Теорема (см. [22]). Для любого решения линейной дифференциальной системы
\[
\frac{d x}{d t}=A(t) x \quad\left(A(t) \in C\left[t_{0}, \infty\right)\right)
\]

при $t_{0} \leqslant t<\infty$ справедливо неравенство
\[
\boldsymbol{x}\left(t_{0}\right)\left|\exp \int_{t_{0}}^{t} \lambda\left(t_{1}\right) d t_{1} \leqslant\right| \boldsymbol{x}(t)|\leqslant| \boldsymbol{x}\left(t_{0}\right) \mid \exp \int_{t_{0}}^{t} \Lambda\left(t_{1}\right) d t_{1},
\]

где $|\boldsymbol{x}(t)|$-евклидова норма вектора $\boldsymbol{x}(t) ; \lambda(t)$ и $\Lambda(t)$ – наименьший и наибольший характеристические корни эрмитово-симметризованной матриць:
\[
A^{H}(t)=\frac{1}{2}\left[A(t)+A^{*}(t)\right],
\]

причем $A(t)=\left[a_{j k}(t)\right]$ и $A^{*}(t)=\overline{\left[a_{k j}(t)\right]}$-ее эрмитово-сопряженная матрица.
Доказательство. Пусть
\[
\boldsymbol{x}=\operatorname{colon}\left[x_{1}, \ldots, x_{n}\right]
\]
– нетривиальное решение системы (3.6.1) и
\[
x^{*}=\left(\bar{x}_{1}, \ldots, \bar{x}_{n}\right)
\]
– эрмитово сопряженный вектор-строка. Очевидно,
\[
|\boldsymbol{x}|^{2}=x^{*} \boldsymbol{x} .
\]

В силу системы (3.6.1), учитывая, что
\[
\frac{d x^{*}}{d t}=\left(\frac{d x}{d t}\right)^{*}=x^{*} A^{*}(t),
\]

получаем
\[
\frac{d}{d t}\left(|\boldsymbol{x}|^{2}\right)=x^{*} \frac{d x}{d t}+\frac{d x^{*}}{d t} x=x^{*} A(t) x+x^{*} A^{*}(t) x=2 x^{*} A^{H}(t) \boldsymbol{x} .
\]

Так как матрица $A^{H}(t)$ эрмитова, то при любом $t \in\left[t_{0}, \infty\right)$ будем иметь (гл. I, §5)
\[
\lambda(t) \boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{x} \leqslant \boldsymbol{x}^{*} A^{H}(t) \boldsymbol{x} \leqslant \Lambda(t) \boldsymbol{x}^{*} \boldsymbol{x},
\]

где $\lambda(t)$ и $\Lambda(t)$ – соответственно наименьший и наибольший корни векового уравнения
\[
\operatorname{det}\left[A^{H}(t)-\lambda E\right]=0 .
\]

Поэтому на основании формулы (3.6.4) находим
\[
2 \lambda(t)|\boldsymbol{x}|^{2} \leqslant \frac{d}{d t}\left(|\boldsymbol{x}|^{2}\right) \leqslant 2 \Lambda(t)|\boldsymbol{x}|^{2} .
\]

Интегрируя неравенство (3.6.5) в пределах от $t_{0}$ до $t$, получим формулу (3.6.2).

Формула (3.6.2), очевидно, справедлива также и для тривиального решения $\boldsymbol{x} \equiv \mathbf{0}$.

Следствие 1. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы (3.6.1) достаточно выполнения условия
\[
\Lambda(t) \leqslant-h<0 \quad \text { при } t \in\left[t_{0}, \infty\right),
\]

где $h$-положительная постоянная.
Следствие 2. Спектр линейной системы (3.6.1) целиком расположен на отрезке $[l, L]$, где
\[
l=\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \lambda\left(t_{1}\right) d t_{1}
\]
$u$
\[
L=\overline{l i m}_{t \rightarrow \infty} \frac{1}{t} \int_{t_{0}}^{t} \Lambda\left(t_{1}\right) d t_{1} .
\]

Цля асимптотической устойчивости системы (3.6.1) достаточно, чтобы было
\[
L<0 \text {. }
\]