Определение. Говорят, что решение $\xi=\xi(t) n$-мерной дифференциальной системы
\[
\frac{d x}{d t}=f(t, x)
\]

условно устойчиво при $t \rightarrow \infty$, если в $\mathscr{R}_{x}^{n}$ существует $k$-мерное многообразие $S_{k} \supset \xi\left(t_{0}\right)$ начальных значений $(1 \leqslant k<n$ ) такое, что для всякого решения $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{x}(t)$, подчиненного условию:
\[
\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) \in S_{k}, \quad\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)-\xi\left(t_{0}\right)\right\|<^{\delta}(\varepsilon),
\]

будет выполнено неравенство
\[
\|x(t)-\xi(t)\|<\varepsilon \text { при } t \geqslant t_{n} .
\]

Условная устойчивость называется асимптотической, если, сверх того,
\[
\|x(t)-\xi(t)\| \rightarrow 0 \quad \text { при } \quad t \rightarrow \infty,
\]

где
\[
\left\|\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)-\xi\left(t_{0}\right)\right\|<\Delta
\]
( $\Delta$ – некоторая положительная постоянная).
Рассмотрим квазилинейную систему
\[
\frac{d x}{d t}=A x+\varphi(i, x),
\]

где $A$ – постоянная матрица, имеющая $k(1 \leqslant k<n)$ характеристических корней с отрицательными действительными частями, причем $\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{x})=o(\boldsymbol{x})$ равномерно по $t$.

Обобщенная теорема Ляпунова (см. [13], [28]). Пусть матрица $A$ имеет $k$ характеристических корней с отрицательными действительными тастями и ( $n-k$ ) характеристических корней с неотрицательными действительными частями, причем вектор-функция $\boldsymbol{\varphi}(t, \boldsymbol{x})$ непрерывна по $t$ при $t \geqslant 0$ и удовлетворяет по $\boldsymbol{x}$ условию Липшица:
\[
\begin{array}{c}
\left\|\varphi\left(t, x^{\prime}\right)-\varphi(t, x)\right\| \leqslant L\left\|x^{\prime}-x\right\| . \\
\left(\left\|x^{\prime}\right\|<\Delta, \quad\|x\|<\Delta, t \geqslant 0\right),
\end{array}
\]

где $L=L(\Delta)$ и $L \rightarrow 0$ при $\left.\Delta \rightarrow 0^{1}\right)$. Тогда тривиальное решение $\boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ системь (4.22.2) условно асимптотически устойчиво относительно некоторого $k$-мерного многообразия $S_{k}$ начальных значений.
1) Для дальнейших рассуждений существенно, что константа Лишшица $L$ может быть выбрана достаточно малой.

Доказательство. Без нарушения общности рассуждения можно принять $t_{0}=0$. Положим.
\[
x=C y,
\]

где действительная неособенная матрица $C$ такова, что
\[
C^{-1} A C \equiv B=\operatorname{diag}(N, P),
\]

причем
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(N)<0 \quad(j=1, \ldots, k)
\]

и
\[
\operatorname{Re} \lambda_{j}(P) \geqslant 0 \quad(j=k+1, \ldots, n) .
\]

Тогда система (4.22.2) примет вид
\[
\frac{d y}{d t}=B y+\psi(t, y) \text {, }
\]

где
\[
\boldsymbol{\psi}(t, \boldsymbol{y})=C^{-1} \boldsymbol{\varphi}(t, C \boldsymbol{y}) .
\]

Полагая
\[
L_{1}=\left\|C^{-1}\right\| \cdot\|C\| L \text {, }
\]

очевидно, имеем
\[
\left\|\boldsymbol{\Psi}\left(t, \boldsymbol{y}^{\prime}\right)-\boldsymbol{\Psi}(t, \boldsymbol{y})\right\| \leqslant L_{1}\left\|\boldsymbol{y}^{\prime}-\boldsymbol{y}\right\| \text { для } t \geqslant 0,
\]

если только $\|\boldsymbol{y}\|<\Delta_{1}$ и $\left\|\boldsymbol{y}^{\prime}\right\|<\Delta_{1}$, где $\Delta_{1}=\Delta /\|C\|$.
Пусть $\beta>0$ произвольно мало и $\alpha>0$ таково, что
\[
\alpha+\beta<\min _{j}\left[-\operatorname{Re} \lambda_{j}(N)\right] .
\]

Тогда, очевидно, справедливы нєравенства

и
\[
\left.\begin{array}{ll}
\left\|e^{N t}\right\| \leqslant K e^{-(\alpha+\beta) t} & \text { при } t \geqslant 0 \\
\left\|e^{P t}\right\| \leqslant K e^{\beta t} & \text { при } t \leqslant 0,
\end{array}\right\}
\]

где $K$ – некоторая достаточно большая положительная постоянная.
Положим
\[
G(t)=\left\{\begin{array}{lll}
e^{B t} \operatorname{diag}\left(E_{k}, 0\right) & \text { при } & t>0, \\
-e^{B t} \operatorname{diag}\left(0, E_{n \cdots k}\right) & \text { при } & t<0,
\end{array}\right.
\]

