}+a_{1} z+\ldots+a_{n} z^{n}
\]

имел нули, лежащие лишь в замкнутой левой полуплоскости $\operatorname{Re} z \geqslant 0$, необходимо и достаточно, чтобы все главные диагональные миноры $\Delta_{1}, \ldots, \Delta_{n}$ его матрицы Гурвица были -бы неотрицательны:
\[
\Delta_{j} \geqslant 0 \quad(j=1, \ldots, n) .
\]

Пусть $A=\left[a_{j k}\right]$ – постоянная действительная матрица и $G$ область асимптотической устойчивости системы
\[
\frac{d x}{d t}=A \boldsymbol{x}
\]

в пространстве коэффициентов $a_{j k}$. Область $G^{*}=G \cup \Gamma^{*}$ простой устойчивости системы (2.9.30) содержится в замкнутой области $\bar{G}=G \cup \Gamma$, причем $\Gamma^{*}$ представляет собой часть границы $\Gamma$, состоящую из точек $\left(a_{j k}\right)$, для которых характеристические корни с нулевой вещественной частью матрицы $A$ имеют лишь простые элементарные делители («безопасная граница»). Дополнительная часть границы $\Gamma \backslash \Gamma^{*}$ не входит в область $G^{*}$ («опасная граница»).