Теорема (см. [22]). Для любого решения линейной дифференциальной системы
$$\frac{dx}{dt}=A(t)x(A(t)\in C[t_0,\mathrm{\infty }))$$

при $t_0⩽t<\mathrm{\infty }$ справедливо неравенство
$$\mathit{x}\left(t_0\right)|\exp {\int }_{t_0}^t\lambda \left(t_1\right)d{t}_1⩽|\mathit{x}(t)|⩽|\mathit{x}\left(t_0\right)\mid \exp {\int }_{t_0}^t\mathrm{\Lambda }\left(t_1\right)d{t}_1,$$

где $|\mathit{x}(t)|$-евклидова норма вектора $\mathit{x}(t);\lambda (t)$ и $\mathrm{\Lambda }(t)$ — наименьший и наибольший характеристические корни эрмитово-симметризованной матриць:
$$A^H(t)=\frac{1}{2}[A(t)+A^{\ast }(t)],$$

причем $A(t)=[a_{jk}(t)]$ и $A^{\ast }(t)=\overline{[a_{kj}(t)]}$-ее эрмитово-сопряженная матрица.
Доказательство. Пусть
$$\mathit{x}=\mathrm{colon}[x_1,\dots ,x_n]$$
— нетривиальное решение системы (3.6.1) и
$$x^{\ast }=({\overline{x}}_1,\dots ,{\overline{x}}_n)$$
— эрмитово сопряженный вектор-строка. Очевидно,
$$|\mathit{x}{|}^2=x^{\ast }\mathit{x}.$$

В силу системы (3.6.1), учитывая, что
$$\frac{d{x}^{\ast }}{dt}={\left(\frac{dx}{dt}\right)}^{\ast }=x^{\ast }{A}^{\ast }(t),$$

получаем
$$\frac{d}{dt}\left(|\mathit{x}{|}^2\right)=x^{\ast }\frac{dx}{dt}+\frac{d{x}^{\ast }}{dt}x=x^{\ast }A(t)x+x^{\ast }{A}^{\ast }(t)x=2x^{\ast }{A}^H(t)\mathit{x}.$$

Так как матрица $A^H(t)$ эрмитова, то при любом $t\in [t_0,\mathrm{\infty })$ будем иметь (гл. I, §5)
$$\lambda (t){\mathit{x}}^{\ast }\mathit{x}⩽{\mathit{x}}^{\ast }{A}^H(t)\mathit{x}⩽\mathrm{\Lambda }(t){\mathit{x}}^{\ast }\mathit{x},$$

где $\lambda (t)$ и $\mathrm{\Lambda }(t)$ — соответственно наименьший и наибольший корни векового уравнения
$$\det [A^H(t)-\lambda E]=0.$$

Поэтому на основании формулы (3.6.4) находим
$$2\lambda (t)|\mathit{x}{|}^2⩽\frac{d}{dt}\left(|\mathit{x}{|}^2\right)⩽2\mathrm{\Lambda }(t)|\mathit{x}{|}^2.$$

Интегрируя неравенство (3.6.5) в пределах от $t_0$ до $t$, получим формулу (3.6.2).

Формула (3.6.2), очевидно, справедлива также и для тривиального решения $\mathit{x}\equiv \mathbf{0}$.

Следствие 1. Для асимптотической устойчивости линейной однородной системы (3.6.1) достаточно выполнения условия
$$\mathrm{\Lambda }(t)⩽-h<0\text{ при }t\in [t_0,\mathrm{\infty }),$$

где $h$-положительная постоянная.
Следствие 2. Спектр линейной системы (3.6.1) целиком расположен на отрезке $[l,L]$, где
$$l=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{t}{\int }_{t_0}^t\lambda \left(t_1\right)d{t}_1$$
$u$
$$L={\overline{lim}}_{t\to \mathrm{\infty }}\frac{1}{t}{\int }_{t_0}^t\mathrm{\Lambda }\left(t_1\right)d{t}_1.$$

Цля асимптотической устойчивости системы (3.6.1) достаточно, чтобы было
$$L<0\text{. }$$