где $E_{p}$ – единичные матрицы соответствующих порядков. Очевидно,
\[
G(+0)-G(-0)=E_{n} .
\]

Из неравенств (4.22.6), учитывая, что
\[
e^{B t}=\operatorname{diag}\left(e^{N t}, e^{P t}\right),
\]

получаем
\[
\|G(t)\| \leqslant\left\{\begin{array}{lll}
K e^{-(\alpha+\beta) t} & \text { при } & t>0, \\
K e^{i t} & \text { при } & t<0 .
\end{array}\right.
\]

Кроме того, очевидно, имеем
\[
\dot{G}(t)=B G(t) \quad \text { при } \quad t
eq 0 .
\]

Рассмотрим сингулярное интегральное уравнение
\[
\boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})=Z(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t-s) \boldsymbol{\psi}(s, \boldsymbol{y}(s, \boldsymbol{a})) d s,
\]

где
\[
Z(t)=e^{B t} \operatorname{diag}\left(E_{k}, 0\right) \equiv \operatorname{diag}\left(e^{N t}, 0\right)
\]

и $\boldsymbol{a}$ – постоянный вектор, $(n-k)$ последних координат которого равны нулю. Для решения интегрального уравнения (4.22.9) применим метод последовательных приближений, полагая
\[
y^{(0)}(t, a)=0
\]

и
\[
\boldsymbol{y}_{p}(t, \boldsymbol{a})=Z(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t-s) \psi\left(s, \boldsymbol{y}_{p-1}(s, \boldsymbol{a})\right) d s \quad(p=1,2, \ldots) .
\]

Выберем число $\Delta$ столь малым, чтобы было выполнено неравенство
\[
L_{1}<\frac{\beta}{4 K},
\]

и пусть
\[
\|\boldsymbol{a}\|<\frac{\Delta_{1}}{2 K}=a_{0} .
\]

Тогда, учитывая первое из неравенств (4.22.6) при $t \geqslant 0$, будем иметь
\[
\|\boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})\| \leqslant\|Z(t)\|\|\boldsymbol{a}\| \leqslant K e^{-(\alpha+\beta) t}\|\boldsymbol{a}\| \leqslant K\|\boldsymbol{a}\| e^{-\alpha t} .
\]

Пусть
\[
\left\|\boldsymbol{y}_{p}(t, \boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}_{p-1}(t, \boldsymbol{a})\right\| \leqslant \frac{K}{2^{p-1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-a t} \text { при } t \geqslant 0(p \geqslant 1) \text { (4.22.11) }
\]

Иіз формулы (4.22.10), используя неравенства (4.22.8), выводим
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{y}_{p+1}(t, \boldsymbol{a})-\boldsymbol{y}_{p}(t, \boldsymbol{a}) \| \leqslant \\
\leqslant \int_{0}^{\infty}\|G(t-s)\| \cdot\left\|\boldsymbol{\psi}\left(s, \boldsymbol{y}_{p}(s, \boldsymbol{a})\right)-\boldsymbol{\psi}\left(s, \boldsymbol{y}_{p-1}(s, \boldsymbol{a})\right)\right\| d s \leqslant \\
\leqslant \int_{0}^{t} K e^{-(\alpha+\beta)(t-s)} \cdot \frac{\beta}{4 K} \cdot \frac{K}{2^{p-1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\alpha s} d s+\int_{t}^{\infty} K e^{\beta(t-s)} \cdot \frac{\beta}{4 K} \cdot \frac{K}{2^{p-1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\alpha s} d s= \\
=\frac{\beta K}{2^{p+1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-(\alpha+\beta) t} \frac{e^{\beta t}-1}{\beta}+\frac{\beta K}{2^{p+1}}\|\boldsymbol{a}\| \frac{e^{-(\alpha+\beta) t}}{\alpha+\beta} \leqslant \\
\quad \leqslant \frac{K}{2^{p+1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\alpha t}\left(1-\frac{\beta}{\alpha+\beta}\right) \leqslant \frac{K}{2^{p}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\alpha t} \quad \text { при } t \geqslant 0 .
\end{array}
\]

Отсюда заключаем, что все приближения $\boldsymbol{y}_{p}(t, \boldsymbol{a})$ имеют смысл, причем неравенство (4.22.11) выполнено для всех натуральных $p$. Следовательно,
\[
y_{p}(t, a) \underset{\vec{t}}{\rightarrow} y(t, a)
\]

на $[0, \infty)$ при $p \rightarrow \infty$, причем предельная вектор-функция $\boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})$ непрерывна по совокупности переменных $t$ и $a$ при $0 \leqslant t<\infty$ и $\boldsymbol{a}:<a_{0}$.

Переходя к пределу при $p \rightarrow \infty$ в формуле (4.22.10), будем иметь
\[
\boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})=Z(t) \boldsymbol{a}+\int_{0}^{\infty} G(t-s) \psi(s, \boldsymbol{y}(s, \boldsymbol{a})) d s,
\]
т. е. предельная функция $\boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})$ является решением интегрального уравнения (4.22.9). Дифференцируя последнее равенство по параметру $t$, находим
\[
\begin{array}{l}
\dot{\boldsymbol{y}}_{t}(t, \boldsymbol{a})=B Z(t) a+\int_{0}^{t} B G(t-s) \Psi(s, \boldsymbol{y}(s, \boldsymbol{a})) d s+ \\
+\int_{i}^{\infty} B G(t-s) \boldsymbol{\Psi}(s, \boldsymbol{y}(s, \boldsymbol{a})) d s+ \\
+[G(+0)-G(-0)] \boldsymbol{\Psi}(t, \boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})),
\end{array}
\]
т. e.
\[
\dot{y}_{t}(t, a)=B y(t, a)+\psi(t, y(t, a))
\]

и, значит, $\boldsymbol{y}(t, a)$ является решением системы дифференциальных уравнений (4.22.4).

Используя неравенства (4.22.11), получаем
\[
\begin{aligned}
\|\boldsymbol{y}(t, a)\| \leqslant\left\|y_{0}(t, a)\right\|+\sum_{p=1}^{\infty}\left\|y_{p}(t, a)-y_{p-1}(t, a)\right\| & \leqslant \\
\leqslant \sum_{p=1}^{\infty} \frac{K}{2^{p-1}}\|\boldsymbol{a}\| e^{-\alpha t} & =2 K\|\boldsymbol{a}\| e^{-x t} .
\end{aligned}
\]

Отсюда
\[
\lim _{t \rightarrow \infty} y(t, a)=0 .
\]

Таким образом, $\boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})$ при $\boldsymbol{a} \| a_{0}$ представляет собой многообразие решений дифференцнальной системы (4.22.4), непрерывно зависящее от $k$ параметров $a_{1}, \ldots, a_{k}$ – первых $k$ координат вектора $\boldsymbol{a}$ и стремящихся к нулю при $t \rightarrow \infty$.

Из уравнения (4.22.12), учитывая структуру (4.22.7) матрицы $G(t)$, для координат $y_{j}(t, \boldsymbol{a})(j=1, \ldots, n)$ решения $\boldsymbol{y}(t, \boldsymbol{a})$ при $t=0$ будут иметь следующие выражения:
\[
y_{j}(0, a)=a_{j} \quad(j=1, \ldots, k)
\]

и
\[
y_{j}(0, \boldsymbol{a})=\left[\int_{0}^{\infty} G(-s) \boldsymbol{\Psi}(s, y(s, \boldsymbol{a})) d s\right]_{j} \quad(j=k+1, \ldots, n),
\]

где [ $l_{j}$ обозначает $j$-ю компоненту соответствующего вектора. Поэтому в окрестности начала кординат $O$ эти начальные значения
Рис. 49.
$\ddot{y}_{j}^{\prime \prime}=[y(0, a)]_{j}$ удовлетворяют системе уравнений
\[
y_{k+j}^{(0)}=\theta_{j}\left(y_{1}^{(0)}, \ldots, y_{k}^{(0)}\right) \quad(j=1, \ldots, n-k),
\]

которые определяют в пространстве $\mathscr{R}_{y}^{n}$ некоторое $k$-мерное мноа гообразие $S_{k}$ начальных значений, порождающее решения $y(t) \rightarrow 0$. при $t \rightarrow \infty$.

Возврашаясь к прежним переменным
\[
x=C y,
\]

получим, что аналогичное утверждение справедливо для решений $x=\boldsymbol{x}(t)$ исходной системы (4.22.2).

Следствие. Пусть матрица $A$ имеет $k$ характеристических корней с отрицательной действительной частью $и(n-k)$ характеристических корней с положительной действительной частью, причем условие Липиица (4.22.3) для $\varphi(t, \boldsymbol{x})$ выполнено для всех $t \in(-\infty,+\infty)$ и константа . Iипичца достаточно мала. Тогда в некоторой окрестности точки $O$ пространства $\mathscr{R}_{x}^{n}$ существуют многообразия $S_{k}^{+}$и $S_{n-k}^{-}$(рис. 49), соответственно, измерений $k$ $u(n-k)$ такие, что для решений $\boldsymbol{x}(t)$ системы (4.22.2) справедливы предельные соотношения:
\[
\begin{array}{l}
\boldsymbol{x}(t) \rightarrow \mathbf{0} \text { при } t \rightarrow+\infty, \text { если } \boldsymbol{x}(0) \in S_{k}^{+}, \\
\boldsymbol{x}(t) \rightarrow \mathbf{0} \text { при } t \rightarrow-\infty, \text { если } \boldsymbol{x}(0) \in S_{n-k} .
\end{array}
\]